談開放性問題的應(yīng)用

摘 要：開放性問題是數(shù)學教學的一種模式，具有新穎性、動態(tài)性、發(fā)散性和創(chuàng)新性等特點，還具有一定的知識教育價值、能力發(fā)展教育價值和人文教育價值，在數(shù)學教學中有廣泛的應(yīng)用。本文從借助開放性趣味題激發(fā)學生探究的興趣、將封閉性問題改為開放性問題引導(dǎo)學生多角度探究、用引發(fā)爭論的焦點問題引導(dǎo)學生合作與交流、進入考試的開放性問題等四個方面進行簡單闡述。

關(guān)鍵詞：開放性問題；價值；應(yīng)用

中圖分類號：G427 文獻標識碼：A 文章編號：1992-7711（2012）23-077-2

開放性問題作為一種具有特殊形式的數(shù)學問題，與一般的數(shù)學問題一樣也具有知識教育價值。以學習過程的訓練價值為分類標準，可以將開放性問題分為知識鞏固型、信息遷移型、知識發(fā)生型。其中，知識鞏固型開放性問題要求學生用已有的知識來解決問題，因而豐富了學生原有的認知結(jié)構(gòu)，兼有同化和順應(yīng)的作用；知識發(fā)生型開放性問題能引起新知識的發(fā)現(xiàn)或?qū)椭R的一種新領(lǐng)悟。由此我們不難看出開放性問題不僅具有鞏固知識的同化作用，更具有深化和擴展知識的順應(yīng)作用。不僅如此，因為在開放性問題的解決中，學生從各自不同的已有認知基礎(chǔ)出發(fā)，真正參與到教學中，去體驗教學，建構(gòu)自己的認知結(jié)構(gòu)。所以通過這種方式而進行的知識的同化和順應(yīng)，其結(jié)果更加牢固。以下從初、高中數(shù)學的部分題目為例，分四種情形為標準，結(jié)合平時所學的知識進行分類，并加以分析。

一、借助開放性趣味題，激發(fā)學生探究的興趣

在新知識的導(dǎo)入中巧設(shè)趣味性的、新穎奇特的開放性問題，能誘發(fā)學生的好奇心，激發(fā)學生的探究興趣，調(diào)動學生學習的主動性和積極性。

例如必修2學習算法的課題引入中，可以給學生出這樣引入：

師：“每個同學心里想一個整數(shù)，按如下的流程圖進行計算，把結(jié)果記在心里。”

師：“我能猜出你們的答案！”

生：“不可能！老師你說說看！”

師：“答案肯定是4！”

班上自然會熱鬧起來。很多同學不明白為什么互不相同的數(shù)，卻能得到相同的結(jié)果；更不明白老師是怎么知道的。探究的興趣一下子就被激發(fā)出來了。這時，老師就可以順勢引導(dǎo)學生說：“數(shù)學在日常生活中經(jīng)常被用來解決類似的問題。”

平時，教師要注意收集一些有趣的、帶有懸念的、能引起學生興趣的問題，如“中央電視臺的《焦點訪談》節(jié)目為什么首播時間要放在19：38呢？”；“將一長厚度為009mm的紙對折42次后，其厚度是多少？是否能夠從地球到達月球？”前者應(yīng)用于“鐘面上的追擊問題”的教學中，后者應(yīng)用于“數(shù)的乘方”的教學中。通過這些饒有情趣的數(shù)學問題，創(chuàng)設(shè)出開放性的問題情境，激發(fā)了學生的學習興趣，引發(fā)了學生積極主動的思考。

類似這樣的開放性問題有利于激發(fā)學生學習興趣，樹立學習的自信心，凸現(xiàn)學生的主體意識，形成獨立的人格和克服困難、勇于探索的意志品質(zhì)，培養(yǎng)群體意識和合作精神，增強競爭機制，培養(yǎng)探索意識和創(chuàng)新意識，形成正確的科學態(tài)度等方面，具有極大的優(yōu)勢。

二、將封閉性問題改為開放性問題，引導(dǎo)學生多角度探究

開放性問題有利于學生形成發(fā)散思維，為學生的自主探究創(chuàng)造了條件。很多原有的包含了數(shù)學思想和數(shù)學方法精髓的封閉型問題稍加改變，成為開放性問題后，學習大大提高。

例 已知，如圖1，在△ABC中，點D，E是BC邊上的點，且BD=CE，AD=AE。求證：AB=AC。

可以將題目改編為一道開放性的問題，學生有了興趣和信心，再對學生進行多方面的引導(dǎo)，使他們進行多方面的思考和探究，既可強化學生對知識的理解和應(yīng)用，提高學習效率，還能促進他們的思維能力。

（1）改編成條件開放性問題：

已知：如圖1，在△ABC中，點D，E是BC邊上的點，且AD=AE，要證明△ABD△ACE，還需要補充一個怎樣的已知條件？

（2）改編為結(jié)論開放性問題：

已知：如圖1，在△ABC中，點D，E在BC邊上，且BD=CE，AD=AE，從已知條件你能得到哪些結(jié)論？

（3）改編成綜合開放題：

已知：如圖1，在△ABC中，點D，E在BC上，現(xiàn)在有4個論斷：①∠BAD=∠CAE，②AD=AE，③AB=AC，④BD=CE，請你從中選出兩個論斷作為題設(shè)，另兩個論斷作為結(jié)論組成一個真命題，并加以證明。

通過一題多變，讓學生感受到，同一個圖形背景下的問題，卻能從不同的角度變化出多樣化的問題，使學生學會多方面、多角度地思考問題和探究問題，加強知識的貫通和應(yīng)用的靈活度。

因為開放性問題具有寬松的解題環(huán)境和答案的多樣性，所以學生可以根據(jù)自己的經(jīng)驗、知識水平、認知能力，按自己的意愿選擇思維方式解決問題。這樣，不同的學生就可以體驗不同的數(shù)學，不同學習水平的學生均能有所收獲，從而使每位學生都能享受到“做數(shù)學”成功的快樂，增強他們學習數(shù)學的自信心。

三、用引發(fā)爭論的焦點問題，引導(dǎo)學生合作與交流

合作與交流是開放式學習所倡導(dǎo)的一種學習方式。在教學過程中，通過焦點問題，引發(fā)學生相互探討，互補學習，增強合作意識和交往能力。

例 若關(guān)于x的方程（k-1）x2+2kx+k+3=0（k為整數(shù)）有實數(shù)根，求k的最大值。

一些同學通過求Δ=（2k2）-4（k-1）（k+3）>0得出k<32，又由于k為整數(shù)，故k的最大值為0。

但馬上有同學反駁道：必須使二次項系數(shù)k≠1時，才能考慮判別式的值。于是許多同學馬上求得k的最大值為0。

但也有同學說：“當k=1時，是一元一次方程。”方程有實數(shù)根-2，于是k的最大值仍然是1。這個結(jié)果讓同學們既感到有趣，又感到困惑。這不是從終點又回到了起點了嗎？

通過同學之間的熱烈討論，相互質(zhì)疑，相互補充，最后同學們達成了共識：k的最大值確應(yīng)為1，但是此“1”非彼“1”也。學生們通過相互間的交流與合作，更加加深了對判別式的理解和對分類討論的認識。

在問題的教學中，既要有學生獨立思考的活動，還需要師生之間、學生之間的合作、討論、交流的群體活動。開放性問題答案的多樣性使得其最終的解決只靠個人的力量在有限的時間內(nèi)難以完成，需要依靠集體的智慧和群體的力量。在這種群體學習活動中，學生既要準確地表達自己的思想和見解，又要善于聆聽別人的見解，尊重別人，關(guān)心和理解別人，認識合作的重要性。

開放性問題的解決雖然需要群體合作，但也不排斥競爭。相反，正是開放性問題解答的多樣性和差異性，使其有了優(yōu)與劣、多與少、簡與繁的區(qū)別。也正是這種差異的存在，激發(fā)了學生的好勝心，使競爭意識悄然地滲入學生的頭腦中，把競爭機制引入開放性問題的課堂教學上。

四、進入考試的開放性問題

由于開放性問題在考查學生潛質(zhì)，特別是在考查一些與記憶性的基礎(chǔ)知識和操作性的基本技能相比具有更高層次的思維能力方面，與傳統(tǒng)封閉性考題相比有其獨特的作用。近年來，開放性問題越來越頻繁地出現(xiàn)在數(shù)學考試的試卷中。

例 兩個全等的三角板，可以拼出各種不同的圖形。圖3要求畫3種不同的圖形，并且每種圖形中已畫出一個三角形，請你分別畫出另一個與其全等的三角形，使每個圖形分別成不同的軸對稱圖形（所畫三角形可與原三角形有重疊部分）。

命題者給出了圖4所示的四種答案，并特此說明“此為不同情形下的部分解法，供參考”。事實上，本題的答案是無限的：在任意一個答案的基礎(chǔ)上同時對稱地平移、旋轉(zhuǎn)兩個三角形，都可以得到另一個答案。盡管命題者沒有指明這一點，但從其所給的四個答案示例來看，顯然已經(jīng)充分注意到它們的典型性。這與一些隨意地列舉部分答案作為解答示例的命題者相比，已經(jīng)是相當難能可貴的了。

對開放性問題，人們談?wù)撟疃嗟氖牵核欣谂囵B(yǎng)學生的發(fā)散思維和創(chuàng)造能力。這也是開放性問題教育價值最核心的內(nèi)容和最主要的體現(xiàn)。目前，人們普遍認為素質(zhì)教育的核心是培養(yǎng)創(chuàng)新精神和培養(yǎng)創(chuàng)造能力。而開放性問題是推進數(shù)學素質(zhì)教育的一個切入點和突破口。這從一個側(cè)面反映了開放性問題在培養(yǎng)創(chuàng)造能力方面具有巨大的教育價值。

當然，開放性問題也不是完美的，也有其自身的不足之處。如：開放性問題在單一的技能訓練、知識學習上費時費力，效率較低；在教學時易受課時的制約，在課堂上出現(xiàn)學生的思維在低層次上重復(fù)現(xiàn)象，不易進行深入的研究；開放性問題的教學對教師要求較高，不易推廣等等。因而，我們應(yīng)該把開放性問題和封閉性問題在教學中結(jié)合起來。開放性問題和封閉性問題在數(shù)學教學中應(yīng)是并存而非排斥的。封閉性問題主要引起認知結(jié)構(gòu)的同化，而開放性問題則是引起認知結(jié)構(gòu)的順應(yīng)。在認知變化的過程中，同化說明成長，是一種量的變化，而順應(yīng)則說明發(fā)展，是一種質(zhì)的變化。這兩種心理過程結(jié)合在一起進行很多次循環(huán)，乃是智慧的適應(yīng)和解決問題能量的發(fā)展的原因。

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