求數列極限的技巧與方法

一、引言

數列極限是數學這門學科的重要內容之一。對于一些復雜極限，直接按照極限的定義來求就顯得很困難，不僅計算量大，而且不一定就能求出結果。因此，為了解決求極限的問題，我們在研究比較復雜的數列極限問題時，通常先考查該數列極限的存在性問題;如果有極限，我們再考慮如何計算此極限(也就是極限值的計算問題)。這就是極限理論的兩個基本問題。求數列極限的方法多種多樣，比如:化簡通項求極限、單調有界原理求極限等。現在我通過一些具體的例子，和大家一起探討求數列極限的常用技巧與方法。

二、求數列極限的常用技巧與方法

1. 化簡通項求極限

在求一些比較復雜的數列極限，特別是處理通項為n項和式的一類很特殊的極限時，經常先對通項進行化簡，化簡時往往利用鏈鎖消去法。其工作原理如下:

若an=∞，an≠0，則(-)=(-)+(-)+…+（-）=-。因此（-）=（-）=。

應用時往往需要把通項xk中的xk裂項為xk=-），具體實施可用待定系數法。

例1： 求極限。

解: (-1)k+1=(-1)k+1(+)=-[-]，(-1)k+1=-(-=-(-1-→1(n→∞)，所以=1。

2. 利用級數求n項和式的極限

通項為和式的數列極限，可以化為積分或級數求和問題，當然也是計算這類數列極限的一個重要方法。

設xn=ak，若級數ak收斂，則{xn}收斂且xn=ak。

由此，我們常可求數列級數ak的和，從而求得xn。

例2：求極限。

解: 考慮數項級數，現求其和，為此考慮冪級數。

該冪級數的收斂域為[-1，1]。設和函數為S(x)，則在(-1，1)內s''''(x)==(-x2)n=-。

s(x)=s''''(t)dt=-dt=arctgx-x，

所以 ==s(1)=arctg1-1=-1。

3. 利用單調有界原理求數列的極限

利用單調有界原理，解決了一些特殊數列的極限問題，在用單調有界原理證明數列極限的存在問題時，首先根據給出數列的通項公式，列舉該數列的前幾項，然后根據觀察，初步判斷已給數列的單調性和有界性。最后采用數學歸納法來驗證觀察所得出的結論，看看是否可以采用單調有界原理來證明此數列的存在問題。

計算極限除了上面講的方法還有很多，比如討論如何應用我們學過的冪級數、定積分、O-Stolz公式、泰勒展式、微分中值定理等方法計算數列極限。主要是我們如何通過實例來闡述求數列極限中體現出的數學邏輯思維方法，如利用簡單的初等函數（特別是高中數學中的基本初等函數）的麥克勞林展開式，往往能求得一些特殊形式的數列極限。還比如我們可以利用級數收斂性判定極限存在性，知道由于級數與數列可以有的時候相互轉化，因此使得級數與數列的性質有了必然的聯系。這樣，數列極限的存在性及數列極限的求解，就可以可轉化為研究級數收斂性問題，我們利用O-Stolz公式計算數列極限、應用泰勒公式求數列極限，就可以減少做題的過程，使這個問題更容易地解決。不過總的來說，像有的方法僅限于求兩個無窮小量的乘積或除的極限，而對兩個無窮小數列非乘且非除的極限，以上方法不能直接去做，因此用Taylor公式代換是解決這類數列極限問題的一種很好的方法。還有利用微分中值定理求極限，利用數列函數的增減性求數列函數的最大值和最小值，還有數列函數的圖像等方面都被廣泛應用。其實數列它是一種特殊的函數，是一種定義域為正整數集的特殊的函數，因此它也像一般函數一樣具有單調性。

數列單調性也是它的重要性質，數列的單調性應用非常廣泛。求解數列極限的方法還有很多，比如把通項an=f(n)拓展為[1，∞)上的函數f(x)，然后應用洛必達法則，或利用結果 =a?圯=a(其中an>0)以及均值定理等都可以求出極限。還有在高中階段求數列的極限的時候，可以將比較復雜數列極限的問題，通過變形或化簡。比如用分組求和法、錯位求和法求極限，分母有理化、還有分母分子同時都除以n的最高次冪的方法將它化簡。這樣我們可以將它轉化成為簡單基本數列極限的問題，就可以求出所要得到的極限。但是我們解決數列的極限問題時應該靈活運用我們所學的數列極限的有關方法與技巧，注意要認真思考，多聯想所學的知識，要學會學以致用。函數極限只是把數列極限進一步深度話。但是函數極限與數列極限有類似的四則運算的法則，求函數極限的基本思想也是運用求數列的各種方法技巧的互相轉化問題，尤其在實施轉化時，可注意方法與技巧的轉化，就可以仿照求數列極限的一些方法與技能。

數列極限在高中數學中起著銜接作用，極限的概念和運算法則是學微積分最重要的基礎，也是學好導數和微分的基礎。所以，歷年來數列極限一直是高考重點考查的內容之一，其題型多與分類討論的思想相結合，或者通過求某數列的前n項和或積再求極限。數列極限在數學這門學科中有著非常重要的作用，我們一定要掌握求數列極限的方法與技巧。

（通渭縣常河職中）