劈地問題大串燒

斜劈和地面間靜摩擦力方向的判斷歷來都是各類物理測試中的重點和難點，特別是高考物理中對這方面的考查更是歷久不衰。筆者在多年的教學實踐中發現，許多同學在判定“劈地”間的靜摩擦力方向等相關問題時，常常感到束手無策、費時費力，最終導致事倍功半，甚至在某些方面長期存在錯誤認識。為此本文就“劈地”間的相關問題進行全面的歸類解析，以期大大增強靜摩擦力的教學效果。

一、情景再現

如圖1所示，滑塊A和斜劈B的質量分別為m和M，A、B間和B與水平地面之間的接觸面均粗糙，不論A做何種運動，斜劈和地面間總保持相對靜止，且斜劈僅受地面和滑塊的作用。試分析斜劈在下述的各種情況下所受地面給它的靜摩擦力的大小和方向。

二、問題本質

如圖2所示，不論A在B上做何種運動（含靜止），A對B的作用力通常有兩個：摩擦力f′和壓力N′，要想判斷地面對斜劈的靜摩擦力方向，只要判斷出斜劈相對于地面的相對運動趨勢的方向即可，也就是說要得出f′和N′在水平方向的分量f■′和N■′的大小關系就可以了，而地面對斜劈的支持力等于斜劈重力Mg與f■′和N■′三者之和。本文主要討論劈地間的靜摩擦力。

三、分類解析

1.A相對于B向上運動。

如圖3所示，不論A在B上是加速、減速還是勻速運動，只要A相對于B是向上運動的，那么地面對B的靜摩擦力方向就是水平向右的。

析：當A在斜劈上向上運動時，滑塊A對斜劈的f■′和N■′同向，皆向左，斜劈具有向左的運動趨勢，此時地面對斜劈的靜摩擦力：f■=f■′+N■′，方向向右；對B的支持力：N■=Mg+N■′-f■′，方向豎直向上。

圖3 圖4

2.A在B上靜止：此時地面對斜劈沒有靜摩擦力。

析：如圖4所示，由于滑塊靜止，斜劈對滑塊的合力豎直向上，與滑塊重力mg是一對平衡力，故A對B壓力和靜摩擦力的合力大小也是mg，方向豎直向下，斜劈無運動趨勢，故f■=0，N■=（M+m）g。

3.在A本來就可以靜止在B的情況下，再對A施加一任意方向的恒力F，結果A、B和地面三者之間仍保持相對靜止。

a.當F豎直向下時，不論F多大，滑塊A均不會運動，這種情形叫斜面的“自鎖”。此時可以理解為A的重力變大，此時地面對斜劈仍無靜摩擦力；地面對斜劈的支持力為N■=（M+m）g+F。

b.當F不沿豎直方向時，而是與水平方向成θ角，如圖5所示，由于三者仍相對靜止，可以把A、B作為一個整體進行受力分析，根據整體的受力平衡不難得：f■=F■=Fcosθ，方向向右；N■=（M+m）g+Fsinθ，當F方向斜向上方時，式中加號變成減號，地面對斜劈支持力小于二者重力之和。總之，這種情況下，劈地間一定存在靜摩擦力，直接將F分解即可得到靜摩擦力的大小，方向與F■的方向相反。

4.當A可以在B上勻速下滑時，地面對斜劈沒有靜摩擦力。

析：如圖4所示，只需將2中滑塊受到的靜摩擦力換為滑動摩擦力即可，它們的大小仍等于滑塊重力沿斜面向下的分力，A對B的合力仍然是豎直向下，斜劈對地無相對運動趨勢，劈地間仍無靜摩擦力。

5.在A可以在B上勻速下滑的情況下，再對A施加一恒力，如圖6所示，F與水平方向成θ角，只要保證滑塊A仍然是沿斜劈向下運動的，則此時地面對B仍沒有靜摩擦力。下面進行詳細論證。

析：下面以在F作用下A沿斜劈加速下滑為例進行分析。

圖6 圖7

當未加外力F時，A勻速下滑，如圖7所示，對A受力分析列方程可得：N■=mgcosα ①，f■=μ N■ ②，f■=mgsinα ③。由①②③可得：μ=tanα，這是一個眾所周知的結論，由于A勻速下滑，還可得：f■=N■。故A對B的壓力N■′和滑動摩擦力f■′在水平方向的分量也具有：f■′=N■′，故這時地面對斜劈無靜摩擦力，這正是剛剛4中得到的結論。

當F作用時，A加速下滑，如圖8所示，對A進行受力分析可得：N■=mgcosα+Fsin（θ-α），f■=μN■，Fcos（θ-α）+mgsinα-f■=ma。由于F的作用，帶來A、B間壓力的增加量和滑動摩擦力的增加量分別為：ΔN=N■-N■=Fsin（θ-a） ④Δf=f■-f■=μFsin（θ-α） ⑤

圖8 圖9

如圖9所示，將它們的反作用力沿水平方向分解可得：ΔN■′=ΔN′sinα=Fsin（θ-α）sinα ⑥Δf■′=Δf′cosα=μFsin（θ-α）cosα ⑦

又因為μ=tanα，所以有ΔN■′=Δf■′，這就說明由于F的作用，A對B增加的壓力水平方向的分量與增加的滑動摩擦力在水平方向的分量大小相等方向相反，這樣最終斜劈對B仍沒有靜摩擦力。

須特別指出的是，當θ=90°和θ=α時，劈地間沒有摩擦力。這正是我們所熟悉的兩種情況。

通過上面的分析可知，F的大小方向的確會影響滑塊的加速度，但是只要A是向下運動的，那么無論外力F的方向如何，外力F通過滑塊造成斜劈在水平方向的ΔN■′與Δf■′是等值反向的，故劈地間的靜摩擦力情況與未加外力F時完全相同。

6.當A在B上能夠加速下滑時，如圖7所示，地面對斜劈的靜摩擦力方向水平向右，且f■=ma■，其中a■為滑塊在水平方向的加速度分量。

析：根據圖7中的受力示意圖，由于滑塊沿斜劈向下加速運動，故有：mgsinα>μmgcosα，即：μf■，滑塊對斜劈的反作用力分量亦有：N■′>f■′，斜劈對地有向左的運動趨勢，所以要受到地面給它向右的靜摩擦力。并且由于N■-f■=ma■，因此 f■=N■′-f■′=ma■。這個表達式的物理意義可以從A和B整體上進行理解，地面對整體沿水平方向的作用力產生整體在水平方向上的加速度，即：f■=Ma■+ma■，斜劈是靜止的，故a■=0，所以最終有f■=ma■。

7.在滑塊可以自行加速下滑的情況下，再對滑塊施加一恒力F的作用，只要滑塊還是沿斜劈向下滑動的，那么地面對斜劈的靜摩擦力方向仍然是向右的，且與F的大小方向無關，如圖1所示的斜劈走向。

a.當F方向與斜劈平行時，不論F是向上還是向下的，只要滑塊是向下運動的，F的存在就不影響滑塊和斜劈之間的壓力和滑動摩擦力，也就不會影響地面對斜劈的靜摩擦力。

b.如圖6所示，只要F的作用是使滑塊和斜劈間的擠壓更強烈了，即F的方向沿右下或左下時，A受到的支持力和滑動摩擦力增加量分別為：ΔN=Fsin（θ-α），Δf=μFsin（θ-α），將其反作用力沿水平方向分別分解得：ΔN■′=Fsin（θ-α）sinα，Δf■′=μFsin（θ-α）cosα，又因為μΔf■′，B對地向左的運動趨勢更強烈了，所以f■方向向右，且變大。

c.當F斜向左上方或右上方時，如圖10所示，滑塊受到支持力和滑動摩擦力的減小量分別為：ΔN=Fsin（θ+α），Δf=μFsin（θ+α），盡管滑塊此時受到的支持力和摩擦力減小了，而且減小量ΔN■>Δf■，但是只要A、B之間還存在擠壓，那么剩余的支持力和摩擦力的反作用力在水平方向的分量依然滿足：N■′>f■′，斜劈還是會受到向右的靜摩擦力，只不過是數值減小一些罷了，但是方向并沒有發生改變。

綜合7中abc三方面所述可見，F的作用只會改變斜劈對地向左相對運動趨勢的強烈程度，不會改變相對運動趨勢的方向，故地面對斜劈始終是向左的靜摩擦力。

總之，分析劈地間的靜摩擦力的方向要抓住以下要點：首先要看斜劈上物體的運動方向；若是沿斜劈向下運動的，再看物體原來在斜劈上是靜止的、勻速下滑的還是加速下滑的；最后根據本文中的結論對不同的情況作出判斷。這方面的習題比比皆是，讀者可自行選擇。本文未盡或不當之處，敬請各位同行、專家批評指正。