課堂教學中數學應用題的設計

我國數學教育正向全面素質教育推進，學生的數學應用意識和數學應用能力的強弱是衡量素質教育是否成功的一個重要因素。如何將數學應用題的教學落到實處是目前迫切需要解決的問題。筆者認為應結合正常的教學內容切入，以教材為載體，以改革教學方法為突破口，通過對教學內容的科學加工、處理和再創造達到“在學中用，在用中學”，讓學生學習數學的精神、思想和方法。對應用題的設計需注意以下幾個方面。

1.從課本中的數學問題出發，注重對課本原題的改變。

對課本中出現的應用問題，可以改變設問方式、變換題設條件、互換條件結論，或者拓廣類比成新的數學建模應用問題；對課本中的純數學問題，可以按照科學性、現實性、新穎性、趣味性、可行性等原則，編擬出有實際背景或有一定應用價值的建模應用問題。按照這種方式開展教學活動，可使學生進行將實際問題數學化、抽象為數學問題的訓練。只要教師挖掘課本中的數學問題的生活模型，精心設計，選擇緊貼社會實際的典型問題深入分析，逐漸滲透數學建模的訓練，就能使學生形成自覺地把數學作為工具運用的意識。在這一過程中，既培養了學生應用意識和應用能力，又活躍了課堂氣氛，容易激發學生的學習興趣。

例1：某種細菌每隔兩小時分裂一次（每一個細菌分裂成兩個，分裂瞬間的時間忽略不計），研究開始計時時有兩個細菌，在研究過程中不斷進行分裂，細菌總數y是研究進行時間t的函數，記作y=f（t），

（1）寫出函數y=f（t）的定義域和值域；

（2）在給出的坐標系中畫出y=f（t）（0≤t≤6）的圖像；

（3）寫出研究進行到第n小時（n≥0，n∈Z），細菌的總數有多少個（用關于n的式子表示）？

本題的模型來源于高中數學人教版《必修一》第58頁練習第3題，當學生學習完指數函數后安排此題效果很好。

2.從生活中的數學問題出發，強化應用意識。

日常生活是應用問題的源泉之一，現實生活中有許多問題可以通過建立數學模型加以解決，如合理負擔出租車費、家庭日用電量的計算、住房問題等，都可用數學基礎知識建立初等數學模型加以解決。適時引導學生考慮生活中的數學，會加深對數學知識的理解和運用；恰當地把生活問題融入課堂教學活動之中，會增強學生應用數學的信心，獲得必要的應用技能。

例3：某種商品在A、B兩地均有出售，且兩地價格相同，但是該地區的居民從兩地往回運時，每單位商品A地的運費是B地的2倍，已知兩地的距離為3公里，顧客買這種商品時，選擇從A地買或從B地買的標準是包括運費在內的總費用比較便宜，求A、B兩地售貨區域的分界線的軌跡圖形，并指出軌跡圖形上、圖形內、圖形外的居民如何選擇購物點？（解略）

3.從社會熱點問題出發，介紹建模方法。

國家大事、社會熱點、市場經濟所涉及的諸如成本、利潤、儲蓄、投標及股份制等，是中學數學建模問題的豐富素材，適當地選取并融入教學活動中，使學生掌握相關類型的建模方法，不僅可以使學生樹立正確的商品經濟觀念，而且為日后能主動以數學的意識、方法、手段處理問題做了能力上的準備。

4.通過實踐活動或游戲中的數學，培養學生的應用意識和數學建模應用能力。

利用課外活動時間開展實踐活動課，把它作為應用教學中不可分割的部分。數學游戲中有豐富的素材，可結合教材內容適時提出游戲規則，讓學生在做游戲的過程中學到數學知識、數學方法和數學思想，從中引導學生探尋數學模型。

例5：在街上經常可看到一些小販會在路邊擺一個機器（如圖），在奇數位置（除位置1）放著梳子、鏡子、打火機等小物品（價值為0.5元），在偶數位置放著紅塔山煙、照相機等貴重物品。游戲規則：你首先選擇正轉還是反轉，然后擲四顆骰子，設朝上的面的點數之和為n，就按選定的正轉或反轉方向，從位置n開始依次1、2、3……得數下去，直至數到n。數到n時的那個位置上放的東西就歸你，若數到位置1，你就得付攤主5元錢。請用數學知識來說明這攤主的贏利情況？

這是個摸獎游戲，涉及概率統計問題，在解題之前可先由學生做實驗，由他們得到的結果再來仔細觀察。而經過學生的實驗及觀察以后，會發現數的排列有規律可循，對于13這個數，正轉或反轉方向去數，都數到位置1；由于其他數字，要么依正轉可數到位置1，要么依反轉可數到位置1，但偶數位置永遠數不到，那么貴重的物品你只能望塵莫及。

從該題中不僅讓學生認識到天上不會掉餡餅，以后碰到類似的摸獎游戲，而且不會因貪小便宜而吃了大虧；又能使學生鞏固概率計算常用的公式和方法；最主要的是通過解題認識了數學的價值，增強了應用數學的意識。

5.從其他學科中選擇應用性問題，培養學生應用數學解決其他學科問題的能力。

現代科學技術的發展，使數學的應用領域空前發展，促進了各學科的數學化趨勢。中學數學教學中，應注重適時選取其他學科的應用性問題，通過構建模型，利用數學工具，解決其他學科的問題。

例6：如圖所示，對于同一高度（足夠高）的兩個定滑輪，用一條（足夠長）的繩子跨過它們，并在兩端分別掛有4kg和2kg的物體，另在兩個滑輪中間的一段繩子懸掛另一物體，為使系統保持平衡狀態，此物體的質量應是多少？（忽略滑輪半徑、繩子的重量）

分析：先進行受力分析，列出平衡方程，然后用數學知識求解。

加強應用意識的培養是時代發展的需要，同時也是由數學學科的特點所決定的。數學應用問題，反映了數學與生產實際的聯系，它要求學生用數學的理論、思想、方法建立實際問題的數學模型，以解決實際問題，因此，數學建模與應用是中學數學教學的重要組成部分，現行數學課程標準把培養學生的數學應用意識列為重要內容。而數學的應用是通過數學建模來實現的。課堂教學是進行數學建模教學的主要途徑，如何圍繞課堂教學選取典型素材激發學生興趣、滲透數學建模思想、提高數學建模能力和應用能力是當前數學教師面臨的主要問題。在課堂教學中，教學的每一個環節，乃至每一道例題、習題，教師都要精心設計，只有這樣，才能取得良好的教學效果，才能更好地提高學生的各方面能力。