高中數學高效課堂的價值取向

　　何謂高效課堂？學術界討論頗多，但尚未有統一的界定。高效課堂是相對于“低效”課堂教學而言的，數學高效課堂就是在單位時間內高效率、高質量地完成教學任務；實現新課程提出的三個教學目標；教學理念更新，教學方法恰當，真正做到促進學生協調發展。本文結合教學實例，談談高中數學教學高效課堂的價值取向，以拋磚引玉。
　　一、數學高效課堂應是教學目標明確的課堂
　　新課程將數學教學目標確定為知識與技能、過程與方法、情感、態度與價值觀三個方面。因此，數學高效課堂需要明確的教學目標指引。
　　前蘇聯教育家N.R.加涅爾和M.H.斯卡特金說：“沒有任何一節課能解決教學的所有任務。每一節課都是課題、課程、教學科目的一部分。因此，極為重要的是經常注意到：一節課在教學科目體系中占有什么樣的地位；同課程的教學、思想教育任務相聯系，一節課的教學目的是什么。一節課應當是課題、章節、教程的邏輯單元。”
　　1.認真研讀課標、教材是高效課堂的前提
　　課標是國家規定的課程教學目標的綱要，教材是根據課標供教師教學和學生學習的依據。認真鉆研課標和教材，必須根據教學的內容，將教學目標的三項要求具體化和細微化，它是實現高效課堂的前提。
　　例如，“弧度制”（蘇教版必修4—1.1.2節）第一課時的教學。對概念的建構和初步應用，教師大都按如下程序教學。
　　①復習角度制和1度角的定義；
　　②直接給出1弧度角的意義，介紹弧度制；
　　③角度制與弧度制的互化，例題與練習。
　　筆者認為弧度制是學生比較難以理解的概念，如此教學設計，學生是心存疑慮，只能“糊涂”接受，教學的三個目標也只能是完成了一個——知識與技能目標。
　　就本節課而言，作如下探索。
　　（1）應讓師生了解弧度制概念的引入背景
　　為什么要使用弧度制？角度制是六十進位制，如果將分、秒化成度很不方便。十八世紀初隨著西方工業、科學發展的需要和微積分產生，數學家們提出了用弧度來度量角。十九世紀正式確定弧度制為度量角的一種方法，二十世紀初才引入我國。
　　（2）應讓學生體驗弧度制概念發生、發展過程
　　①特例感悟：
　　由學生熟知的圓的周長公式：l=2？仔r，知=2？仔是一個實數。這就是說，圓周角是360°，對應的周長l與半徑r之比是一個實數。
　　設圓的半徑為r，圓心角對應的弧長為l，由=2？仔，我們可以得：
　　②一般思考
　　當圓心角？琢確定以后，不難證明弧長與半徑之比和半徑的大小無關，這種一一對應關系，啟示我們可用弧長與半徑的比值來度量角的大小。
　　③抽象概念
　　當圓心角所對的弧長等于半徑，即=1時，對應的圓心角的大小，定義為1弧度角。
　　這樣，順理成章地完成了弧度概念建構，更讓學生學會了從特殊到一般的思考問題的方法，培養了學生建構知識的能力。
　　2.深入了解學生發展的現狀是高效課堂的保障
　　教材有兩重性，一是學科性；二是教育性。數學學科必須反映數學的抽象性、系統性、嚴密性和實用性；同時要考慮到課程標準規定的教學目標、內容設置、年齡特征、認識水平和教育作用。
　　一節課的教學目標，要注意到教材內容的難易程度，學生的認知現狀、思維水平、能力發展等諸多因素，甚至不同類型的學生應當達到的目標。
　　例如，“立體幾何初步”（蘇教版必修2）的教學。
　　學生在小學、初中已經學習了簡單的幾何體，如正方體、長方體、圓柱、圓錐等知識，但真正研究立體幾何還是在高中。學生學習立體幾何入門難是不爭的事實，教師應有清醒的認識，必須深入了解學生學習的現狀，采取有效的教學措施，才能保證教學目標的實現。
　　立體幾何入門難，難在哪里？學生初學立體幾何需要過“三關”。
　　（1）識圖、繪圖關。學生看不懂直觀圖，畫不好空間圖形，這是空間想象力缺乏。教師應通過教具、舉教室空間的實例、學生熟悉的長方體等，來進行線線、線面、面面關系的教學；介紹畫直觀圖的技能，空間圖形與平面圖形的類比等，就能較快地提高學生的空間想象力。
　　（2）語言關。高中立體幾何增加了集合符號語言在推理中的應用，學生推理表述中遇到困難，要注意加強這方面的技能訓練。
　　（3）推理關。學習立體幾何初始，可用公理、定理很少，還常用到反證法、同一法，要證存在性、唯一性等，這些在初中都未學過，給學生掌握推理方法也造成很大困難。
　　上述“三關”就是學生初學立體幾何的學情，只有我們了解到學生發展的現狀，教學方法得當，才能實現立體幾何教學的高效課堂。
　　二、數學高效課堂應是凸顯數學活動過程的課堂
　　在教學論中，數學教學界定為：“數學教學是數學活動的教學；在這個活動中，使學生掌握一定的數學知識和技能，同時身心獲得一定的發展，形成良好的思想品質。”數學教學大綱又指出：“讓學生感受、理解知識的產生和發展過程。”“過程與方法”又是新課標確定的教學目標之一，由此可見，數學教學更應關注數學的活動過程。
　　1.數學活動過程中要充分暴露思維過程
　　數學的教育價值是以知識為載體的素質教育，而提高學生的素質包括多方面的內容，其中最重要的是學生的思維品質和思維能力。因此，數學教學中的師生雙邊活動過程，應把暴露數學思維過程作為高效課堂的指導原則。
　　例如，在高三復習“向量的線性運算”時，教師選用下面的例題，看師生如何暴露思維過程。
　　例：如圖1，在任意四邊形ABCD中，E、F分別為AD、BC的中點，求證：=（+）。
　　師：看條件，中點怎么用？
　　生：+=，=，
　　還可以作為三角形的中線來用。
　　師：看目標，可作變換嗎？
　　生：只要證明2=+.
　　師：下面大家探究問題證明的思路（學生活動）。
　　生1：如圖1，連接EB、EC，則有
　　=+=++，
　　=+=++，
　　兩式相加即可得證。
　　生2：如圖2，遇中點可構造？荀BECG，2==+，同樣可以獲證。
　　生3：如圖3，連接AF并延長到G，使AF=FG，連接DG、CG，則=2，且可證=，則問題可解決。
　　生4：如圖4，將向量平移至，向量平移至，由△BGF？艿△CHF得G、F、H三點共線，且GF=FH，所以EF為△EGH的中線，則=（+），問題可獲證。
　　師：上述思路都很好，主要是應用了中點和平面圖形性質，平移、構造等方法。能否用坐標法來解呢？
　　生5：如圖5，建立直角坐標系，設A、B、C三點的坐標分別為A（xA，0），B（xB，yB），C（xC，yC），則D，F兩點的坐標為D（—xA，0），F（，），則只需求、、就行了。
　　師：坐標法更簡便，思維要求降低了，關鍵在建坐標系和計算。
　　數學復習教學中，應重在講思路，充分暴露解題的思維過程，努力增加學生的思維容量，提高教學效率。
　　2.數學活動過程中要以問題驅動思維
　　問題是思維的起點，又是思維的產物。數學問題既是思維的材料，也是學生思維的動力。教師備課的一項重要任務，就是把教學內容問題化，提出富有啟發性、思考性的問題，引起學生積極思考，在師生共同參與提出問題和解決問題的過程中實現高效課堂。
　　例如，“立體幾何初步”平面公理3推論1（蘇教版必修2—1.2.1節）“經過一條直線和直線外一點，有且只有一個平面”教學中如何設計問題鏈？（已知、求證略，如圖6）
　　（1）目標：求證過直線l和點A有且只有一個平面，
　　這里“有且只有一個平面”是什么意義呢？
　　（有，存在；只有，是唯一，因此，
　　證明須分兩步：存在性、唯一性）
　　（2）欲證到目標，有哪條公理可用呢？（公理3）
　　（3）已知中有應用公理3的條件嗎？如何創造條件呢？
　　（沒有，在直線上任取兩點B、C）
　　根據公理3，過不共線的三點A、B、C有一個平面。
　　（4）怎樣證明直線在平面內？（公理1）至此，我們已經解決了什么問題？
　　（平面經過直線l和點A，證明了存在性。）
　　（5）下面怎樣用公理3的唯一性，說明經過直線l和點A的平面只有一個呢？
　　因為B、C在直線l上，經過直線l和A的平面一定經過A、B、C，根據公理3，過不共線的A、B、C的平面只有一個，所以過直線l和點A的平面只有一個。
　　學生初次證明立體幾何問題，其困難可想而知，對為什么要分“存在性”和“唯一性”兩步證明心存疑點，教師可設置問題進行疑點剖析。
　　（6）下面證明思路是否正確？
　　“在直線上任取兩點B、C，經過直線l和A的平面一定過A、B、C，根據公理3，過不共線的A、B、C三點有且僅有一個平面？琢，所以經過直線l和A的平面有且僅有一個？琢。”
　　仔細分析，可以發現，上述思路是在假設過l和A的平面一定存在的前提下完成的。如果不存在呢？所以整個證明必須分“存在性”和“唯一性”來證明。
　　三、數學高效課堂應是學習方式多元的課堂
　　建構主義學習觀認為，學習活動不是由教師向學生傳遞知識，而是學生根據外部信息，通過已有的背景知識，建構自己知識的過程。在這個過程中，學生不是被動的信息吸收者和刺激接受者，他要對外部的信息進行選擇和加工。每個學生都以自己原有的認知結構和經驗系統為基礎，對新的信息進行編碼、建構和理解，而原有的知識因為新經驗的進入而發生調整和改變，所以學習并不是簡單的信息輸入、存儲、積累和提取，它是新舊認知和經驗之間的相互作用過程，這是別人無法代替的。因此，數學高效課堂的學習應是以學生為主體的主動建構過程。課堂教學中，應切實轉變學生的學習方式，并實現多元學習方式的優化組合，要將過去“教而獲知”的過程轉為“學而獲知”的過程。通過自主學習、合作學習、探究學習等學習方式，激勵學生學習數學的興趣和內在驅動力，變“被動學習”為“主動學習”，才能達到高效課堂的目標。
　　1.課堂應提供學生自主學習的機會
　　一節課的內容有難有易，有些課本內容學生可以自學看懂，教師應留出讓學生自主學習的空間，培養學生自學能力、閱讀能力。教師列出一些問題讓學生自學時思考，師生共同質疑解難，同樣可以達到教學目標。
　　例如，學習過兩角和與差的正弦、余弦后，再學習“兩角和與差的正切”（蘇教版必修4—3.1.3節）公式的推導及初步應用，可讓學生自主學習，教師提出下列問題讓學生學習時思考，閱讀后再提問學生回答。
　　（1）兩角和的正切公式推導過程體現了什么數學思想方法？
　　（化歸思想，“切化弦”的方法。）
　　（2）為什么公式推導過程中，要分子、分母同除以cos？琢cos？茁？
　　（目的是為了將兩角和的正切用單角的正切表示。）
　　（3）分子、分母同除以cos？琢cos？茁，應有條件嗎？因此，兩角和的正切公式需要什么條件呢？
　　這里應該指出，課本中并未寫cos？琢≠0，cos？茁≠0，會影響學生對“除數不為零”習慣的培養。
　　（4）兩角差的正切公式推導過程中體現了什么數學思想方法？
　　（把兩角差的正切轉化為兩角和的正切來求，體現了化歸思想和角的變換方法，在三角變換中，角的變換尤為關鍵。）
　　（5）例2中求證=的證明體現了哪些數學思想方法？
　　（代換思想：1的代換，公式的逆運用。）
　　由于本節課是公式的推導和應用，所提問題應突出數學思想方法的運用，這是教學的重點。
　　2.課堂應為學生探究學習搭建平臺
　　新課標強調學生要通過“主動探究”來建構知識，正是對學習最本質的認識。課堂教學中，教師要為學生主動探究活動搭建好平臺。
　　下面例題是高三復習中，教師引導學生自主探究學習的教學片段。
　　例：已知實數x，y滿足x—=—y，則x+y的最大值為_______。
　　師：本題中有兩個變量，一個等式且含有根號，求最大值如何思考？
　　（學生考慮片刻后，教師提問。）
　　生1：要把根號去掉，并將等式轉化為不等式。
　　師：思路可行，怎樣去掉根號呢？
　　生2：用平方法（這是教師的預設）。
　　生3：用平方法太繁，可用換元法（教師未想到換元法）。
　　師：大家開始行動吧！嘗試你的解法。
　　（學生解題活動，教師巡視，幾分鐘后教師提問。）
　　生3：設=a≥0，=b≥0，
　　由已知等式知，a+b=x+y，①
　　且x=a2—1，y=b2—3，代入已知等式得
　　a2+b2—4=a+b。②
　　∴（a+b）2—（a+b）—4=2ab≤2（）2=，
　　即（a+b）2—2（a+b）—8≤0，
　　∵a+b≥0，∴0≤a+b≤4，由①知，（x+y）max=4。
　　師：用換元法去根號是一種好方法，解題中運用轉化思想、整體思想，用基本不等式把等式轉化為不等式求解。
　　生4：我把式②看成是圓的方程來求解。
　　師：（驚喜之感！）說說你的解法。
　　生4：由②式得圓M方程：
　　（a—）2+（b—）2=（a≥0，b≥0）
　　畫出圓形如圖7，
　　又x+y=a+b=a2+b2—4，
　　要求a+b的最大值，只要求a2+b2的最大值，即求圓弧上的點（a，b）到原點O的距離平方的最大值。連接OM交圓于點N，點N到原點距離最大。
　　∴ON=OM+MN=+=2，
　　故x+y=a+b的最大值為（2）2—4=4。
　　師：妙！利用數形結合很有創新。有誰用平方法去根號的？
　　生5：我用平方法去根號。
　　由已知等式得x+y=+（x+1≥0，y+3≥0），
　　∴（x+y）2=x+y+4+2≤x+y+4+（x+1）+（y+3），
　　即（x+y）2—2（x+y）—8≤0，解得—2≤x+y≤4，
　　故（x+y）max=4。
　　師：移項后用平方法去根號，再用基本不等式將等式轉為不等式，這是去根號的通法，但換元法很有新意，數形結合法很有創意。
　　從上述教學片斷可以看出：對學生而言，充分調動了學習積極性，挖掘了學習潛力，發展了創新能力；對教師而言，“預設”是必要的，“生成”更可貴，對教師的教學基本功是最好檢驗。
　　四、數學高效課堂應是師生共同發展的課堂
　　新課程的一個基本理念是以人為本，突出學生的發展。而新課程的實施又必將為教師的成長和發展提供一個很好的平臺和機會，這對我們教師來說，既是一種機遇，又是一個挑戰。
　　新課標、新課程已實施多年，課堂教學的現狀并不令人樂觀，主要表現為：新課程理念尚未形成，傳統教學觀點根深蒂固；由于升學的壓力，迫使教師減少課堂學生活動的時間和空間；教師自身水平和能力有限，不能使課堂成為有效建構知識和自然生成的課堂。由此可見，提高教師的教學素養，是實現數學高效課堂的必由之路。
　　那么，數學教師如何提升自己的素養呢？筆者認為：一是與時俱進，認真學習數學新課標，轉變教育觀點，豐富教育理念。站得高才能望得遠，才能高屋建瓴，才能更好地把握數學教學精髓，有效踐履高效課堂。二是努力將理論理念化，將理念方法化，將方法行為化，將行為個性化，將個性高效化，使理論學習和教學實踐水乳交融，既成長了自己，又發展了學生。三是認真做好課堂診斷和教學反思工作。課堂教學永無止境，只有及時做到把脈課堂，調整、優化教學策略；把教學反思常態化，經常反思教材理解的深刻度、教學預設的可行度、教學生成的自然度、教學方法的優化度、教學目標的達成度，才能不斷提高教師自身的教學素養。第四，積極投身教育科研。將在追求高效課堂過程中發現的問題進行梳理、歸納，把共性的問題作為課題來系統研究，通過深度研究來促進高效課堂研究的科學性、學術性、普適性和可推廣性，這個過程是優化高效課堂的過程，更是教師自身成長、發展和自我完善的過程。
　　（責任編輯 劉永