高三文科數學立體幾何復習課教學設計

摘 要： 根據《數學課程標準》及現代認知心理學理論，本節課從介紹立體幾何證明常見二十四招式前半部分開始，應用發現思維等尋找證明思路，在尋找證明思路的過程中，學生通過不同形式的自主學習、探究活動，體驗數學發現和創造的歷程.

關鍵詞： 立體幾何證明 常見招式 證明思維 教學設計

【教學目標】

1.知識與技能：掌握立體幾何證明常見二十四招式中的前半部分并能應用.

2.過程與方法：能應用立體幾何證明常見二十四招式中的前半部分解決證明問題；應用發現思維等尋找證明思路.

3.情感態度與價值觀：在尋找證明思路的過程中培養合作學習、共同探究的精神.

【教學重點】

掌握立體幾何證明常見二十四招式中的前半部分并能應用.

【教學難點】

應用發現思維等尋找立體幾何證明的思路.

【教學方法】

講授法、發現法.

【教學手段】

多媒體.

【教學流程】

【教學過程】

一、問題導學

立體幾何證明常見招式有哪些？

看到等腰就劈斷、看到中點找中點、看到垂直做垂直、電線桿和田埂、泥工師傅灌平臺、吊瓶架兩垂直、公理四傳染病、透過竹簽就垂直、三推一……

招式簡介：

看到等腰就劈斷：看到等腰三角形，連接頂點和底邊中點.

看到中點找中點：看到三角形一條邊的中點，尋找另一邊的中點并連接之.

看到垂直作垂直：看到兩個平面互相垂直，在其中一個平面內過一個點作垂直于兩平面的交線的直線，則所作的直線與另一個平面垂直.

電線桿和田埂：一條直線和一個平面垂直，則這條直線垂直于平面內的任一直線.

泥工師傅灌平臺：一個平面內兩交線分別平行于另一個平面，則這另個平面平行.

吊瓶架兩垂直：一條直線垂直于一個平面內的兩條交線，則這條直線與平面垂直.

公理四傳染病：兩條直線都與第三條直線平行，則這兩條直線平行.

透過竹簽就垂直：一個平面經過另一個平面的垂線，則這兩個平面垂直.

三推一：平面外的一條直線平行于一個平面內的一條直線，則平面外的直線與平面平行.

設計意圖：復習舊知識，自然引出新問題.

二、講授新課

例1.在三棱錐A-BCD中，AD=AC，BC=BD，求證：AB⊥CD.

分析：證明思路是什么？應用什么招式？

要證明AB⊥CD，只需證明AB垂直于CD所在的平面.

看到AD=AC，BC=BD，用“看到等腰就劈斷” 招式.

看到CD⊥AE，CD⊥BE，用“吊瓶架兩垂直” 招式.

看到CD⊥平面ABE，用“電線桿和田埂” 招式.

證明：取CD中點E，連接AE、BE，

∵AD=AC，∴CD⊥AE，

同理CD⊥BE，

∵AE∩BE=E，

∴CD⊥平面ABE，

∵AB？奐平面ABE，

∴AB⊥CD.

小結：這是年全國高考改編題，題目簡潔明了，用三個招式就可以解決問題.

例.正方體中ABCD-A■B■C■D■，AA■=2，E為棱AA■的中點.

（Ⅰ）求證：AC■⊥B■D■；

（Ⅱ）求證：AC■∥平面B■D■E.

分析：證明思路是什么？應用什么招式？

（Ⅰ）要證明B■D■⊥AC■，只需證明B■D■垂直于AC■所在的平面，用“吊瓶架兩垂直” 招式.

（Ⅱ）要證明AC■∥平面B■D■E，只需證明AC■平行于平面B■D■E內的一條直線，用“看到中點找中點”、“三推一” 招式.

證明： （Ⅰ）連接AC■，交B■D■于點O，

由正方體的性質可知AA■⊥平面AA■C■，

∵AA■⊥B■D■，又A■C■⊥B■D■，

∵AA■∩A■C■=A■，∴B■D■⊥平面AA■C■

又AC■？奐平面AA■C■，∴B■D■⊥A■C■，即AC■⊥B■D■.

（Ⅱ）連接EO，在△A■AC■中，A■E=EA，A■O=OC■，

∴EO∥AC■，又EO？奐平面B■ED■，

AC■？埭平面B■ED■，∴AC■∥平面B■D■E.

小結：這是2012年寧德市高中畢業班單科質檢（文）試題，題目精美，用三個招式就可以解決問題.

例3.如圖，已知AB⊥平面ACD，DE∥AB，AD=DE=2AB，△ACD為正三角形，且F是邊CD的中點.

（Ⅰ）求證：AF∥平面BCE；

（Ⅱ）求證：平面BCE⊥平面CDE.

分析：證明思路是什么？應用什么招式？

（Ⅰ）要證明AF∥平面BCE，只需證明AF平行于平面BCE內的一條直線，用“看到中點找中點”、“三推一”、 “公理四傳染病”招式.

（Ⅱ）要證明平面BCE⊥平面CDE，只需證明平面BCE內的一條直線與平面CDE垂直，用“看到中點找中點”、“三推一”、 “公理四傳染病”、“透過竹簽就垂直”招式.

證明： （Ⅰ）取CE中點P，連接FP，BP，

∵F為CD中點，∴FP∥DE，且FP=■DE.

又AB∥DE，且AB=■DE，AB∥FP，且AB=FP，

∴ABPF為平行四邊形，∴AF∥BP.

又∵AF？埭平面BCE，BP∥平面BCE，

∴AF∥平面BCE.

（Ⅱ）∵△ACD為正三角形，∴AF⊥CD，

∵AB⊥平面ACD，DE∥AB，∴DE⊥平面ACD，

∴DE⊥AF，又CD∩DE=D，∴AF⊥平面CDE，

∵BP？奐平面BCE，∴平面BCE⊥平面CDE.

小結：這是南平市屆高三適應性考試數學（文）試題，題目精美，用五個招式就可以解決問題.

設計意圖：應用立體幾何證明常見二十四招式中的前半部分解決證明問題.通過三道例題的講解，由易到難，引導學生應用發現思維尋找證明思路，培養學生能力.

三、課堂練習

如圖，在四棱錐P-ABCD中，側面PAD⊥底面ABCD，側棱PA=PD=■，底面ABCD為直角梯形，其中BC∥AD，AB⊥AD，AD=2AB=2BC=2，O為AD中點.

求證：PO⊥平面ABCD.

設計意圖：初步鞏固所學知識.

四、課堂小結

通過本節學習，要求大家掌握立體幾何證明常見二十四招式中的前半部分并能應用，應用發現思維等尋找證明思路.

設計意圖：對本節課知識結構進行概括，使學生對知識橫而成網、縱而成鏈，在招式應用方面能用一招一式解決問題，為下一步的招式相連做準備.

五、課后作業

年、年福建省高考（文）立體幾何大題.

設計意圖：鞏固所學知識.

【設計說明 】

一、設計理念

根據《數學課程標準》及現代認知心理學理論，本節課從介紹立體幾何證明常見二十四招式前半部分開始，應用發現思維等尋找證明思路.在尋找證明思路的過程中，學生通過不同形式的自主學習、探究活動，體驗數學發現和創造的歷程.

二、本節內容的地位作用

立體幾何證明常見二十四招式前半部分，是立體幾何復習課的第一課時，在教學時可以復習舊知識，又可以對后面的立體幾何證明起到承上啟下的作用.

三、教學診斷分析

學生容易理解的內容.

立體幾何證明常見二十四招式中的前半部分.

學生不容易理解的內容.

應用立體幾何證明常見二十四招式中的前半部分解決證明問題；應用發現思維等尋找證明思路.

四、教學媒體的運用

適當應用多媒體.

【教學反思】

學生學習數學的過程實際上是一個數學認知的過程，是學生在老師的指導下把教材知識轉化成自己的數學認知結構的過程.本節課從介紹立體幾何證明常見二十四招式前半部分開始，應用發現思維等尋找證明思路，在尋找證明思路的過程中，學生能力得到了提高.

參考文獻：

[1]數學課程標準.北京：北京師范大學出版社，2007.