基于混沌理論的水質預測方法研究

摘要：基于混沌理論，利用關聯積分法計算嵌入參數，重構水質指標時間序列相空間，采用Ｌｙａｐｕｎｏｖ指數判斷水質指標時間序列的混沌特性，使用加權動態局域預測模型來預測水質。對洛河流域２００８—２０１０年各月的水質指標溶解氧進行預測，并與實測值進行了比較，從相對誤差來看，具有較高的精度。

關鍵詞：水質預測；混沌理論；相空間重構

中圖分類號：Ｘ８３２ 文獻標識碼：Ａ 文章編號：0439－８114（２０12）17－3726-03

Water Quality Prediction Method Based on Chaos Theory

ＺＨＵ Ｇｕａｎｇ－ｌｉ，ＱＩＮ Ｙｕ－ｆａｎｇ

（The First Ｅｎｇｉｎｅｅｒｉｎｇ Ｂｕｒｅａｕ ｏｆ Ｈｅｎａｎ Ｗａｔｅｒ Ｃｏｎｓｅｒｖａｎｃｙ， Ｚｈｅｎｇｚｈｏｕ ４５００００，Ｃｈｉｎａ）

Ａｂｓｔｒａｃｔ：Ｔｈｅ ｅｍｂｅｄｄｉｎｇ ｐａｒａｍｅｔｅｒ ｗａｓ ｃａｌｃｕｌａｔｅｄ ｂｙ ｃｏｒｒｅｌａｔｉｏｎ ｉｎｔｅｇｒａｌ ｍｅｔｈｏｄ； ａｎｄ ｔｈｅ ｐｈａｓｅ ｓｐａｃｅ ｏｆ ｔｉｍｅ ｓｅｒｉｅｓ ｗａｓ ｒｅｃｏｎｓｔｒｕｃｔｅｄ ｂａｓｅｄ ｏｎ ｃｈａｏｓ ｔｈｅｏｒｙ． Ｔｈｅ ｃｈａｏｓ ｃｈａｒａｃｔｅｒｉｓｔｉｃ ｏｆ ｔｈｅ ｗａｔｅｒ ｑｕａｌｉｔｙ ｉｎｄｅｘｅｄ ｔｉｍｅ ｓｅｒｉｅｓ ｗａｓ ｒｅｃｏｇｎｉｚｅｄ ｂｙ Ｌｙａｐｕｎｏｖ ｅｘｐｏｎｅｎｔ． Ａｎｄ ｔｈｅ ｗａｔｅｒ ｑｕａｌｉｔｙ ｗａｓ ｐｒｅｄｉｃｔｅｄ ｕｓｉｎｇ ｗｅｉｇｈｔ－ｄｙｎａｍｉｃ ｌｏｃａｌ ｐｒｅｄｉｃｔｉｏｎ ｍｏｄｅｌ． Ｔｈｅ ｄｉｓｓｏｌｖｅｄ ｏｘｙｇｅｎ ｉｎ ｗａｔｅｒ ｏｆ Ｌｕｏｈｅ ｒｉｖｅｒ ｂａｓｉｎ ｉｎ ２００８—２０１０ ｗａｓ ｐｒｅｄｉｃｔｅｄ ａｎｄ ｃｏｍｐａｒｅｄ ｗｉｔｈ ｒｅｃｏｒｄｅｄ ｖａｌｕｅ． Ｆｏｒｍ ｔｈｅ ａｓｐｅｃｔ ｏｆ ｒｅｌａｔｉｖｅ ｅｒｒｏｒ， ｔｈｅ ｍｏｄｅｌ ｗａｓ ｗｉｔｈ ｈｉｇｈ ａｃｃｕｒａｃｙ．

Ｋｅｙ ｗｏｒｄｓ：ｃｈａｏｓ； ｐｈａｓｅ ｓｐａｃｅ ｒｅｃｏｎｓｔｒｕｃｔｉｏｎ； ｗａｔｅｒ ｑｕａｌｉｔｙ ｐｒｅｄｉｃｔｉｏｎ

在管理工作中，決策和計劃占有很重要的地位，正確的決策和計劃取決于對事物的科學預測。水質預測主要依據社會經濟發展程度對水資源造成的污染負荷以及產生的水環境問題，通過預測未來污染物產量，來估計和推測水環境質量，以便針對性地采取對策、防止污染、改善水質、保護水生態。水質預測是水資源保護決策的依據，也是制定流域水資源保護規劃、水污染防治綜合規劃和區域經濟發展的基礎［１］。河流水質的影響因素不僅有物理、化學、氣象、水力學、生物學以及人類活動，也與水文過程密切相關。河流水質在時間和空間上影響變量有很多，是一個開放的、非線性復雜的巨系統。目前常用的水質預測方法有模型模擬預測法、時間序列預測法、人工神經網絡模型預測法、灰色系統預測法等，近年來混沌理論及其在水環境科學領域的應用為水質預測提供了新的途徑和方法。

１ 混沌理論簡述

混沌學源于中國古代，興于當代。１９６３年美國氣象學家Ｌｏｒｅｎｚ發現了著名的“蝴蝶效應”。研究表明一些完全確定的非線性動力系統，甚至可用確定性方程描述的簡單系統，在一定條件下仍可表現出非常復雜的、看似無規則的類隨機運動［２］。

一般認為自然界存在確定性和隨機性兩種系統。對確定性系統，可由確定性微分方程描述其運動，結果可預測；對隨機系統，理論上可采用概率統計預測其運動軌跡，但由于龐大的系統參量，很難對其進行準確預測。恰恰混沌理論可描述第三種情況，即在確定性系統中類似隨機的不規則運動，既有少數變量控制的非線性系統，也可產生一類看似隨機的輸出。混沌理論為自然系統演化規律的確定論和概率論架起了橋梁。混沌理論已形成混沌動力學、混沌工程學、混沌管理學等重要分支學科，應用于自然科學和社會科學在內的眾多科學領域。

２ 河流水質系統的混沌特性分析

水利部門水質監測指標主要有ｐＨ、總硬度、溶解氧（ＤＯ）、化學需氧量（ＣOD）、五日生化需氧量（ＢＯＤ５）、氨氮（ＮＨ３－Ｎ）等。

２．１ 相空間重構

混沌時間序列預測的重要基礎是相空間重構。任何系統的狀態可分解為多個分量，系統的任一分量的演化是由與之相互作用的其他分量所確定，而相關分量的信息隱含在任一分量的發展過程中。分析其中一個分量，并將在某些固定的時間延遲點上的觀測值作為新維度來處理，就可以重構等價的相空間，恢復原有動力學系統。當維數達到一定量時，重構的相空間與原有動力系統有相似的幾何特性與信息特性。對給定水質指標的混沌時間序列｛ｘ（ｔ），ｔ＝１，２，…，Ｎ｝，序列間隔為Δｔ，嵌入滯時為τ，嵌入維數為ｍ，設ｍ＜Ｎ，將時間序列中的Ｎ個數據拓延成Ｎ－（ｍ－１）τ個ｍ維相空間的矢量。

ｘ（ｔ）＝（ｘ（ｔ），ｘ（ｔ－τ），…ｘ（ｔ－（ｍ－１）τ）），ｔ＝（ｍ－１）τ＋１，…，Ｎ

影響相空間重構質量的因素有τ、ｍ以及嵌入窗寬τｗ＝（ｍ－１）τ。將τ和ｍ聯合考慮［３］確定最佳滯時τｄ和τｗ，再通過τｗ確定出ｍ。步驟如下：

①選取合適的數據長度Ｎ，計算時間序列的標準差；

②計算以下３個統計量：

S（τ）=■■■S（m，rj，τ） （１）

ΔS（τ）=■■ΔS（τ） （２）

Scor（τ）=ΔS（τ）+|S（τ）| （３）

式中：ｒｊ＝ｊσ／２，ｊ＝１，２，３，４，

S（m，rj，τ）=■■［CS（m，N/τ，rj，τ）-CmS（1，N/τ，rj，τ）］

ΔS（m，τ）=max{S（m，rj，τ）}-min{S（m，rj，τ）}（m=2，3，4，5；j=1，2，3，4）

關聯積分C（m，N，r，τ）=■ ■ θ（r-dij），r＞0

式中dij=||x（ti）-x（tj）||，若ｘ＜０，θ（ｘ）＝１，Ｍ＝Ｎ－（ｍ－１）τ為相點數。

③依據公式（１）、（２）、（３）作出Ｓ（τ）和τ、Ｓｃｏｒ（τ）和τ的關系圖。τｄ對應Ｓ（τ）的第一個零點，τｗ對應Ｓｃｏｒ（τ）的最小值，ｍ＝ｉｎｔ（τｗ／τｄ＋１）。

２．２ 混沌特性判斷

Ｌｙａｐｕｎｏｖ指數用于量度相空間中初始條件不同的兩條相鄰軌跡隨時間按指數律吸引或分離的程度，表征對初值的極端敏感性。對于系統ｘｎ＋１＝ｆ（ｘｎ），Ｌｙａｐｕｎｏｖ指數表示為：

λ（x0）=■■■，式中ｆ為混沌映射，x0為初值。

對于離散時間序列，可通過

λ1=■■log2■計算Ｌｙａｐｕｎｏｖ最大指數。

當指數Ｌｙａｐｕｎｏｖ＜０，系統的相體積在該方向上是收縮的、穩定的［４，５］。如果某方向上Ｌｙａｐｕｎｏｖ＞０，則表明系統的相體積在該方向上不斷膨脹和折疊，吸引子中鄰近的軌線變得越來越不相關，不能預測其長期演化行為，此時系統演化呈現混沌，混沌系統中至少有一個Ｌｙａｐｕｎｏｖ＞０。而對于不動點吸引子，所有方向上的Ｌｙａｐｕｎｏｖ＜０。具有周期軌道形式的吸引子有一個方向指數為零，其余的指數均小于零。所以，Ｌｙａｐｕｎｏｖ＞０可作為奇異吸引子的標志。

３ 加權動態局域預測模型

３．１ 原理分析

相空間的混沌吸引子具有總體穩定性、吸引性和內部分形性。通過找出當前相點的鄰域內同向變化的狀態與其后續時間序列的函數關系，近似替代當前相點與其后續時間序列的函數關系，從而實現對未來的預測［５］。設ｘ（ｔ）的最鄰近點為ｘｒ（ｔ）（ｒ＝１，２，…，ｎ）到當前相點ｘ（ｔ）的距離為ｄｒ，設ｄｍｉｎ是ｄｒ中的最小值，則第ｒ個鄰近點權重為：

wr=■ （４）

式中ｎ為最鄰近點數。

為在ｘ（ｔ）鄰域內做下步預測，可由下式獲得下一預測值。

ｘ（ｔ+T）=cT（t）φ（x（t））=（c1（t），c2（t），…，cm+1（t））×（?準1（x（t）），?準2（x（t）），…，?準m+1（x（t）））T

式中ｃ（ｔ）＝（ｃ１（ｔ），ｃ２（ｔ），…，ｃｍ＋１（ｔ））Ｔ是系數向量；Ｔ為預測步長；φ（ｘ（ｔ））是局部基函數向量。如采用線性基函數可描述為：

φ（x（t））=（?準1（x（t）），?準2（x（t）），…，?準m+1（x（t）））T=（1，x（t），x（t-τ），x（t-2τ），…，x（t-（m-1）τ））T

ｘ（ｔ）個鄰近點在ｔ＋Ｔ時刻將演化到ｘｒ（ｔ＋Ｔ），系數向量ｘ（ｔ）可通過最小化下式獲得：

■wrxr（t+T）■ci（t）?準i（xr（t））■ （５）

式中ｘｒ（ｔ）＝ｘｒ（ｔ）ｘｒ（ｔ-τ）ｘｒ（ｔ－（ｍ－１）τ）。

３．２ 最鄰近點數的選擇

設ｘ（ｔ）的最鄰近點有下面的關系：

yr=wr■cixir+vr（r=1，2，…，n） （６）

式中，ｙ為響應向量，ｃ為系數向量，ｖ為誤差向量，ｘ為基函數矩陣；

ｙ＝（ｙ１，ｙ２，…，ｙｎ）Ｔ

＝（ｘ１（ｔ＋Ｔ），ｘ２（ｔ＋Ｔ），…，ｘｎ（ｔ＋Ｔ））Ｔ

ｃ＝（ｃ１（ｔ），ｃ２（ｔ），…，ｃｍ＋１（ｔ））Ｔ

ｖ＝（ｖ１，ｖ２，…，ｖｎ）Ｔ

X=（xir）=

?準1（x1（t）） ?準1（x2（t）） … ?準1（xn（t））?準2（x1（t）） ?準2（x2（t）） … ?準2（xn（t）） ■ ■ … ■?準m+1（x1（t）） ?準m+1（x2（t）） … ?準m+1（xn（t））

X=

1 1 … 1 x1（t） x2（t） … xn（t） ■ ■ … ■x1（t-（m-1）τ） x2（t-（m-1）τ） … xn（t-（m-1）τ）；

ｙ的估計值■為：■r=wr■cixir （r=1，2，…，n） （７）

利用加權最小二乘法計算公式（５），可確定ｃ。

不同的點數ｎ對應不同向量■，比較■和ｙ之間的σ２，可選出最小σ２對應的最鄰近點數，對于不同的最鄰近點數ｎ對應不同的σ２。最小σ２對應的最鄰近點數就是需要選定的點數，預測的具體步驟［６－９］：

①依次選取最鄰近點數為ｎ＝２ｍ＋１，…，２ｍ＋１０；

②計算其對應的Ｄ和σ２；

③選擇最小σ２對應的最鄰近點數ｎ*；

④計算下一個預測值ｘ（ｔ＋τ）；

⑤以新的相點作為當前點，返回步驟①進行下一步預測。

４ 實例分析

溶解氧對水生動植物十分重要，其含量多少直接反映水質的好壞，過高和過低的溶解氧都可能對水生生物造成危害。根據《地表水環境質量標準》（ＧＢ ３８３８—２００２）當ＤＯ≥７．５ ｍｇ／Ｌ時，水質為Ⅰ類水；ＤＯ≥６ ｍｇ／Ｌ時，水質為Ⅱ類水；ＤＯ≥５ ｍｇ／Ｌ時，水質為Ⅲ類水；ＤＯ≥３ ｍｇ／Ｌ時，水質為Ⅳ類水；ＤＯ≥２ ｍｇ／Ｌ時，水質為Ⅴ類水。本研究采用洛河上游某水文站１９９８—２００７年每月水質時間序列進行相空間重構和建模，使用加權動態局域預測模型預測２００８—２０１０年各月溶解氧指標，并與水質實測值相比較，統計結果見表１。該模型的預測結果表明，水質類別基本和實測一樣，個別月份稍有偏差，但表現出的水質整體情況較好，模型預測的精度較高，對于實際的洛河流域水資源管理和水質控制有一定的參考價值。

５ 結論

應用混沌理論來定量研究復雜的水環境系統剛剛起步。本研究提供了一種河流水質預測方法，經實例驗證效果較好。但預測方法需要在水質資料較為充足的條件下才能實現，隨著水質監測資料的日益完善，混沌理論將會在水質的短期預測中具有很好的應用前景。

參考文獻：

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［３］ 丁 濤，周惠成，黃建輝．混沌水文時間序列區間預測研究［Ｊ］． 水利學報，２００４，３５（１２）：１５－２０．

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［６］ 丁 濤．混沌理論在徑流預報中的應用研究［Ｄ］． 大連：大連理工大學，２００４．

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［９］ 丁 濤，周惠成．混沌時間序列局域預測模型及其應用［Ｊ］．大連理工大學學報，２００４，４４（３）：４４５－４４８．