基于馬爾柯夫分析法的北京市“十二五”期間CPI預測及變動分析

摘要：本文首先將北京市1997-2010年的CPI漲跌幅度劃分為四種狀態，分別是衰退、增長、通脹和嚴重通脹，然后使用馬爾柯夫分析法建立一個預測北京市“十二五”期間發展狀況的分析模型，并利用此模型對北京市CPI漲跌的變化情況進行了分析和預測。

關鍵詞：北京市 CPI CPI漲跌幅度 馬爾柯夫分析法

一、引言

消費者物價指數（CPI）是世界各國普遍編制的一種指數，指的是衡量所選定的一籃子商品購買價格的指數，它是反映與居民生活有關的產品及勞務價格統計出來的物價變動指標，也是觀察通貨膨脹的重要指標，我國稱之為居民消費價格指數。CPI可用于分析市場價格的基本動態，也是政府制定物價政策和工資政策的重要依據，若CPI升幅過大，表明通貨膨脹已經成為經濟不穩定因素，央行就會有緊縮貨幣政策和財政政策的風險，從而造成經濟前景不明朗，因此，CPI過高的升幅往往不被市場歡迎。

2007年以來，我國物價開始猛漲，一步步增加的生活成本已經深深地影響了居民的幸福水平。近幾年來歐美國家GDP增長一直在2%左右波動，CPI也同樣在0%～3%的范圍內變化，而中國的情況則完全不同。一般情況下，除非經濟生活中有重大的突發事件（如1997年的亞洲金融危機），CPI是不可能大起大落的，所以2004年中國的CPI大幅波動有些異常。隨著CPI大幅波動，國內經濟一時間通貨膨脹率過高，民眾儲蓄負利率嚴重，一時間居民儲蓄又告別負收益，通貨緊縮陰影重現。

CPI的波動引起居民緊張，但我國的經濟狀況總體上是穩定發展的，本文僅研究北京市近年來的CPI，并預測未來五年內的CPI狀態，雖然不能完全概括全國的狀況，但也極具有代表性。

二、馬爾柯夫分析法

馬爾柯夫利用狀態之間轉移概率矩陣預測事件發生的狀態及其發展變化趨勢，也是一種時間序列分析法。它基于馬爾柯夫鏈，根據事件目前的狀況預測將來各個時刻（或時期）的變動狀況。

（一）馬爾柯夫鏈1

事件的發展，從一種狀態轉移到另一種狀態，稱為狀態轉移。在事件的發展過程中，若每次狀態轉移都僅與前一時刻的狀態有關，而與過去的狀態無關，或者說狀態轉移過程是無后效性的，則這樣的狀態轉移過程就稱為馬爾柯夫過程。馬爾柯夫鏈是參數t只取離散值的馬爾柯夫過程。在事件發展變化的過程中，從某一種狀態出發，下一時刻轉移到其他狀態的可能性，稱為狀態轉移概率。若事物有n種狀態，則從一種狀態開始相應就有n個狀態轉移概率，將事物n個狀態的轉移概率一次排開，可以得到一個n行n列的矩陣。

假設{X（t），tT}的狀態空間是離散的，則{X（t），tT}就是一個馬爾柯夫鏈，我們把所有可能的狀態分別記為N1，N2...Nn，用Pij表示系統由狀態Ni經過一次轉移后到達狀態Nj的概率，那么轉移概率矩陣為

P11 P12 … P1n

P21 P22 … P2n

P= … … … …

Pn1 Pn2 … Pnn

如果已知初始狀態S0和轉移概率矩陣P，則經過n步轉移之后的狀態Sn可確定為：

Sn=S0Pn

馬爾柯夫分析理論建立了轉移概率矩陣模型的概念，認為系統的現實狀態僅取決于系統的初始狀態和狀態的轉移概率，它主要是應用隨機狀態事件的各狀態的轉移概率矩陣進行推算，只需要近期資料，不需要大量的歷史數據，因此既可用于短期預測，也可用于長期趨勢研究，避免了深奧的數學推導。

（二）基于馬爾柯夫分析法的經濟預測

馬爾柯夫分析法考慮了各種不同形式的機制轉換行為，屬于機制轉換模型的一個組成部分。馬爾柯夫機制轉換模型將這種機制的轉換作為一個內生變量，認為機制轉換是隨機的， 而且在對模型進行估計時用一個統一的模型來擬合，不僅符合實際情況，而且有利于運用模型對未來進行預測。在馬爾柯夫機制轉換模型中，一種狀態可以對應時間序列變化的一個均值和方差，根據模型設定狀態的多少，可以認為時間序列遵循幾個均值和方差變化。在對模型進行回歸之前，要先確定狀態的個數和滯后的階數，然后進行回歸，模型可以預測未來時刻時間序列所處各個狀態的概率，據此可推定變量所處的具體狀態。

CPI是衡量經濟發展和人民生活水平的重要指標，根據馬爾科夫鏈的定義和性質，考察特定年份的一組CPI數據，它是一個封閉的系統，其變化也是隨機的過程，而且具備無后效性，因此本文認為馬爾柯夫模型符合我國CPI的時間序列特點，可以利用它來對北京市CPI進行分析。

三、歷史數據分析

（一）CPI狀態劃分

CPI指數的上升和下降分別代表一地區經濟的衰退和高漲，若CPI升幅過大，表明該地區已出現通貨膨脹。CPI的漲跌幅度與GDP密切相關，由于近年來我國GDP保持高速增長，CPI也呈現出大起大落的異常狀態。一般來說，當CPI的增幅大于3%時，就意味著經濟中存在通貨膨脹；而當CPI的增幅大于5%時，就意味著經濟中出現了嚴重的通貨膨脹。據此可以將北京市各年度的CPI增幅劃分為以下四種種狀態2：

N1——衰退（CPI增幅<0）

N2——增長（0

N3——通脹（3%

N4——嚴重通脹（CPI增幅>5%）

（二）北京市CPI狀態劃分

由于從1991年到1996年，北京市CPI增長幅度均超過10%，這與過度時期的不穩定性有很大關系，因此參考價值不大，本文選取北京市1997～2010年十四年間的CPI漲跌幅度數據，如表1所示：

表1 北京市1997～2010年CPI漲跌幅度3

圖1 北京市1997～2010年CPI漲跌幅度

十年間北京市CPI漲跌呈波動趨勢，很不穩定，根據衰退（N1）、增長（N2）、通脹（N3）、嚴重通脹（N4）四種狀態的劃分，將北京市的十四年數據進行分類，如表2所示：

表2 北京市1997～2010年CPI漲跌幅度狀態劃分

（三）狀態轉移概率矩陣

根據上面的狀態分類，可以分別計算出四個狀態之間的轉移概率，然后綜合得到狀態轉移概率矩陣。

1. 計算狀態轉移概率

從表2中可以看到，2個由N1轉移出去的狀態，都是從N1轉移到N2（即6→7和13→14），所以：

P11=P（N1→N1）=P（N1|N1）=0

P12=P（N1→N2）=P（N1|N2）=1

P13=P（N1→N3）=P（N1|N3）=0

P14=P（N1→N4）=P（N1|N4）=0

同樣的，在7個由N2轉移出去的狀態中，有5個從N2轉移到N2（即2→3，7→8，8→9，9→10和10→11），有1個從N2轉移到N3（即3→4），有1個從N2轉移到N4（即11→12），所以：

P21=P（N2→N1）=P（N2|N1）=0

P22=P（N2→N2）=P（N2|N2）=5/7=0.7142

P23=P（N2→N3）=P（N2|N3）=1/7=0.1429

P24=P（N2→N4）=P（N2|N4）=1/7=0.1429

在2個由N3轉移出去的狀態中，有1個從N3轉移到N1（即5→6），有1個從N3轉移到N3（即4→5），所以：

P31=P（N3→N1）=P（N3|N1）=1/2=0.5

P32=P（N3→N2）=P（N3|N2）=0

P33=P（N3→N3）=P（N3|N3）=1/2=0.5

P34=P（N3→N4）=P（N3|N4）=0

在2個由N4轉移出去的狀態中，有1個從N4轉移到N1（即12→13），有1個從N4轉移到N2（即1→2），所以：

P41=P（N4→N1）=P（N4|N1）=1/2=0.5

P42=P（N4→N2）=P（N4|N2）=1/2=0.5

P43=P（N4→N3）=P（N4|N3）=0

P44=P（N4→N4）=P（N4|N4）=0

2.總結得到狀態轉移概率矩陣

根據第一步的計算，得到北京市十四年間CPI漲跌幅度變化的狀態轉移概率矩陣為：

0 1 0 0

0 0.7142 0.1429 0.1429

P= 0.5 0 0.5 0

0.5 0.5 0 0

四、預測北京市未來五年CPI漲跌狀態

（一）年度狀態概率預測

在運用馬爾柯夫分析法預測未來某一時刻狀態的概率時，需要設定一個初始狀態，并已知其狀態概率和狀態轉移概率矩陣，然后代入前面提到的公式Sn=S0Pn，其中S0是初始狀態概率，Sn就是需要預測的狀態概率。

將2010年北京市的CPI狀態設為初始狀態，即S0=[0，1，0，0]，狀態轉移矩陣已在文章第三部分中得出，所以可分別預測未來五年北京市的CPI狀態。

2011年：S1=S0P=[0，1，0，0] P=[0，0.7142，0.1429，0.1429]

2012年：S2=S0P2=S1P=[0.1429，0.5816，0.1735，0.1020]

2013年：S3=S0P3=S2P=[0.1378，0.6092，0.1699，0.0831]

2014年：S4=S0P4=S3P=[0.1266，0.6146，0.1721，0.0871]

2015年：S5=S0P5=S4P=[0.1297，0.6092，0.1739，0.0878]

總結如表3所示：

表3 北京市2011～2015年CPI狀態概率預測值

（二）終極狀態概率預測

經過無窮多次狀態轉移后所得到的狀態概率稱為終極狀態概率，假設終極狀態的狀態概率為S=[S1，S2，S3，S4]，那么

[S1，S2，S3，S4]= [S1，S2，S3，S4] P，即：

S1=0.5S3+0.5S4

S2=S1+0.7143S2+0.5S4

S3=0.1429S2+0.5S3

S4=0.1429S2

求解方程組，可以得到：S2>S3>S1>S4，也就是說未來長期內，北京市CPI增幅位于0～3%之間的概率最大，其次是3%～5%，未來北京市出現衰退和嚴重通貨膨脹的可能性不大。

五、總結

從1997年到2010年，北京市CPI有幾次比較大的波動，但多數年份的CPI增幅維持在0～3%，從表1和圖1可以看出，不僅CPI指數持續增長，而且CPI增幅也呈現出增長趨勢。按照CPI的四種狀態劃分，我們很容易看到，從1997年到2010年，有超過一半的CPI增幅維持在0～3%，有超過70%的CPI增幅維持在0～5%。

根據馬爾柯夫分析法，“十二五”期間北京市的CPI將會繼續增長，而且有較大的概率CPI增幅不會超過3%，也就是出現通貨膨脹的可能性不大。通過終極狀態概率預測得到，在未來較長一段時間內，北京市CPI增幅將維持在0～5%，基本上不會出現經濟衰退和嚴重的通貨膨脹。

參考文獻：

[1]孫榮恒.隨機過程及其應用[M].北京：清華大學出版社，2004：38～60.

[2]萬曉西.CPI歷史和國際標準概述.中國貨幣市場，2007.

[3]北京統計局.中國統計年鑒數據庫（1997～2010）.

注釋：

1孫榮恒.隨機過程及其應用[M].北京：清華大學出版社，2004：38～60.

2 萬曉西.CPI歷史和國際標準概述.中國貨幣市場，2007.

3 北京統計局.中國統計年鑒數據庫（1997～2010）.