導數應用在高考中的兩類存在性問題

導數在新課程高考中的地位愈發重要，考查的形式多種多樣，切線及函數極值的存在性問題是2009年高考的一大亮點.命題者利用導數這一個重要的解題工具將函數與方程有機地結合在一起，并由此考查導數的幾何意義及導數在函數中的應用問題，這兩種類型不可能就此銷聲匿跡，還將會在今后的高考舞臺上繼續發揮作用.本文給出2009年這樣的幾個高考題的解答，希望讀者能體會其中的解題策略與思想方法.

一、曲線切線的存在性問題

曲線切線是否存在的問題，與導數的幾何意義密切相關，常轉化為導數方程是否有實根來判斷.

例1.（2009福建卷理15）若曲線f（x）=az+lnx存在垂直于y軸的切線，則實數a取值范圍是？搖？搖 ？搖？搖.

解析：函數的定義域為（0，+∞），對函數求導得：f′（x）=3ax+.因為曲線存在垂直于y軸的切線，即切線斜率為0，所以方程3ax+=0在（0，+∞）內有解，顯然可得a=-<0，故a∈（-∞，0）.

注：2009年福建卷文科的第15題是其姐妹題.

例2.（2009重慶卷文19）已知f（x）=x+bx+c為偶函數，曲線y=f（x）過點（2，5），g（x）=（x+a）f（x）.（Ⅰ）若曲線y=g（x）有斜率為0的切線，求實數a的取值范圍；（Ⅱ）若當x=-1時函數y=g（x）取得極值，確定y=g（x）的單調區間.

解析：（Ⅰ）∵f（x）=x+bx+c為偶函數，∴f（-x）=f（x），解得b=0，∴f（x）=x+c，又曲線y=f（x）過點（2，5），∴2+c=5，即c=1，∴g（x）=x+ax+x+a，求導得g′（x）=3x+2ax+1，∵曲線y=g（x）有斜率為0的切線，∴g′（x）=3x+2ax+1=0有實數解.∴△=4a-12≥0，解得：a≤-或a≥.所以實數a的取值范圍：a∈（-∞，-]∪[，+∞）.（Ⅱ）略.

二、函數極值的存在性問題

函數極值是否存在與導數方程f′（x）=0的根密切相關，若函數y=f（x）在某一點處取得極值，則這一點必是導數方程的根，但反過來，導數方程的根處未必存在極值.為此，求解導數方程的根后，常需要進行驗證才能確定函數是否存在極值.

例4.（2009山東卷文21）已知函數f（x）=ax+bx+x+3，其中a≠0.（Ⅰ）當a，b滿足什么條件時，f（x）取得極值？（Ⅱ）已知a>0，且f（x）在區間（0，1]上單調遞增，試用a表示出b的取值范圍.

解析：（Ⅰ）由已知得f′（x）=a+2bx+1，令f′（x）=0，得ax+2bx+1=0，f（x）要取得極值，方程ax+2bx+1=0（a≠0）有解，所以△=4b-4a≥0，即b≥a.

①當b=a時，f（x）=bx+2bx+1=（bx+1）≥0，f（x）在R上單調遞增，故函數f（x）無極值.

②當b>a時，此時方程ax+2bx+1=0的根為

x==，x==，所以f′（x）=a（x-x）（x-x）.

當a>0時，

所以f（x）在x，x處分別取得極大值和極小值.

當a<0時，

所以f（x）在x，x處分別取得極大值和極小值.

綜上，當a，b滿足b>a時，f（x）取得極值.（Ⅱ）略.

例5.（2009四川卷文20）已知函數f（x）=x+2bx+cx-2的圖像在與x軸交點處的切線方程是y=5x-10.（Ⅰ）求函數f（x）的解析式；（Ⅱ）設函數g（x）=f（x）+mx，若g（x）的極值存在，求實數m的取值范圍及函數g（x）取得極值時對應的自變量x的值.

解析：（Ⅰ）函數解析式為f（x）=x-2x+x-2，過程略；

（Ⅱ）g（x）=x-2x+x-2+mx，g′（x）=3x-4x+1+，令g′（x）=0當函數有極值時，方程3x-4x+1+=0有實根，即△=4（1-m）≥0，解得m≤1，

①當m=1時，g′（x）=（3x-2）≥0，∴g（x）在R上是增函數，故函數g（x）無極值.

②m<1時，g′（x）=0有兩個不相等實根，x=（2-），x=（2+），

當x變化時，g′（x）、g（x）的變化情況如下表：

故在m∈（-∞，1）時，函數g（x）有極值，當x=（2-）時，g（x）有極大值；當x=（2+）時，g（x）有極大值.

注：2009年四川高考數學理科卷第21題的第（Ⅲ）小題也屬于此種類型.

例4.（2010全國卷Ⅱ文21）已知函數f（x）=x-3ax+3x+1.（Ⅰ）設a=2，求f（x）的單調區間；（Ⅱ）設f（x）在區間（2，3）中至少有一個極值點，求a的取值范圍.

解：（Ⅰ）略.（Ⅱ）對函數求導得：f′（x）=3x-6ax+3=3（x-2ax+1），由于f（x）在（2，3）中至少有一個極值點，因此方程f′（x）=0在區間（2，3）內有根.

∴△=4a-4>02<-<3f′（2）=3（5-4a）>0f′（3）=3（10-6a）>0或f′（2）f′（3）<0，解得：

注：導數方程f′（x）=0程為二次方程時，其在某個區間內的解的問題，常借助一元二次方程根的分布來處理.

從以上各例不難看出，導數應用中的這兩類存在性問題與導數方程息息相關，處理好導數方程的解的情況，問題也隨之得到解決.