集合關系中的參數求解策略

【摘 要】集合關系中的求參問題，屢見于教科書、復習資料和高考題中，本文闡述了集合運算中解決參數問題的一般策略，并對解題思路進行了概括和歸納。

【關鍵詞】集合；參數；求解；策略

集合關系中的求參問題，題型較多。掌握一般解題規律，正確解決此類問題，培養學生數形結合的數學思想，形成縝密思維的良好數學習慣，提高數學邏輯思維能力，是數學教學的主要任務。下面就常見的兩種類型進行歸納總結，望能達到拋磚引玉之目的。

一、子集關系中的求參問題

預備知識：對于集合A、B，如果A B，則A∩B=A，A∪B=B;

如果I為全集，A I，則CIA∩A= ，CIA∪A=I；

定區間：端點為定值（包括±∞）的區間；

動區間：端點含變量（參數）的區間。

例1如果集合M=[1，4]，N=(-∞ ，a]，滿足M ∩N=M ，求a的取值范圍。

分析：此題中，M=[1，4]為定區間，N=(-∞ ，a]為動區間，

M與N的關系為M N。

先在數軸上畫出定區間M，如圖1：

再由M是N的子集（M包含于N中），表示出動區間N的大致位置，如圖2:

解：由M∩N=M得：M N，M、N的關系如圖2，N的右端點不可能在M右端點的左側，所以有a≥4。

說明：當兩右端點重合時，同樣有M N，符合題意.

評：解決此類問題一般分三步：

1.審題：找出集合間的包含關系。

2.畫圖：先定后動，在數軸上表示出集合關系。

3.轉化：將集合關系轉化為不等量關系，得出答案。

例2 （2011北京卷理），已知集合P=｛x | x2≤1｝，M=｛a｝，P∪M=P，則a的取值范圍是

A．(-∞， -1] B．[1， +∞）

C．[-1，1] D．（-∞，-1]∪[1，+∞）

解：P=｛x | x2≤1｝=[-1，1]，

由P∪M=P得，M P，如圖3：

故 -1≤a≤1，選C。

例3 已知集合A={x|x2-4x-5≥0}，B={x||x-a|<4}，且A∪B=R，求實數a的取值范圍。

解：A=(-∞，-1]∪[5，+∞)，B=(a-4，a+4)。

由A∪B=R，A、B關系如圖4：

∴ 得1≤a≤3

說明：在處理區間端點時，實點能包虛點，但虛點不能包實點。

二、集合對等關系中的求參問題

集合的對等，就是集合之間具有一定的等量關系，利用這種等量關系，找出元素的等量關系，進而求得參數的取值。

例4 設全集U={2，3，5}，A={|a-5|，2}，CUA={5}，求a的值。

解：∵A∪CUA=U ∴|a-5|=3

解得a=2或a=8

驗根：經檢驗，a=2和a=8都符合題意。

評：解決此類問題一般分兩步：

1.由集合的對等關系確定元素之間的等量關系。

2.驗根、確定答案。

例5 已知全集U={1，3，a2-2a-3}，A={|a+1|，3}，且CUA={5}，求實數a的值。

解：由CUA={5}得5∈U，

故a2-2a-3=5，解得a=-2或a=4

驗根：當a=-2時，A={1，3}，U={1，3，5}，符合題意。

當a=4時，A={5，3}，U={1，3，5}，與CUA={5}矛盾，應舍去。

所以a=-2。

以上幾例雖然都是一些集合運算中的簡單問題，但通過分析求解，不僅加深了對集合關系的理解，也加深了對集合中變量（參數）的認識，在教學中應引起重視。

（作者單位：甘肅省西和縣職業教育中心）