淺談多元表達式幾種常見處理方法

【中圖分類號】G633.6【文獻標識碼】A【文章編號】2095-3089（2012）11-0147-02

多元表達式是指含有兩個或者兩個以上變量的表達式，有關多元表達式的值域、最值問題是常考題型，要注意其中涉及的數學思想和方法。

一、減元

例1．已知函數f（x）=|2x-3|，若0<2a

分析：由題意可得|4a-3|=|2b+3|，故4a-b和2b+3互為相反數，解得b=-2a，可對T=3a2+b實施減元，使之轉化成為T=3a2+b=3a2-2a=3（a-■）2-■，這樣原二元問題就轉化一元表達式的取值范圍，又∵0<2a

∴-■

例2．（2008江蘇高考）設x，y，z為正實數，滿足x-2y+3z=0，則■的最小值是____。

分析：本小題考查二元基本不等式的運用．由x-2y+3z=0得y=■，代入■得■≥■=3，當且僅當x＝3z時取“＝”。

注：一般說來，題目條件中有所求多元變量的等量關系，且能用其中幾個去表示另外一個，通常都可以通過減元將問題簡化，同時注意對變量隱含條件的挖掘。

二、不等式

例3．已知a>0，b>0，a+2b=1，求■+■的最小值。

分析：這是有關二元表達式的最值問題，考慮到題目中的條件，可直接利用基本不等式。

■+■=（a+2b）（■+■）=3+■+■≥3+2■當且僅當■=■a+2b=1，即 時a=■-1b=1-■時，■+■有最小值3+2■。

例4．若實數x，y，z，t滿足1≤x≤y≤x≤t≤10000，則■+■的最小值為____。

分析：令x=1是■中最小值，令t=10000是■中最小的，利用分母最大分子最小時分式的值最小，再基本不等式，■+■≥■+■≥■+■≥2■=■

注：利用不等式的性質，能巧妙的減少變量的個數，同時均值不等式求最值時要抓住（1）“一正，二定，三等”；（2）連續使用同向不等式時要保證等號條件的一致性。

三、數形結合

例5．已知x+y+1=0則■的最小值是____。

分析：若令z=■，又■可看成點（1，1）到直線x+y+1=0上點的距離，由點到線的距離公式得 的最小值為■

例6.若實數x、y滿足x2+y2－6x－4y+12=0，求■的最大值及最小值。

分析： 點（x，y）滿足圓的方程，而■正好看作是圓上的點與原點連線的斜率。如果把（x，y）視為動點，則■的最大值和最小值正是由原點向圓所引的兩條切線的斜率，由已知得

（x－3）2+（y－2）2=1，圓心（3，2），半徑為1

設y=kx，即kx－y=0由直線與圓相切，得■=1，解得k=■

∴■的最大值為■，最小值為■。

此題也可通過作圖用兩角和差公式計算。

注：以上兩題都是數形結合思想中的“形”中覓“數”，“數”上構“形”的充分體現。 由所問的問題的表達式結構特征，能讓我們聯系到用其幾何意義去處理。

四、線性規劃

例7.已知x，y滿足y≤xx+y≤1y≥-1，求z=2x+y的最大值和最小值。

分析： 先作出可行域，如圖所示中△ABC表示的區域，且求得A（■，■）、B（-1，-1）、C（2，-1）。作出直線l0：2x+y=0，再將直線l0平移，當l0的平行線l1過B點時，可使z=2x+y達到最小值，當l0的平行線l2過C點時，可使z=2x+y達到最大值。zmin=2×（-1）+（-1）=-3，zmin=2×2+（-1）=3。

例8.點（a，b）在兩直線y=x-1和y=x-3之間的帶狀區域內（含邊界），則f（a，b）=a2-2ab+b2+4a-4b的最小值為____。

分析： 本題考查的知識點是線性規劃的應用，我們要先畫出滿意約束條件y=x-1和y=x-3的平面區域，又f（a，b）=a2-2ab+b2+4a-4b=（a-b）2+4（a-b），又點（a，b）在兩直線y=x-1和 y=x-3之間的帶狀區域內（含邊界），得1≤a-b≤3，知f（a，b）的最小值為5。

注：線性規劃作為直線方程的延伸，為我們處理二元線性函數的最值提供了一個新的思路和方法。要注意理解與掌握。

五、換元

例9．已知■+■=1，求2x+3y的取值范圍。

分析：由■+■=1聯想到同角三角關系中的sinα2+cosα2=1，可采用三角換元去處理，由x=2cosαy=■sinα（α∈R）∴2x+3y=4cosα+3■sinα=■sin（α+？漬）得，sin（α+？漬）∈[-1，1]得，2x+3y的取值范圍是|-■，■|。

注：三角換元是常用的一種換元方法，要選擇適當的三角函數，使代數問題三角化，充分利用三角函數的圖象和性質去處理，但換元時，要注意三角式和代數式的等價性。

常見的換元方法：

①若x2+y2=r2 令x=rcosα y=rsinα

②若■+■令x=acosα y=bsinα

總之，多元表達式的值域，最值問題的處理應是在照顧到題中條件的基礎上，注意表達式的結構特征，合理選擇方法求解，通過有效的針對訓練，掌握常見題型的思維方法，多體會，才能做到真正理解和掌握。