淺談計算機輔助數學實驗在初中課堂的運用

【摘 要】新的課程標準強調應當開發信息技術資源為數學學習服務。將計算機輔助數學實驗引入初中數學教學是一種全新而有益的嘗試。它能豐富學生的數學活動經驗，有助于理解數學概念本質，同時為學生提供探究性活動平臺。本文從具體實驗設計案例出發，介紹了計算機輔助數學實驗在初中數學教育中的運用。

【關鍵詞】數學實驗 初中數學 信息技術 幾何畫板

【中圖分類號】G632 【文獻標識碼】A 【文章編號】1674—4810（2012）16—0130—02

一 導論

2011年教育部最新修訂版《全日制義務教育數學課程標準》在其基本理念部分明確提出，現代信息技術已對數學教育方式產生重大的影響，初中數學課程設計應將其作為強有力的工具并充分運用。數學實驗作為基于計算機和軟件技術發展起來的新的教學手段，正是信息技術輔助數學教學的理想工具。初中數學教學中，將一部分內容（如函數、幾何和概率統計等），組織成數學實驗課的形式，不僅可以提高學生實踐和參與數學活動的積極性，同時更是培養學生創新意識，提高自主探索能力的有效方式。

二 計算機輔助數學實驗：一種新的學習方式

自20世紀40年代計算機在數學邏輯的基礎上被創立起，之后整個計算機科學的歷史就是數學與之不斷融合、相互促進的歷史。數學是計算機科學的核心，而計算機技術又反過來推動數學的發展：計算圓周率、證明四色定理等不一而足，兩者聯系之緊密甚至超過了數學與自然科學。計算機科學的許多奠基性工作由數學家完成，如被稱作計算機科學之父的馮諾依曼（J. von Neumann）與圖靈（A. M. Turing）。在許多高等院校的建制中，數學與計算機科學隸屬于同一個院系。

生活在21世紀的人，對數學與信息科學之間的聯系有更為深刻的體會。中學生在學校學習基礎數學知識，同時學習信息科學，用Excel處理數據，用幾何畫板作三角形的全等變換，用Visual Basic編寫一元二次方程程序，兩門學科同時為對方服務。對于學生而言，從小學教育之后進入初中，在直觀的認識上數學與信息科學便是相伴而來。當他們升入高中、大學乃至工作以后，繼續使用數學的時候，大多的情況是用Office軟件處理表格和繪制函數，用Mathematica推導微積分，用Matlab做矩陣運算，用R語言作統計應用，用有限元軟件進行工程數值模擬。新世紀中學生所面臨的事實是，數學與信息科學的融合是自始至終，并且再沒有彼此分割的可能。

因此，新時期的教育者必將不能滿足于簡單地將一些多媒體技術引入教室，而必須從更深層次發掘數學與信息技術的內在聯系，一方面，為了讓學生能對將來的應用技術有更充分的準備；另一方面，借助于計算機工具，為學生提供動手實踐、增進學習數學興趣的平臺。正如新課程標準中所指出的：“有效的數學學習活動不能單純地依賴模仿與記憶。”學生學習數學的內容是現實而有意義的，絕不是空泛的。學習初中數學時，學生應當能從生活中得到抽象或從知識經驗中找到基礎。否則，認知過程便會有一個階梯缺失，造成難以逾越的障礙。此時，幫助學生進行自主探索、獲取更廣泛的數學活動經驗的角色便應由教師來完成。數學實驗正是教師提供給學生發揮主體精神、做數學學習主人翁的理想舞臺。數學是思維的藝術，計算機為之提供了動手的可能。傳統的教師板書學生抄筆記的教學方式變革為教師提出問題學生在數學實驗中解決問題，由此數學經驗也得到了豐富。

數學實驗在許多大學中都已是十分成熟的課程，將其引入初中教學尚是全新的嘗試。通過精心的課程安排，完全可以不必借助于超出中學教學范疇的大型計算軟件而從計算機核心的數值處理和圖形能力出發，便能設計出高質量的數學實驗課，正如計算機的使用淡化了花哨的計算技巧而使本質和樸素的數學思想得到彰顯一樣。

三 計算機輔助實驗：獲取數學經驗與認識數學本質——以概率實驗為例

數學概念的形成是高度抽象的結果，這就意味著數學概念并不一定能從現實的具體的存在中得到經驗；即或存在于生活經驗，也常常不是直觀的，認識它們需要辨析和洞察。初中數學所涉及的是數學的基礎性概念，如何幫助學生從本質上理解其定義是教師所關心的問題。本文以概率為例介紹計算機輔助實驗對概念學習的幫助。

概率統計是數學的重要分支，在現代社會的各行各業都有廣泛的應用。企業需要概率統計人才對市場和消費者行為作調研分析，為經營決策提供建議；工廠需要概率統計監控產品質量，優化生產流程。雖然概率統計與生活息息相關，但卻不如四邊形等概念那樣易于從生活經驗中抽象出來。

課本對概率概念的引入是從重復投擲硬幣與骰子這兩個學生可以直接接觸的事物入手的，先介紹什么是隨機事件，繼而用大量重復實驗中事件A的頻率在某個常數p附近，來定義事件A的概率為p。不難發現，這個定義本身就是實驗性的。硬幣投擲是數學史上最廣為人知的實驗之一，操作簡單而意義卻深刻。除了在課堂上組織學生分組投擲硬幣并記錄結果之外，此次實驗與探究課還可以設計為上機實驗。

實驗1：創建一個N個步長的循環，每一步利用計算機生成一個0～1之間的隨機數x，當得到的x滿足0

數變量Q加1。循環結束，計算投擲結果正面頻率 與反面

頻率 。令N分別等于5，10，20，50，100，1000，10000，

重復實驗，記錄每次的頻率。

問題1：請預測，當N增大時，得到的頻率有何種趨勢？用實驗結果檢驗此預測。

問題2：實驗得到的頻率有何種特征，請用頻率估計硬幣正反面出現的概率。

教學經驗表明，組織一次實體硬幣投擲100次的實驗時長半小時，接近一次課的時間。而上機實驗在十分鐘之內即可得到同樣的結果，而且可重復性強，只需要輸入參數N，即可即時得到新的實驗結果。學生的參與熱情非常高，會產生追求更多實驗次數的強烈好奇心，而不局限于教師提供的數字，并紛紛提出改進實驗的建議。至此讓計算機作為強大工具為教師所用和為學生所用的教學目的便達到了。同時，學生在初中三年級同期信息技術課學習的編程能力也得到了鍛煉，對數學和信息技術課的興趣都更加濃厚。學生在滿足好奇心這一天性的同時，對概率有了更直觀的認識。同次課的下半節時間里，教師可安排另一個拓展實驗。課本在選學內容中介紹的布豐投針實驗，作為深化的閱讀和思考。布豐對投針概率的證明并沒有直接給出，而投針因為安全的顧慮也不適宜在課堂上演示。此時計算機模擬數學實驗便顯示出了優越性。筆者考察了概率論的著名案例，設計出以下實驗。

實驗2：正方形ABCD邊長為2，與邊長為1的⊙O相切，如圖1所示。向正方形ABCD投擲任意沙粒，假設沙粒落點Q在正方形任何位置的概率均等，則其落入⊙O之內的概率為：

P= =

利用這個公式，可以用概率的方法得到圓周率π的近似值，并且證明過程簡單明了。

計算機輔助實驗的實現方法為：創建一個N個步長的循環，每一步產生兩個—1～1之間的隨機數x與y，代表沙粒落點的坐標Q（x，y），當Q距離圓心距離小于1時，此時落點在⊙O之內，計數M加1，否則不予計數。當循環結束，

計算頻率F= ，圓周率的近似值為4F。選擇步長令N從小

增大，觀察圓周率近似值的變化趨勢。

圖1 投擲實驗示意圖 圖2 投擲實驗結果圖

實驗結果如圖2所示，實線為圓周率的準確值。由圖可見，當N很小時，得到的頻率有較大振蕩，而當N的數目增大后，頻率逐漸趨向理論概率，圓周率近似值逐漸向準確值趨近。

同樣是寥寥數行代碼即可實現的實驗，能讓學生產生很大的參與感和成就感。數學實驗實現了它所擔負的“去陌生化”的使命，讓數學概念變得切實可感，不再遙遠，不再虛無縹緲。借助圓周率估計這一數學史的重要主題，學生仿佛置身于歷史發現的進程中，用更全局的觀點去觀察和感悟數學之美，這與新課標所提倡的數學之發展性與體驗性正不謀而合。

四 計算機輔助實驗：發現規律與探究問題

新課程標準中將探究物體與圖形的關系列為創新和實踐能力的一部分，鼓勵有挑戰性的探究性活動和探究性課題。另外，觀察近年來的中考試題不難發現，探究性問題成為各個題型的普遍熱點，作為壓軸題出現。作為風向標和指揮棒，命題趨勢反映的是教育界鼓勵勇于探究精神的共識。無論是從培養實踐和思維能力，還是從備戰中考的角度，讓學生更多地參與探索性問題都是非常必要的。

計算機輔助實驗正是這樣一個讓學生參與探索性問題的理想平臺。借助于圖形處理軟件，讓數學問題直觀化、可視化是計算機的巨大優點。探究性問題常見的動點、動線、動面問題，利用幾何畫板便可以非常形象地觀察到動態幾何的趨勢，并且能夠實時測量長度、角度，發現一般規律，從而解決問題。一次數學實驗課可設計為動態幾何的探索性問題專題。下面是根據一道中考試題改編的實驗：

實驗3：等腰直角三角形△ABC與△EFP位于直線l上，初始位置AC與EF重合（見圖3）。△EFP在直線l上向左平移，EP與AC相交于點Q，連接BQ，AP（見圖4）。在幾何畫板中作圖與平移，BQ與AP之間有什么樣的數量關系與位置關系？證明此項結論。

圖3 動態幾何實驗 圖4 動態幾何實驗

在幾何畫板中做出平移之后的圖形，并測量BQ與AP的長度及它們所成的角度，記錄結果。進行多次平移重復測量。可得知BQ=AP，BQ⊥AP。證明的思路是找出△BQC≌△APC。在實驗過程中，利用幾何畫板的圖形平移功能，△EFP的平移簡便且直觀，學生可以順利地找到規律和得出結論。

在直線l平移的過程中同

學們繼而提出：如果△EFP向

右平移，EP交AC的延長線于

Q，BQ與AP之間的數量與位

置關系是否能維持不變？

利用幾何畫板，將△EFP向

右平移多個位置進行測量，可知

BQ=AP，BQ⊥AP的結論仍然

不變。此次實驗中，同學們不僅

從問題中找出了規律，而且利用軟件功能對問題進行了探究，既鍛煉了動手能力，又享受了發現規律的思維樂趣。

五 總結

為響應新課程標準開發信息技術以服務數學學習的號召，將計算機輔助數學實驗引入初中課堂，是一項全新而有意義的嘗試。初中二年級和初中三年級的數學和信息技術在內容上相互交融，數學實驗同時提高了兩門學科的教學效果，并為學生日后在語言和軟件工具中運用數學打下了基礎。

計算機輔助實驗能豐富學生的數學經驗，幫助數學概念的認知和對概念本質的理解，具有可重復性強和速度快的特點，保證了高教學效率。計算機實驗還提供了學生研究探究性問題的平臺，讓中考難點動態幾何問題成為了探索活動靈感的源泉。在精心構思的實驗中，學習數學變得愉快而妙趣橫生，帶動了學生對數學學習的普遍熱情。

參考文獻

[1]教育部.義務教育數學課程標準（2011年版）[M].北京：北京師范大學出版社，2011

[2]董林偉.數學實驗：促進初中生數學學習的一種有效方式[J].中國數學教育（初中版），2012（9）

[3]趙治國.利用信息技術深化數學實驗教學[J].中國電化教育，2011（1）

〔責任編輯：王以富〕