因式分解在中考題中的運(yùn)用

多項(xiàng)式的因式分解作為初中數(shù)學(xué)中的一種有力工具，在代數(shù)、幾何、三角等都有廣泛運(yùn)用，中考中的因式分解方法有：提取公因式法、運(yùn)用公式法、分組分解法、十字相乘法、配方法等.下面以近幾年中考題為例說明之，供讀者參考.

一、 在求值中的運(yùn)用

例1. （2011年鹽城中考題）已知a-b=1，則代數(shù)式2a-2b-3的值是（ ）

A. -1 B.1 C.-5 D.5

簡析：對原式代數(shù)式變形得2a-2b-3=2（a-b）-3，將a-b=1代入可得待求式=2×1-3=-1，故選A.

例2. （2009年大慶市中考題）若a+b=3，ab=1，則a■+b■=？搖 ？搖.

簡析：對a+b=3兩邊平方得

a■+b■+2ab=9

易得a■+b■=9-2×1=7

點(diǎn)評：有些求值問題不能直接代入求值，這就要看怎樣變形求值了，因式分解就是一種很好的變形方法.

二、 在分式化簡中的運(yùn)用

例3. （2012年濟(jì)南中考題）化簡■÷■

解：原式=■×■=■

例4. （2012年江西中考題）化簡（■-1）÷■

解：原式=■÷■=■×■=-1

點(diǎn)評：在分式的乘除運(yùn)算中常遇到化簡問題，在分式的加減運(yùn)算中遇到通分問題.分式的化簡通常歸結(jié)為對多項(xiàng)式的分解，因此分式的化簡是因式分解的重要應(yīng)用之一.

三、 在解方程中的運(yùn)用

例5.（2012年河北省中考題）用配方法解方程x■+4x+1=0，配方后的方程是（ ）

A.（x+2）■=3 B.（x-2）■=3 C.（x-2）■=5 D.（x+2）■=5

解：x■+4x+1=0

x■+4x=-1

x■+4x+4=-1+4

（x+2）■=3，故選A.

例6. （2011年安徽省中考題）一元二次方程x（x-2）=2-x的根是（ ）

A.-1 B.2 C.1和2 D.-1和2

簡析：移項(xiàng)得x（x-2）+（x-2）=0

提公因式，得（x-2）（x+1）=0

解得x■=2，x■=-1，故選D.

例7.（2012年安徽省中考題）解方程x■-2x=2x+1

解：x■-4x=1

x■-4x+4=1+4

（x-2）■=5

x-2=±■

x■=2-■，x■=2+■

點(diǎn)評：將方程因式分解后再求解往往較容易.

四、 在幾何求解中的運(yùn)用

例8. （2012年陜西省中考題）如圖1，PA、PB分別與⊙O相切于點(diǎn)A、B，點(diǎn)N在PB上，且ON∥AP，MN⊥AP，垂足為N.

①求證OM=AN；

②若⊙O的半徑R=3，PA=6，求OM的長.

簡析： （1）如圖，連接OA，

則OA⊥AP

因?yàn)镸N∥AP，所以MN∥OA

因?yàn)镺M∥AP，所以四邊形ANMO是矩形

所以O(shè)M=AN

（2）連接OB，則OB⊥BP

所以O(shè)A=MN，OA=OB，OM∥AP

所以O(shè)B=MN，∠OMB=∠NPM

所以Rt△OBM≌Rt△MNP

所以O(shè)M=MP

令OM=x，則NP=9-x

在Rt△MNP中

x■=3■+（9-x）■

x■-（9-x）■=9

（x+9-x）（x-9+x）=9

2x-9=1

x=5，即OM=5.

五、 在概率求解中的運(yùn)用

例9. （2010年云南大理、麗江、怒江、迪慶、臨滄五地州中專題）四張質(zhì)地相同并標(biāo)有數(shù)字0、1、2、3的卡片（如圖2所示）將卡片洗勻后，背面朝上放在桌面上，第一次任意抽取一張（不放回），第二次再抽取一張，用列表法或樹狀圖求兩次所抽卡片上的數(shù)字恰好是方程x■-5x+6=0兩根的概率.

簡析：x■-5x+6=0

（x-2）（x-3）=0

x■=2，x■=3

樹狀圖

所以兩次所抽卡片的數(shù)字是方程兩根的概率是■=■.

六、在代數(shù)、三角方面的綜合運(yùn)用

例10.已知方程2x■-4sinθx+3cosθ=0的兩根相等，且θ為銳角，求θ和這個方程的兩根.

簡析：由判別式Δ=0，得

16sin■θ-24cosθ=0

即2sin■θ-3cosθ=0

所以2（1-cos■θ）-3cosθ=0

2cos■θ+3cosθ-2=0

（2cosθ-1）（cosθ+2）=0

因?yàn)棣葹殇J角，cosθ+2≠0，所以2cosθ-1=0，得cosθ=■，于是θ=60°，

故方程的根是x■=x■=■=sin60°=■.

七、 在函數(shù)求解中的綜合運(yùn)用

例11.（2012年貴陽中考題）如圖3，二次函數(shù)y=■x■-x+c的圖像與x軸分別交于A、B兩點(diǎn)，頂點(diǎn)M關(guān)于x軸的對稱點(diǎn)是M′.

①若A（-4，0），求二次函數(shù)的關(guān)系式；

②在①的條件下，求四邊形AMBM′的面積；

③是否存在拋物線y=■x■-x+c，使得四邊形AMBM′為正方形.若存在，請求出此拋物線的函數(shù)關(guān)系式；若不存在，請說明理由.

簡析：（1）把（-4，0）代入解析式y(tǒng)=■x■-x+c，得■×（-4）■+4+c=0，解得c=-12.

所以拋物線的解析式為y=■x■-x-12.

（2）由y=■x■-x-12可化成y=■（x-1）■-■，所以M點(diǎn)的坐標(biāo)為（1，-■），M關(guān)于x軸的對稱點(diǎn)M′的坐標(biāo)為（1，■），對于y=■x■-x-12，令y=0，解得x■=-4，x■=6.

所以A、B兩點(diǎn)坐標(biāo)為（-4，0）、（6，0），則AB=10，MN′=25，由已知可得四邊形AMBM′為菱形，S■=■AB×MM′=■×10×25=125.

（3）如果四邊形AMBM′是正方形，則MM′垂直平分AB，且MM′=AB.

設(shè)A（x■，0），B（x■，0），AB=|x■-x■|=■，而x■、x■是方程■x■-x+c=0的兩根，方程可變換為x■-2x+2c=0.

所以x■+x■=2，x■x■=2c

所以AB=■=2■

所以M點(diǎn)的坐標(biāo)為（1，-■）.

把點(diǎn)M（1，-■）代入y=■x■-x+c，得-■=■-1+c，兩邊平方，解得c■=-■，c■=■.

當(dāng)c■=■時，拋物線為y=■x■-x+■=■（x■-2x+1）=■（x-1）■.

頂點(diǎn)在x軸上，舍去.

故當(dāng)c=-■時，使得四邊形AMBM′是正方形.

點(diǎn)評：通過配方求二次函數(shù)的頂點(diǎn)坐標(biāo)，兩點(diǎn)之間的距離公式|x■-x■|=■=■的變形等都利用了配方法，在一切可以用上的場合要自覺地運(yùn)用它去分析、處理問題，力求合理、迅速、準(zhǔn)確地解題.