高考中導數大題的得分技巧分析

導數作為高中數學的一個新增內容，在近幾年高考中都有重要的體現.作為一個解題工具，它與其他知識點的聯系密切，如導數與單調性，導數與值域，導數與不等式，導數與解析幾何等，正因為以導數為工具的題型覆蓋面廣，而且導數也切實實現了簡化解題步驟，明晰解題思路的作用，所以在近幾年高考中，導數問題才經久不衰，穩居壓軸題之位.下面是我對近幾年高考題中的導數壓軸題得分及解法技巧的一些粗淺認識，僅供大家參考.

一、得分技巧

1.中等偏下學生，記住公式，求導得分.

導數問題雖然是壓軸題，但他的第一個問通常是在含參數的前提下求單調區間，求極值的問題，只要有函數，就一定要求導，求導時會應用的公式為

①相乘形式的函數導數的求法，即(f(x)g(x))′=f′(x)g(x)+f(x)g′(x))

②自然對數的導數，指數函數的導數，三角函數的導數，即(lnx)′=■，(ex)′=ex，(sinx)′=cosx，(cosx)′=－sinx

所以作為中等偏下學生只要記住以上幾個公式，就可以得到這道高考題的2分左右.

2.中等學生注意定義域，利用導數的恒成立，解決第一問.

高考中的導數大題一定是含參數的，我們會在參數參與的前提下求解點調區間，或極值問題，這就需要對參數的取值范圍進行討論.

例如1:2011遼寧卷文科22題第一問

已知函數f(x)=(a+1)lnx+ax2+1.

（Ⅰ）討論函數f(x)的單調性；

在對函數求導后得到，f′(x)=■+2ax=■，

在定義域為(0，+∞)的前提下，導數的分子為最高次項含參數的一個新函數g(x)=2ax2+a+1，而當a≥0時，函數g(x)≥0恒成立.所以得到了第一種情況的單調性.同時，第一種情況中a≥0這個范圍的出現也給下面的討論提供了范圍依據，接下來再在a<0時按照函數g(x)的零點情況繼續討論即可.

這道題是利用導數與0之間存在某種可確定大小關系的可能性，先分析出導數大于0或小于0恒成立的參數的取值范圍，得到單調性的第一個結論，再在參數的其他范圍內，對導數與0所構成的不等式進行求解，從而得到第一個問的結論.

3.上中等學生常回顧，利用本題曾經獲得的結論，構造函數爭取滿分.

高考中導數問題一般為兩個問，第一個問以討論函數的單調性居多，第二個問多為不等式的恒成立問題，第二個問的不等式的求解過程中常常要用到第一個問曾經獲得的結論，所以在解題時要時刻回顧，尋找可利用的依據.

二、解題技巧

在對最近五年高考題的整理中，我發現，導數問題在解法上還是有一定的規律可查的。

具體規律有以下幾個：

(1)求導后導數的幾個固定形式：①含分母的導數形式f(x)=■ ，此類導數是由含有lnx的函數求導得到的，所以定義域為(0，+∞)，此時導數的正負與分母無關，只要研究分母g(x)=mx2+nx+p，分m=0 及m≠0時△與0的關系即可.②含ex的導數形式，此類導數的原函數若為相乘形式的函數，則提取ex，導數的正負與ex無關，若只有個別式子含有ex則考慮二次求導。③含三角函數的導數形式，利用三角函數的有界性。

（2） 二次求導的使用。

高考題中有時會涉及到二次求導的使用.

如2010課標卷第21題

設函數f(x)=ex－1－x－ax2。

（1）若a=0，求f(x)的單調區間；

（2）若當x≥0時f(x)≥0，求a的取值范圍

在(2)問中，一階求導后，f′(x)=ex－1－2ax，而這一函數仍為超越函數，要研究原函數的單調性，我們還是無從下手，所以用二階求導，令g(x)=f′(x)，則g′(x)=ex－2a ，此時，由已知x≥0，所以ex≥1，即2a與1的大小關系是二階導數與0的關系討論的依據，而二階導數與0的關系決定一階導數的單調性，一階導數若單調的話，則一定有f′(x)≥(≤)f′(0)=0恒成立，即獲得了原函數得單調性.

考慮會用到二階求導，是當一階導數仍為超越函數，無法直接研究原函數的單調性.

(3)恒成立的應用.恒成立是導數問題中永恒的話題.歸結為一句話就是恒成立即為求最大值與最小值問題，所以是導數應用的一個最重要的體現.在導數問題中，幾乎所有的最后一問都要涉及到這類恒成立問題.

如2011年北京卷第18題

已知函數f(x)=(x－k)■e■.

(1)求f(x)的單調區間；

(2)若對于任意的x∈(0，+∞)，都有f(x)≤■，求k的取值范圍；

即為證明f(x)■≤■即可.

如2010課標卷第21題

設函數f(x)=ex－1－x－ax2。

(1)若a=0，求f(x)的單調區間；

(2)若當x≥0時f(x)≥0，求a的取值范圍.

第二問即求f(x)min≥0

以上 是我個人在導數問題上就得分技巧和解題技巧兩方面的一些淺顯認識，在高考中，要想順利地解決導數問題還需要各位同仁共同努力，尋找更多好的方法和途徑，使學生少走彎路，做到事倍功半，提高高考分數.