由數列遞推公式求通項公式的常用方法

　　由數列的遞推公式求通項公式，它是高考中的一個熱點。求數列的通項公式一般是將原數列的遞推公式進行適當變形，使問題得以轉化，從而求出通項公式。現舉例說明如下。
　　一、疊加法
　　例1：設數列{an}滿足a1=2，an+1-an=3×22n-1，求數列{an}的通項公式.
　　解：由已知，當n≥1時， a2-a1=3×2，a3-a2=3×23，a4-a3=3×25，……，an-an-1=3×22（n-1）-1=3×22n-3，an+1-an=3×22n-1，將以上n個式子相加，得an+1-an=3×（2+23+25+…+22n-3+22n-1）=3×=2×（2-1）=22n+1-2.于是an+1=a1+22n+1-2，即 an+1=22n+1=22（n+1）-1，而a1=2，所以{an}數列的通項公式為an=22n-1.小結：由本例可知，當數列的遞推公式形如an+1-an=f（n）時，可以使用疊加法求解。
　　二、疊乘法
　　已知數列{an}，其中a1=1，an+1=an求這個數列的通項公式.
　　解：由已知，得=，則=，=，=，…=，=.將以上n-1個式子相乘，得=×××…××=.又a1=1，故an=. 小結：由本例可知，當數列的遞推公式形如=f（n）時，可以使用疊乘法求解.
　　三、構造法
　　例3： 在數列{an}中，a1=1，sn+1=4an+2，求這個數列的通項公式.
　　解：∵a1=s1=1，∴a2=s2-s1=4a1+2-1=5，∵an=sn-sn-1=（4an-1+2）-（4an-2+2）=4（an-1-an-2），∴an-2an-1=2（an-1-2an-2），∴=2，于是{an-2an-1}數列是以a2-2a1=3為首項、公比為2的等比數列.∴an-2an-1=3×2（n-1）-1=3×2n-2（n>1），兩邊同時除以2n， ∴-=，于是數列{}是首項為=，公差為的等差數列∴=+（n-1）×=，即an=2n-2·（3n-1）。小結：由本例可知，把原數列的遞推公式進行適當變形。當數列的遞推公式形如an+1=pan+qn（p，q為常數）時，兩邊可同時除以qn+1，構造出等差數列或等比數列，再運用等差數列或等比數列通項公式的求法，進而求出原數列的通項公式。
　　總之，遇到問題時要多思多想，從已知條件出發，運用恰當的方法進行轉化，從而使問題得以解決。
　　（西藏拉薩市第二高級中