構造法證明不等式的構造途徑

摘 要： 作為數學思想方法之一， 構造思想已經滲透到數學的各個分支中. 本文從數學方法論的角度， 通過分析不等式的證明思路， 對其中所蘊涵的構造思想進行了分析和探討.

關鍵詞： 構造法 不等式 解題途徑

什么是構造法，又怎樣去構造？構造法是運用數學的基本思想經過認真考察和深入思考，構造出解題的數學模型，從而使問題得以解決的一種數學思想方法.構造法的內涵十分豐富，沒有完全固定的模式可以套用，它是以問題的特殊行為基礎，針對集體的問題特點而采取相應的解決辦法。其基本的方法是：借用一類問題的性質，來研究另一類問題的思維方法.在解題過程中，若按習慣定勢思維去探求解題途徑比較困難時，就可以啟發學生根據題目特點，展開豐富的聯想，拓寬自己的思維范圍，運用構造法來解題也是培養學生創造意識和創新思維的手段之一，同時對提高學生的解題能力也有幫助.下面我們通過舉例來說明通過構造法解題訓練學生發散思維，謀求最佳的解題途徑，達到思想的創新.

證明不等式的方法有很多，構造法就是其中的一種，其實只是將不等式進行等價轉化，它以構造方程、數列、圖形作為常用手段.

1.構造方程

有些數學題，經過觀察可以構造一個方程，從而得到巧妙簡捷的解答.

∴不等式成立

②tanγ-tanα≠0

當x=-1時

（85b+pF8tIUzFzoRXh+eyE6wvKwxVEUwjmIY0cSBlYkg=tanγ-tanα）+2（tanα-tanβ）+（2tanβ-tanγ）=0

∴x=-1是方程（*）的根

2.構造數列

數列和不等式是高考的兩大熱點也是難點，數列是高中數學中一個重要的內容，在高等數學也有很重要的地位.不等式是高中數學培養學生思維能力的一個突出的內容，它可以體現數學思維中的很多方法，當兩者結合在一起的時候，問題會變得非常靈活.

3.構造圖形

在解題時若以數形結合的思想作指導，對于某些較復雜問題，通過構造圖形啟發思維，借助于圖形的直觀來解題往往能使解題方法簡捷.在證明不等式中，我們把已知條件或要證不等式中的代數量直觀化為某個圖形的幾何量，構造出一個符合條件的幾何圖形，便可應用圖形性質及相應的幾何知識證明不等式.

所以不等式成立.

4.構造函數

函數在中學數學中占有相當重要的地位，學生對于函數的性質也比較熟悉.選擇爛熟于胸的內容來解決棘手問題，同時也達到了訓練學生的思維，增強學生思維的靈活性、開拓性和創造性.有些不等式的證明，也可以構造函數模型，利用函數性質來解決，往往要比常規的方法容易找到證題途徑.

分析：本題可以用比較法、分析法等多種方法證明.若采用函數思想，構造出與所證不等式密切相關的函數，利用函數的單調性來比較函數值而證明，則思路更為清晰.

5.構造平面向量

平面向量具有數和形的雙重性，因此用構造平面向量的方法在證明不等式有時能給你一個意想不到的“驚喜”.

在解不等式或證明時，除了掌握其基本不等式外還要把握題目的特點尋找簡便的方法，而本題就是運用平面向量解題的簡便方法.

通過上面的例子，我們知道在解題的過程中要善于觀察，善于發現，在解題過程中不墨守成規，大膽去探求解題的最佳途徑.創新思想是整個創新活動的關鍵，敏銳的觀察力，創造性的想象，獨特的知識結構，以及活躍的靈感是其基本特征.這種創新思維能保證學生順利解決問題，高水平地掌握知識，并能把知識廣泛地運用到解決問題上來，而構造法正從這方面訓練學生思維，使學生的思維由單一型轉變為多角度，顯得積極靈活，從而培養學生的創新思維.

參考文獻：

〔1〕梁法馴.數學解題方法[M].華中理工大學出版社，1995：244-263.

〔2〕張傳理，張同君.競賽數學教程[M].北京：高等教育出版社，2005：127-130，291.