數學構造法在《常微分方程》中的應用舉例

【摘要】《常微分方程》是工程技術中一門重要的應用基礎課，以該課程中的基本方法為例，綜述了數學構造法的幾種形式：構造模型、構造過程、構造函數、構造方程、構造圖形以及構造命題等方法在《常微分方程》中的重要地位及其創造性思維特征，從而為《常微分方程》中數學思想方法的總體把握提供有益的參考。

【關鍵詞】常微分方程 數學構造法 創造性思維

【基金項目】南華大學教改課題（2011XJG015）。

【中圖分類號】G642【文獻標識碼】C【文章編號】2095-3089（2012）11-0140-02

《常微分方程》屬于數學分析的一支，是數學中與應用密切相關的基礎學科。相比于其它數學專業課程，它所涉及的數學思想及方法更加豐富多彩，也更加耐人尋味。 如果把這門課程所用到的數學模型法（MM），關系-映射-反演法（RMI）及其所用到的其它思想方法比作一條珍珠項鏈，那么，數學方法論中的構造法就像鑲嵌在這條項鏈中的一顆顆鉆石，使得這門課程更加光彩照人。

數學構造法就是按固定方式、經一定的步驟能夠實現的方法。它具有兩個特征：直觀性與可行性。如果把它運用到具體數學問題中來，常常體現為不對問題本身求解，而是構造一個與之相關的輔助問題求解。而輔助問題的表現形式多種多樣。 常見的構造方法有：構造模型、構造過程、構造函數、構造方程、構造圖形以及構造命題等形式 。 下面針對數學構造法的幾種形式在《常微分方程》這門課程中的應用加以舉例說明。

一、構造模型

微分方程最顯著的特點就是反映客觀世界運動過程中量與量之間的關系。 從物理、力學、生物、化學等已確定的自然規律出發，或者應用類比法，構造出由自變量、未知函數及其導數的關系式，即得到各種各樣的微分方程。 比如數學擺模型、人口模型、傳染病模型、作戰模型、交通模型、經濟模型甚或糖尿病檢測模型及藝術品的辨偽模型。 模型的構造是研究微分方程的前提，不僅反映了這門課程的實用性，同時也反映了數學構造法在這門課程中的特殊意義。