含有受控源的改進(jìn)結(jié)點(diǎn)電壓方程

霍 龍, 荊瀾濤, 于 佳, 齊德江

(沈陽工程學(xué)院 電力學(xué)院, 沈陽 110136)

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含有受控源的改進(jìn)結(jié)點(diǎn)電壓方程

霍 龍, 荊瀾濤, 于 佳, 齊德江

(沈陽工程學(xué)院 電力學(xué)院, 沈陽 110136)

結(jié)點(diǎn)電壓法是適合計(jì)算機(jī)輔助分析的一種電路分析方法。由于該方法僅通過結(jié)點(diǎn)支路關(guān)聯(lián)矩陣即可確定電路的拓?fù)浣Y(jié)構(gòu),不需要確定樹和回路矩陣,使通用程序的編寫相對(duì)容易。但是結(jié)點(diǎn)電壓法對(duì)電路中含有受控源和無伴電壓源時(shí)需要另行處理,針對(duì)這種特殊情況提出了含受控源電路的改進(jìn)結(jié)點(diǎn)電壓方程的矩陣形式。分別給出了正弦穩(wěn)態(tài)下含受控源以及含無伴獨(dú)立電源電路的結(jié)點(diǎn)電壓方程推導(dǎo)過程,進(jìn)而得到統(tǒng)一的以結(jié)點(diǎn)電壓和無伴電壓源中電流為電路變量的混合變量矩陣方程。最后從編程的角度給出了電路信息的規(guī)范輸入方法。通過算例驗(yàn)證了所得方程適用于含有耦合電感、受控電源、無伴獨(dú)立電源電路的穩(wěn)態(tài)分析,具有通用性。

結(jié)點(diǎn)電壓方程; 關(guān)聯(lián)矩陣; 受控電源; 無伴電壓源; 無伴電流源; 電路拓?fù)湫畔?/p>

0 引 言

電路方程的矩陣形式及其系統(tǒng)化建立方法是分析大規(guī)模復(fù)雜電路的關(guān)鍵。在電路理論中電路的分析方法有多種[1-4],為了便于利用計(jì)算機(jī)輔助電路分析,從80年代至今在電路分析方法中研究最多的是結(jié)點(diǎn)電壓方程(結(jié)點(diǎn)法)[5-8]。該方法不需要選擇樹,能夠快速形成關(guān)聯(lián)矩陣和支路導(dǎo)納矩陣進(jìn)而得到結(jié)點(diǎn)導(dǎo)納矩陣。結(jié)點(diǎn)導(dǎo)納矩陣是結(jié)點(diǎn)電壓方程的核心,從工程角度來看,其典型例子是應(yīng)用于電力系統(tǒng)潮流計(jì)算[9-10]。另外,利用結(jié)點(diǎn)導(dǎo)納矩陣可以有效地解決復(fù)雜系統(tǒng)任意時(shí)刻短路電流計(jì)算問題[11]。因此結(jié)點(diǎn)電壓法無論在電路理論、課堂教學(xué)還是工程實(shí)際中都占有重要位置,它是計(jì)算機(jī)輔助電路分析中重要的方法之一。但是當(dāng)電路中含有受控電源和無伴獨(dú)立電源(即無伴電壓源和無伴電流源)時(shí)需要對(duì)支路導(dǎo)納矩陣進(jìn)行推廣以建立改進(jìn)的結(jié)點(diǎn)電壓方程[12]。本文以文獻(xiàn)[13]和文獻(xiàn)[14]為基礎(chǔ),首先定義含受控電源的標(biāo)準(zhǔn)支路建立結(jié)點(diǎn)電壓方程;再對(duì)無伴電壓源支路和無伴電流源支路分別引入關(guān)聯(lián)矩陣AE和AI,避開這兩類支路的支路導(dǎo)納建立混合變量方程。從而得到以結(jié)點(diǎn)電壓和無伴電壓源中的電流為網(wǎng)絡(luò)變量的改進(jìn)結(jié)點(diǎn)電壓方程。方程的物理概念清晰、電路信息輸入簡(jiǎn)便、經(jīng)實(shí)例驗(yàn)證,方程實(shí)用、有效。

1 含受控源的結(jié)點(diǎn)電壓方程

設(shè)網(wǎng)絡(luò)中全部電壓、電流均用列向量表示,則圖1所示標(biāo)準(zhǔn)支路的支路電壓向量和支路電流向量有如下關(guān)系:

(1)

(2)

圖1 含受控電源的標(biāo)準(zhǔn)支路Fig.1 Controlled source standard branch

同樣,受控電流源的電流可表示為

以上式中,μ、r、g、β分別是VCVS、CCVS、VCCS和CCCS的系數(shù)矩陣。它們的主對(duì)角元素均為零,僅在受控源所在的第k行和控制量所在的第j列上有相應(yīng)元素。P為等效電壓控制電壓源的控制系數(shù)矩陣;Q為等效電壓控制電流源的控制系數(shù)矩陣。因此有

將以上二式分別代入式(1)和式(2)得支路電壓向量和支路電流向量為

(3)

(4)

(5)

式(5)即為標(biāo)準(zhǔn)支路的支路方程,其中

(6)

是計(jì)及受控源之后的支路導(dǎo)納矩陣。

再將KVL方程代入上式得

(7)

式(7)即是含受控源的結(jié)點(diǎn)電壓方程的矩陣形式。可簡(jiǎn)記為

(8)

2 含無伴獨(dú)立電源的改進(jìn)結(jié)點(diǎn)電壓方程

(a)—無伴電壓源; (b)—無伴電流源圖2 無伴獨(dú)立源Fig.2 unattended independent source

(9)

(10)

(11)

(12)

(13)

將式(12)、式(13)聯(lián)立,合并為一組方程如下

(14)

式(14)就是改進(jìn)結(jié)點(diǎn)方程的矩陣形式。改進(jìn)的結(jié)點(diǎn)法是以增加無伴電壓源的電流變量為代價(jià),避開了寫無伴電壓源支路的支路導(dǎo)納。這是一個(gè)混合變量的矩陣方程。

3 電路信息輸入

利用機(jī)算機(jī)輔助分析,通過編程實(shí)現(xiàn)方程式(14)的列寫和求解。編程采用MATLAB語言,其唯一的外部輸入是電路的拓?fù)湫畔ⅰ］斎敫袷揭?guī)定如下:

1) 標(biāo)準(zhǔn)支路信息按6列輸入,其中無伴電壓源和無伴電流源也在標(biāo)準(zhǔn)支路中輸入,其“標(biāo)識(shí)”為第4列賦“零”(此標(biāo)識(shí)供編程時(shí)識(shí)別無伴電源用,并不是阻抗為零),輸入格式見表1。

表1 標(biāo)準(zhǔn)支路信息輸入Tab.1 standard branch information input

表1中第1行為不含耦合電感和受控電源的標(biāo)準(zhǔn)支路輸入格式,其中阻抗參數(shù)不可缺,電壓源和電流源參數(shù)可以缺省。第2和第3行為無伴電壓源和無伴電流源輸入格式。表1的前3列是電路的拓?fù)湫畔?與電路的有向圖完全對(duì)應(yīng),是生成關(guān)聯(lián)矩陣Ao、AE和AI的依據(jù)。

2) 受控源信息按4列輸入。以電流控制電壓源為例,其輸入格式如表2。其中受控支路(即受控源支路)為b1,控制支路為b2。

3) 耦合電感信息按3列輸入。設(shè)支路b1和支路b2之間有耦合電感,其輸入格式如表3。

表2 受控電源信息輸入Tab.2 controlled source information input

表3 耦合電感信息輸入Tab.3 Coupled inductor information input

當(dāng)兩個(gè)施感電流都從同名端流進(jìn)(或流出)線圈時(shí),互感阻抗前取“+”號(hào),否則取“-”號(hào)。

4 計(jì)算示例

用結(jié)點(diǎn)電壓法列寫電路方程,并求結(jié)點(diǎn)電壓。

(a)—電路模型; (b)—有向圖

首先對(duì)圖3a的支路和結(jié)點(diǎn)編號(hào),畫出有向圖如圖3b所示,按規(guī)定格式輸入電路信息表。則關(guān)聯(lián)矩陣為A=[AoAEAI],其中

根據(jù)式(6)得到的(含耦合電感和受控源)支路導(dǎo)納矩陣為

結(jié)點(diǎn)導(dǎo)納矩陣為

即

根據(jù)式(14)得到改進(jìn)結(jié)點(diǎn)電壓方程為

解方程得(電壓?jiǎn)挝?V,電流單位:A)

此結(jié)果與理論設(shè)計(jì)和仿真得到的結(jié)果完全相同。

5 結(jié) 論

大規(guī)模電路穩(wěn)態(tài)分析的關(guān)鍵是建立電路方程。改進(jìn)的結(jié)點(diǎn)電壓方程雖然增加了求解變量數(shù)目,但是解決了無伴電壓源的零阻抗支路以及無伴電流源的零導(dǎo)納支路問題;控制系數(shù)矩陣的引入,將支路導(dǎo)納矩陣推廣到含受控電源情況,使結(jié)點(diǎn)電壓方程在理論上得以完善。文中涉及的電路為常規(guī)型,即任意兩個(gè)結(jié)點(diǎn)之間至少含有一個(gè)電路元件,不存在短路或開路情況。當(dāng)含有受控電源時(shí)均為圖1的標(biāo)準(zhǔn)形式,即受控電源要伴有阻抗元件(對(duì)于無伴受控電源情況另文討論)。由于定義了標(biāo)準(zhǔn)支路,使電路拓?fù)浜?jiǎn)化,有效降低了方程階數(shù)。實(shí)用中無需對(duì)電路進(jìn)行支路、結(jié)點(diǎn)劃分或移源等預(yù)處理,可通用于常規(guī)型電路的穩(wěn)態(tài)分析。

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An improved node voltage equation with controlled sources

HUOLong,JINGLantao,YUJia,QIDejiang

(Institute of Electric Power, Shenyang Institute of Engineering, Shenyang 110136, China)

Node voltage method is a circuit analysis method which is suitable for computer-aided analysis. The method can determine the topological structure of the circuit only using the incidence matrix of the node branch without determination of the tree and the loop matrix. So the general program is easy to be compiled. However, if the node voltage method is used to solve the circuit with controlled source and the unaccompanied voltage source, a further processing needs to be done. The paper proposes the node voltage equation derivation with controlled sources and unaccompanied independent supply under the sine steady state. Mixed variable matrix equations can be given uniformly with the node voltage and the current of the unaccompanied independent supply as their circuit variables. Finally, the standard input method of the circuit information is given from the perspective of programming. A numerical example demonstrates that the equations can be applied for steady-state analysis on the circuit with coupled inductors, controlled sources, unaccompanied and independent sources. Therefore, the method is universal.

node voltage equation; incidence matrix; controlled sources; unaccompanied voltage sources; unattended current source; circuit topology information

2015-12-26。

遼寧省教育廳科學(xué)研究一般項(xiàng)目(L2014518)。

霍 龍(1961-),男,遼寧沈陽人,沈陽工程學(xué)院教授,碩士。

1673-5862(2016)04-0459-05

TM133

A

10.3969/ j.issn.1673-5862.2016.04.017