基于黃金分割二分法鞍點線抽樣的可靠性分析

摘 要：為解決非正態變量空間中復雜多變的隱式非線性功能函數的可靠性問題，融合鞍點估計與線抽樣法的優點，結合二分法的特點與黃金分割法的求解效率，提出基于黃金分割二分法的鞍點線抽樣法.在標準化變量空間中，沿重要線抽樣方向，利用黃金分割點的二分法快速找到各樣本點對應于功能函數的零點，從而可按照鞍點估計的思想將結構的失效概率轉化為一系列線性功能函數失效概率的算術平均值.研究表明：基于黃金分割二分法的鞍點線抽樣法在求解非正態變量空間中復雜多變的隱式非線性功能函數的結構可靠性時不僅精度高，而且速度快.

關鍵詞：鞍點估計；線抽樣法；黃金分割法；二分法；可靠性

中圖分類號：TH123.3 文獻標識碼：AReliability Analysis Based on Saddlepoint

Approximationline Sampling Method of Golden Section Dichotomy

對于實際工程中非正態隨機變量的結構可靠性問題，傳統Monte Carlo數字模擬法抽樣效率低，對于小概率問題，其計算量很難為工程所接受[1-2].傳統線抽樣法[3]，通過n-1維空間的隨機抽樣和一維插值，將非線性功能函數的失效概率轉換成一系列線性功能函數失效概率的算術平均值[4]，從而可在高維與小概率情況下高效估計結構的可靠性，但線抽樣的整個分析過程是在標準正態空間內完成的，不可避免地會使其精度受到非正態變量向標準正態變量這一非線性轉換的影響，當功能函數出現非單調性時，甚至還使線抽樣得出錯誤的結果[5].鞍點估計[6]采用隨機變量的累積生成函數來估計結構的響應功能函數的累積分布函數或失效概率，它不受基本變量分布類型的限制，并適用于非正態變量的情況，卻要求功能函數是線性的.為了滿足這一要求，文獻[7-9]分別將非線性功能函數在均值點與設計點處用Taylor公式展開成近似的線性表達式，但對非線性程度很大或非線性程度不大而隨機變量的變異系數較大的問題，這一處理方式很難得到滿足精度要求的近似解，且它須輸出功能函數的梯度函數，對隱式函數來說，并非易事.利用鞍點估計對基本變量分布形式無限制與線抽樣法適應于非線性功能函數的優點，文獻[6]提出了鞍點線抽樣法，實現了兩者的優勢互補，有效地解決了一般功能函數的可靠性問題，但對于復雜多變的、特別是線抽樣方向為多峰的功能函數，其三點二次插值法[10，6]在求線抽樣方向功能函數的零點與累計生成函數微分方程的鞍點時均束手無策，為此，文獻[11]采用線性插值的方法，但它仍需得到功能函數的梯度函數，同樣不適合分析實際工程中許多采用近似方法得到的隱式功能函數.因二分法無需事先輸出功能函數的梯度函數，不僅適合于求解隱式的功能函數，還能有效解決多峰函數的問題.借鑒黃金分割法的求解效率，本文提出基于黃金分割二分法的鞍點線抽樣法，以進一步解決實際工程中復雜多變的隱式非線性功能函數的可靠性問題.湖南大學學報（自然科學版）2012年第11期張干清等：基于黃金分割二分法鞍點線抽樣的可靠性分析1 基于鞍點估計的可靠性分析

鞍點概率估計的基本思想是[6]：利用隨機變量的線性功能函數的累積生成函數（Cumulative Generating Function，CGF）的性質和傅立葉反變換來求得功能函數的概率密度函數基于鞍點的指數冪級數表達式.