數(shù)學(xué)教學(xué)：追尋“簡(jiǎn)單知識(shí)”中的“不簡(jiǎn)單”

摘 要：本人經(jīng)過(guò)一段時(shí)間的實(shí)踐探索，發(fā)現(xiàn)“認(rèn)數(shù)”知識(shí)其實(shí)都是學(xué)生學(xué)習(xí)中的一些“節(jié)點(diǎn)”，具有不可替代性。我們只有善于從“簡(jiǎn)單”中找尋出“不簡(jiǎn)單”，才能幫助學(xué)生認(rèn)清知識(shí)的本質(zhì)屬性，從而實(shí)現(xiàn)數(shù)學(xué)素養(yǎng)的全面提升。

關(guān)鍵詞：簡(jiǎn)單知識(shí)；數(shù)；十進(jìn)制；數(shù)感

中圖分類號(hào)：G427 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A 文章編號(hào)：1992-7711（2012）23-020-2

很多老師都覺(jué)得有關(guān)“認(rèn)數(shù)”知識(shí)的學(xué)習(xí)太簡(jiǎn)單了，尤其是在低年級(jí)，這樣的課即便不教，孩子也不會(huì)出現(xiàn)問(wèn)題。對(duì)于這些“簡(jiǎn)單知識(shí)的教學(xué)”，我們不能只看學(xué)生的表面現(xiàn)狀，而是要深入地剖析文本，挖出其隱藏的數(shù)學(xué)知識(shí)，從“簡(jiǎn)單”中找尋出“不簡(jiǎn)單”，讓學(xué)生不僅在數(shù)學(xué)認(rèn)知上有收獲，更重要的是學(xué)生的數(shù)學(xué)思想、數(shù)學(xué)方法、思維品質(zhì)等方面都能得到發(fā)展。

一、“掀起了你的蓋頭來(lái)”——概念解讀，初識(shí)“數(shù)”

什么是“數(shù)”？學(xué)習(xí)“數(shù)的認(rèn)識(shí)”（無(wú)論是“20以內(nèi)數(shù)的認(rèn)識(shí)”還是“億以內(nèi)數(shù)的認(rèn)識(shí)”）到底要認(rèn)識(shí)數(shù)的哪些意義？電話號(hào)碼是數(shù)嗎？弗賴登塔爾在《作為教育任務(wù)的數(shù)學(xué)》一書中指出：“以方法論、發(fā)生論和教學(xué)論的觀點(diǎn)看，數(shù)在內(nèi)容和形式上都存在許多不同方面的概念。例如：從內(nèi)容上看，數(shù)就有自然數(shù)、整數(shù)、實(shí)數(shù)和復(fù)數(shù)，這幾類數(shù)通過(guò)嵌入關(guān)系而相互聯(lián)系。因此，片面地談?wù)摗當(dāng)?shù)的概念’就會(huì)產(chǎn)生誤解。”他還從數(shù)的概念的形成角度將“數(shù)”分為以下幾類：“計(jì)數(shù)的數(shù)”、“數(shù)量的數(shù)”、“度量的數(shù)”和“計(jì)算的數(shù)”。對(duì)于自然數(shù)而言，弗賴登塔爾尤其強(qiáng)調(diào)作為“計(jì)數(shù)的數(shù)”的教育價(jià)值，他說(shuō)：“數(shù)的概念產(chǎn)生過(guò)程中，計(jì)數(shù)的數(shù)是最初始的，最具有意義的。數(shù)量只是進(jìn)一步深入時(shí)的一個(gè)側(cè)面，這一點(diǎn)不應(yīng)被發(fā)展心理學(xué)和教育學(xué)所忽視。”由此可見(jiàn)，弗賴登塔爾作為著名的數(shù)學(xué)家和數(shù)學(xué)教育家，他更加重視自然數(shù)的“計(jì)數(shù)的數(shù)”的側(cè)面，強(qiáng)調(diào)“計(jì)數(shù)的數(shù)”的教學(xué)價(jià)值，當(dāng)然他也不否認(rèn)自然數(shù)的“數(shù)量的數(shù)”的側(cè)面。

而學(xué)生“數(shù)概念”的建立也是一個(gè)循序漸進(jìn)的過(guò)程，即從實(shí)際體驗(yàn)“數(shù)”的活動(dòng)發(fā)展到討論這些“數(shù)體驗(yàn)”的活動(dòng)，從最初的用非正式語(yǔ)言對(duì)其進(jìn)行討論發(fā)展到后來(lái)的用更多的正式語(yǔ)言進(jìn)行討論，之后才開(kāi)始學(xué)習(xí)使用數(shù)學(xué)符號(hào)。

二、“讓我慢慢地靠近你”——踐行探索，走進(jìn)“數(shù)”

（一）多層次操作，體驗(yàn)“十進(jìn)制”規(guī)則的產(chǎn)生歷程

【案例描述】《認(rèn)識(shí)20以內(nèi)的數(shù)》教學(xué)片段：

擺一擺（一）：

（1）師：就這么擺著，能一下子看清楚這里有12根嗎？

思考：有什么好辦法能讓我們清楚地看出這里有多少根小棒？

（2）交流。

生1（邊說(shuō)邊演示）：我是把12根小棒6根6根地?cái)[。

學(xué)生辨析，認(rèn)為：左邊6根右邊6根，還是要數(shù)數(shù)才知道。

……

（3）學(xué)生操作：一起數(shù)小棒，數(shù)到10個(gè)一，把10根小棒捆起來(lái)。

師：這一捆就表示1個(gè)幾？

師：計(jì)數(shù)時(shí)只有滿了10根才能捆起來(lái)，我們?cè)贆z查一下，手里的這一捆是不是1個(gè)十？

學(xué)生一起解開(kāi)皮筋，再一根一根地?cái)[數(shù)。

……

對(duì)于《認(rèn)識(shí)20以內(nèi)的數(shù)》這一課，很多老師都會(huì)發(fā)出這樣的感慨：“現(xiàn)在的學(xué)生不要說(shuō)20以內(nèi)的數(shù)了，100以內(nèi)甚至更大的數(shù)都早就認(rèn)識(shí)了，這節(jié)課學(xué)生除了在說(shuō)‘10個(gè)一、1個(gè)十’時(shí)表達(dá)有點(diǎn)困難，其他問(wèn)題一點(diǎn)都沒(méi)有。”是的，經(jīng)過(guò)調(diào)查，我們確實(shí)發(fā)現(xiàn)：一般來(lái)說(shuō)，每一個(gè)孩子都知道20以內(nèi)的數(shù)，都能比較熟練地一一順數(shù)，甚至還能倒著數(shù)，對(duì)于每一個(gè)數(shù)所表示的數(shù)量多少、彼此之間的大小關(guān)系基本都了然于胸。這些知識(shí)大多源自他們的生活經(jīng)驗(yàn)與積累。但這課果真就沒(méi)有教學(xué)的必要了嗎？學(xué)生課堂上對(duì)“10個(gè)一、1個(gè)十”的表述不暢，僅僅只是表達(dá)上的問(wèn)題嗎？“10個(gè)一”、“1個(gè)十”是什么意思？為什么滿了“10個(gè)一”就要看成“1個(gè)十”……其實(shí)，學(xué)生對(duì)這些早已熟悉的數(shù)的建立機(jī)制——十進(jìn)制計(jì)數(shù)法的具體規(guī)則，卻并不了解。而這些數(shù)學(xué)問(wèn)題關(guān)系到學(xué)生今后能否正確地理解計(jì)數(shù)法則，也是學(xué)生今后學(xué)習(xí)較大數(shù)的基礎(chǔ)，但這些卻是學(xué)生生活經(jīng)驗(yàn)中所沒(méi)有的。因此，教師應(yīng)將這些“學(xué)校數(shù)學(xué)”中才可能涉及的問(wèn)題確立為本課的教學(xué)重點(diǎn)。

確立了重點(diǎn)后，教學(xué)又該按怎樣的邏輯遞進(jìn)比較合理呢？教材是先通過(guò)一一累加數(shù)小棒，引出“10個(gè)一是1個(gè)十”這一規(guī)則，再讓學(xué)生在擺小棒的過(guò)程中學(xué)會(huì)運(yùn)用該規(guī)則清楚地?cái)[出11—20各數(shù)，從而讓學(xué)生對(duì)十進(jìn)制計(jì)數(shù)法建立初步框架。應(yīng)該說(shuō)，這是站在知識(shí)客體的角度，按照知識(shí)的邏輯順序——先定規(guī)則，再予以運(yùn)用進(jìn)行編排的，它所遵循的是知識(shí)邏輯，這本無(wú)可厚非，但我們?cè)趯?shí)際教學(xué)中，除了要關(guān)注知識(shí)的發(fā)生發(fā)展，我們更需要關(guān)注學(xué)生的已有經(jīng)驗(yàn)和基礎(chǔ)，關(guān)注學(xué)生的學(xué)習(xí)感受。因此，上述案例對(duì)教材進(jìn)行了調(diào)整和重組，以“10個(gè)一是1個(gè)十，1個(gè)十是10個(gè)一”為教學(xué)重點(diǎn)，通過(guò)先數(shù)出12根小棒，再提出“怎樣能比較清楚地看出是12根”的開(kāi)放性問(wèn)題，讓學(xué)生先借助操作產(chǎn)生多種表示方法，再通過(guò)辨析比較，在化繁雜為簡(jiǎn)明的目標(biāo)指引下，經(jīng)歷建構(gòu)計(jì)數(shù)方法并了解十進(jìn)制基本規(guī)則的過(guò)程。在此基礎(chǔ)上，再一次組織學(xué)生進(jìn)行抓數(shù)小棒等操作活動(dòng)，幫助學(xué)生進(jìn)一步明晰“10個(gè)一是1個(gè)十”、“十幾是由1個(gè)十和幾個(gè)一組成的”……這樣的多層次操作既幫助學(xué)生了解了十進(jìn)制的由來(lái)，又能檢驗(yàn)學(xué)生是否會(huì)正確地應(yīng)用“十進(jìn)制”。

（二）多角度數(shù)數(shù)，強(qiáng)化“計(jì)數(shù)的數(shù)”的教育價(jià)值

【案例描述】《認(rèn)識(shí)100以內(nèi)的數(shù)》教學(xué)片斷：

一、做小裁判，鞏固多種計(jì)數(shù)方法。

（逐一出示情境圖，引導(dǎo)學(xué)生按要求數(shù)數(shù)。）

（1）小狗打槍，打中1槍得1分，快幫小狗數(shù)數(shù)，它得了多少分？（從86數(shù)到100）

（2）給磚做標(biāo)記，初識(shí)百數(shù)表。

師：大象一共搬了100塊磚，我們請(qǐng)數(shù)朋友來(lái)幫忙給它標(biāo)記上。

（課件動(dòng)態(tài)演示：在磚塊上標(biāo)數(shù)：從1標(biāo)到100）

……

（3）給數(shù)排隊(duì)，初識(shí)數(shù)軸

師：現(xiàn)在就讓這100個(gè)數(shù)去排隊(duì)，你們看！

（課件動(dòng)態(tài)演示：百數(shù)表中每10個(gè)數(shù)一組，連接著排成一排的過(guò)程。）

學(xué)生議論：太長(zhǎng)了！后面我們都看不見(jiàn)了！

師：這個(gè)隊(duì)伍長(zhǎng)不長(zhǎng)？如果我要在100的后面再排數(shù)，你們說(shuō)該排誰(shuí)了？

生：黑板都不夠。

師：太長(zhǎng)了，我可不畫那么長(zhǎng)，我想了一個(gè)辦法，你們看行不行：我在這兒畫個(gè)小箭頭就讓數(shù)朋友一直排下去，行嗎？我想了這么一個(gè)好辦法，你們給我鼓鼓掌吧。我現(xiàn)在就給數(shù)安排家了。

（教師在數(shù)軸上找到0和100的位置）

師：還有幾個(gè)數(shù)也特別想找到自己的家，你們?cè)敢鈳蛶兔幔?/p>

組織學(xué)生繼續(xù)給50、70等數(shù)找家。

計(jì)數(shù)是認(rèn)數(shù)的基礎(chǔ)，是學(xué)生理解作為計(jì)數(shù)的數(shù)的重要活動(dòng)。教學(xué)《100以內(nèi)數(shù)的認(rèn)識(shí)》，很多老師總是讓學(xué)生干巴巴地去數(shù)數(shù)：順著數(shù)、倒著數(shù)、從一個(gè)指定數(shù)數(shù)到另一個(gè)指定數(shù)……學(xué)生的數(shù)數(shù)本領(lǐng)是練得不錯(cuò)，但在這數(shù)數(shù)的背后，學(xué)生的數(shù)學(xué)思想、思維品質(zhì)又得到了多少發(fā)展呢？格爾曼和加利斯特爾在20世紀(jì)70年代末的研究發(fā)現(xiàn)：數(shù)概念的發(fā)展涉及對(duì)數(shù)數(shù)技能的整合和應(yīng)用，兒童數(shù)數(shù)的學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)與數(shù)概念的發(fā)展有直接的聯(lián)系。而且，學(xué)生數(shù)數(shù)技能的發(fā)展也經(jīng)歷了不同的階段：唱數(shù)、一一點(diǎn)數(shù)、按群計(jì)數(shù)等，尤其當(dāng)學(xué)生能在數(shù)軸上向右繼續(xù)數(shù)下去時(shí)，數(shù)數(shù)活動(dòng)就更具有重要的教育價(jià)值，既可以往前數(shù)（一個(gè)一個(gè)地、幾個(gè)幾個(gè)地），也可以往回?cái)?shù)，往前繼續(xù)數(shù)就是“加”（幾個(gè)幾個(gè)地繼續(xù)數(shù)就是“乘”），往回?cái)?shù)就是“減”（幾個(gè)幾個(gè)地倒著數(shù)就是“除”，恰好數(shù)到“零”就是整除，最后不夠“一份”就是有余數(shù)的除法），可見(jiàn)，四則運(yùn)算與計(jì)數(shù)之間是相互聯(lián)系的，而這些聯(lián)系是形成有效計(jì)算策略的基礎(chǔ)，是將抽象的計(jì)算視覺(jué)化、形象化。

經(jīng)過(guò)調(diào)查，我們發(fā)現(xiàn)，一年級(jí)學(xué)生在計(jì)數(shù)過(guò)程中表現(xiàn)出來(lái)的計(jì)數(shù)水平是不同層次的。學(xué)生計(jì)數(shù)在一一點(diǎn)數(shù)的基礎(chǔ)上有了按群計(jì)數(shù)的意識(shí)，但以10為單位進(jìn)行計(jì)數(shù)的學(xué)生不多。這說(shuō)明雖然在20以內(nèi)數(shù)的認(rèn)識(shí)中突出了10的作用，但由于數(shù)較小，學(xué)生對(duì)10在計(jì)數(shù)中的作用感受得并不是很深，而對(duì)計(jì)數(shù)單位認(rèn)識(shí)的深度，將直接影響學(xué)生對(duì)數(shù)的意義的理解，影響學(xué)生對(duì)十進(jìn)制計(jì)數(shù)系統(tǒng)的認(rèn)識(shí)深度。因此有必要通過(guò)引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷計(jì)數(shù)（一一點(diǎn)數(shù)、按群計(jì)數(shù)）的過(guò)程，感受10在計(jì)數(shù)中的作用，通過(guò)理解10的作用進(jìn)一步認(rèn)識(shí)十進(jìn)制計(jì)數(shù)系統(tǒng)。本案例從多層次、多角度安排學(xué)生進(jìn)行數(shù)數(shù)，將多種計(jì)數(shù)策略貫穿在教學(xué)活動(dòng)中。比如安排學(xué)生在“數(shù)尺”上“一個(gè)一個(gè)地?cái)?shù)”、“幾個(gè)幾個(gè)地?cái)?shù)”，尤其是“十個(gè)十個(gè)地?cái)?shù)”等活動(dòng)，引導(dǎo)學(xué)生將口頭“數(shù)數(shù)”與觀察直觀的數(shù)尺上的數(shù)建立一一對(duì)應(yīng)關(guān)系。這樣的設(shè)計(jì)是將具有數(shù)學(xué)本質(zhì)意義的活動(dòng)融入在生動(dòng)有趣的游戲活動(dòng)中，既符合低年級(jí)學(xué)生的心理特點(diǎn)和認(rèn)知特點(diǎn)，又具有“數(shù)學(xué)品位”，特別突出了數(shù)數(shù)的數(shù)學(xué)功能，尤其強(qiáng)調(diào)了“計(jì)數(shù)的數(shù)”的教育價(jià)值，是真正有思維價(jià)值的有效的活動(dòng)。

（三）多模式表示數(shù)，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)感

《數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》明確提出，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)感是小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)的重要目標(biāo)之一，而認(rèn)數(shù)教學(xué)是培養(yǎng)學(xué)生數(shù)感的重要載體。關(guān)于數(shù)感，《課程標(biāo)準(zhǔn)》是這樣說(shuō)明的，“數(shù)感主要表現(xiàn)在：理解數(shù)的意義；能用多種方法來(lái)表示數(shù)；能在具體的情境中把握數(shù)的相對(duì)大小關(guān)系；能用數(shù)來(lái)表達(dá)和交流信息；能為解決問(wèn)題而選擇適當(dāng)?shù)乃惴ǎ荒芄烙?jì)運(yùn)算的結(jié)果，并對(duì)結(jié)果的合理性作出解釋。”長(zhǎng)期研究培養(yǎng)學(xué)生數(shù)感的英國(guó)學(xué)者朱莉婭·安吉萊瑞在《如何培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)感》一書中談到，孩子們具有的這種對(duì)數(shù)字之間關(guān)聯(lián)的意識(shí)以及靈活地解決數(shù)字問(wèn)題的能力稱為“對(duì)數(shù)字的感覺(jué)”或“數(shù)感”。具有數(shù)感的典型特征是學(xué)生能對(duì)所遇到的數(shù)字模式和計(jì)算過(guò)程做出歸納，并能將新知識(shí)和已有知識(shí)相聯(lián)系。朱莉婭·安吉萊瑞還指出：“數(shù)感是高度個(gè)性化的產(chǎn)物，它不僅和孩子們已有的數(shù)概念相聯(lián)系，也和怎樣形成這些概念相聯(lián)系。”因此，在認(rèn)數(shù)教學(xué)中，教師要關(guān)注學(xué)生認(rèn)數(shù)的過(guò)程，幫助他們?cè)谡J(rèn)數(shù)過(guò)程中建構(gòu)數(shù)本身以及數(shù)之間的邏輯關(guān)系，從而逐漸培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)感。

【案例描述】《認(rèn)識(shí)100以內(nèi)的數(shù)》教學(xué)片斷：

師：要認(rèn)識(shí)100以內(nèi)的數(shù)，老師給大家請(qǐng)來(lái)了一位老朋友，是誰(shuí)呀？（出示10）這可是我們認(rèn)數(shù)時(shí)的好朋友。（將10貼在黑板上）

教師引導(dǎo)學(xué)生操作：

……

引導(dǎo)學(xué)生十個(gè)十個(gè)地?cái)?shù)，100里面有10個(gè)十。

在本案例中，教師先讓學(xué)生記住10根小棒有多少，再把兩個(gè)10根堆在一起，讓學(xué)生記住20根是多少，最后要求學(xué)生把學(xué)具盒里的所有小棒都倒在桌子上，估一估有多少根？不斷強(qiáng)化計(jì)數(shù)單位“十”的作用，而這一系列操作訓(xùn)練，其落腳點(diǎn)就是在不斷培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)感。學(xué)生在想辦法估的過(guò)程實(shí)際就是對(duì)數(shù)感的運(yùn)用和理解的過(guò)程。同時(shí)通過(guò)操作學(xué)具，還讓學(xué)生進(jìn)一步體驗(yàn)100既可以表示成5個(gè)20，又可以表示成10個(gè)10等，40是39后面的數(shù)，也可以說(shuō)成是4個(gè)十等，引導(dǎo)學(xué)生嘗試著用多種模式來(lái)表示數(shù)，同時(shí)，隨著學(xué)生對(duì)單個(gè)數(shù)的體驗(yàn)逐步加深，他們能逐漸意識(shí)到每個(gè)數(shù)是怎樣和其他眾多數(shù)聯(lián)系起來(lái)的，從而進(jìn)一步提升他們的數(shù)感。

三、“我的未來(lái)不是夢(mèng)”——后續(xù)思考，挖深度

對(duì)于像“認(rèn)數(shù)”這樣的“簡(jiǎn)單內(nèi)容”的教學(xué)，我們需要把握的是：一、弄清教學(xué)內(nèi)容的關(guān)節(jié)點(diǎn)，鎖住關(guān)節(jié)點(diǎn)就是鎖住了教學(xué)內(nèi)容的核心，這樣會(huì)讓我們的教學(xué)不會(huì)發(fā)生方向性錯(cuò)誤；二、弄清教學(xué)的鏈接點(diǎn)，所有的數(shù)學(xué)知識(shí)都是相互關(guān)聯(lián)的，這毋庸置疑，“認(rèn)數(shù)”知識(shí)的學(xué)習(xí)是為其他數(shù)學(xué)知識(shí)的學(xué)習(xí)打基礎(chǔ)的；三、要善于尋找簡(jiǎn)單教學(xué)內(nèi)容的思維點(diǎn)，對(duì)于簡(jiǎn)單的教學(xué)內(nèi)容，我們要善于往深處挖掘、往廣處拓展，不能做到這一點(diǎn)，數(shù)學(xué)課就會(huì)索然無(wú)味，就不能將培養(yǎng)學(xué)生思維的深刻性、批判性、靈活性等落實(shí)到位。從這一角度看，簡(jiǎn)單的教學(xué)內(nèi)容，更需要我們?cè)O(shè)計(jì)開(kāi)放自主的課堂、合作交流的課堂、探索發(fā)現(xiàn)的課堂，只有這樣，“簡(jiǎn)單的教學(xué)內(nèi)容”才會(huì)在我們的課堂上變得不簡(jiǎn)單！