基于MLPG法的動態斷裂力學問題

摘 要： 利用無網格局部PetrovGalerkin（MLPG）方法分析了受瞬態載荷作用的動態斷裂力學問題.采用移動最小二乘近似函數為試函數，并利用罰函數法施加本質邊界條件.同時，利用紐馬克法進行時間積分.最后求解了雙缺口板尖端附近的應力場，以及Ⅰ型和Ⅱ型應力強度因子隨時間的變化關系.算例表明：利用MLPG方法分析受瞬態常壓力作用的動態斷裂力學問題是可行的和有效的，且具有效率高和容易分析的特點.

關鍵詞：局部PetrovGalerkin方法；動態斷裂力學；移動最小二乘近似函數；紐馬克法；應力強度因子

中圖分類號： O346.11 文獻標識碼：AAn Analysis of the Dynamic Fracture Problem by

the Meshless Local PetrovGalerkin Method

結構和材料的動態斷裂及其引發的后續破壞是對重大工程結構安全最具威脅性的失效形式之一.與材料和結構的靜態或準靜態行為不同，在沖擊載荷作用下，脈沖載荷的高頻模態將控制材料和結構的響應.此時應力波的傳播和耗散，以及波在不同介質及表面上反射、透射和散射所引起的動應力集中等局部狀態將對材料的破壞和失效起決定作用.

一般地，可通過理論分析或實驗研究來得到關于材料及結構的沖擊動力學行為.但是，沖擊載荷作用下材料和結構變形的復雜性使得理論分析難以展開，而實驗研究則需耗費大量資金、材料.近年來，計算科學的發展為復雜問題的研究提供了有效的手段.數值模擬被越來越多地應用于復雜介質在復雜載荷作用下的動力學響應的研究中.然而，在涉及超大變形、不連續邊界的快速擴展、高速沖擊、多相變等問題的研究中，傳統的基于網格的算法的應用將受到局限.而沖擊動力學問題正是以材料或結構體的大變形、不連續邊界的快速移動（如裂紋快速擴展、激波等）以及大梯度場（如局部應力集中、剪切帶、功能梯度材料本構造成的大梯度效應）等為特征，因此，開發適合于求解沖擊動力學問題的數值算法已成為沖擊動力學問題的一個重要的研究方向.

MLPG方法是近年來興起的無網格方法的一種.這種方法只需要節點信息而不需要單元信息，不僅避免了繁瑣的單元網格生成，而且提供了分析的連續性與靈活性，因此應用前景廣闊.Atluri和Zhu[1]利用這種方法對Laplace方程、Poisson方程和勢流問題進行了求解；Gu 和 Liu[2]應用紐馬克法分析了梁的受迫振動問題；Organ等[3]分別將可視法、衍射法及透射法用于無網格法分析斷裂力學問題中；龍述堯等[4-6]把局部PetrovGalerkin法應用于平面彈性力學問題與板彎曲問題.本文將這種方法用于求解動態斷裂力學問題，并且將計算結果與有限元分析結果進行了對比.

湖南大學學報（自然科學版）2012年第11期龍述堯等：基于MLPG法的動態斷裂力學問題1 彈性動力學問題的局部PetrovGalerkin

方程在二維域Ω內的彈性動力學問題的控制方程、初始條件和邊界條件為：