擬Lorenz方程在周期擾動下的奇怪吸引子*

吳 萃， 陳 艷， 陳鳳娟

(浙江師范大學數理與信息工程學院，浙江金華 321004)

0 引言

在周期擾動方程的研究中，由同宿纏結產生的奇怪吸引子是一種復雜的動力學現象，它在混沌理論的研究中占據著重要的地位．過去，人們常用Melnikov方法判斷橫截同宿點的存在，從而得到Smale馬蹄，這樣就從理論上證明了系統的混沌性．但是Smale馬蹄不能通過數值方法模擬出來，因為馬蹄的吸引域為零Lebesgue測度集．1976年，在對Hénon映射的研究中，通過數值方法模擬出混沌吸引子，即Hénon吸引子［1］，它是一種SRB測度下的混沌現象［2-5］．近年來，文獻［6-8］對二維同宿纏結理論作了系統的研究，通過SRB測度建立了混沌理論結果與數值模擬之間的橋梁．

二維周期擾動方程為

式(1)中:0 ＜β ＜α;μ 是小參數;f(x，y)，g(x，y)，P(x，y，t)，Q(x，y，t)是(x，y)的高階項;P(x，y，t)，Q(x，y，t)是周期為T的時間周期函數．定義方程(1)的 Melnikov函數［7］為

式(2)中:l(s)表示未擾動方程(即μ=0)的同宿軌;τ⊥l(s)表示同宿軌在s時刻切向量的單位法向量;E(s)表示法向擴張率．若點(0，0)為未擾動方程的耗散鞍點，且存在同宿到該耗散鞍點的一個同宿解，則當 Melnikov函數 M(θ)是 Morse函數時，有以下結論［7］:

1)當參數μ→0時，存在無窮多個互不相交的μ開區間，使得同宿纏結Λμ拓撲共軛于無窮符號的馬蹄;

2)當參數μ→0時，存在無窮多個互不相交的μ開區間，使得同宿纏結Λμ是由一個吸引的周期軌和無窮符號的馬蹄構成;

3)當參數μ→0時，存在一個μ的正Lebesgue測度集，使得同宿纏結Λμ出現SRB測度意義下的似Hénon吸引子．

當參數μ→0時，上述3類現象在區間［μi+1，μi)上形成一個固定的動力學模式，這個模式呈現一定的周期性，周期為

式(3)中:β是方程(1)的不穩定特征值;T是擾動周期．

若未擾動方程存在2個同宿到耗散鞍點(0，0)的同宿解，則存在3類奇怪吸引子:周期匯、似Hénon吸引子和具有隨機性質的秩一吸引子［8-10］．這3類奇怪吸引子組成的動力學模式也呈現周期性，周期由式(3)決定．

本文研究一類三維擬Lorenz周期擾動方程．擬Lorenz方程在研究光在液晶介質中的傳播具有重要的應用［11］，它存在一個耗散鞍點，這個耗散鞍點具有一維不穩定流形和二維穩定流形．首先通過數值模擬找到該方程存在2個同宿解的粘合分支值;然后數值模擬周期擾動方程，得到3類奇怪吸引子:周期匯、似Hénon吸引子和秩一吸引子．本文的結果是二維同宿纏結理論在三維方程中的應用和推廣．

1 擬Lorenz周期擾動方程的奇怪吸引子

擬Lorenz方程為

式 (4)中，β，α，δ和ε是參數．方程(4)對研究液晶對光傳播的影響具有重要意義，它揭示了液晶特有的物理與光學性質．

首先，點O(0，0，0)是方程(4)的不動點．隨著參數的變化，方程(4)出現粘合分支，它是通向混沌的一種新途徑［12］．由文獻［11］知，當 β =1．8，α =1．5，δ=-0．07，ε =0．076 071 時，方程(4)出現第1 次粘合分支，此時方程 (4)存在2個同宿到不動點O(0，0，0)的同宿解，如圖1所示．

圖1 方程(4)在 β =1．8，α =1．5，δ=-0．07，ε =0．076 071 148 687 時的2 個同宿解

方程(4)的周期擾動方程為

式(5)中，μ 和 ω 是參數．易知，當 β ＞1，α ＞0時，O(0，0，0)是方程(4)的耗散鞍點，特征值分別為

2 數值結果

2．1 模擬過程

1)對于方程(4)，首先固定參數(β，α，δ)=(1．8，1．5，-0．07)．通過4 階龍格-庫塔法和 C++語言模擬過初始點(x0，y0，z0)=(0．01，0，0)的解，得到方程(4)存在2個同宿解的第1次粘合分支值 ε=0．076 071 148 687．由于數值模擬中擾動參數μ的精度達到10-8，因此ε的精度為10-12，如圖1所示．

2)固定μ值，讓初始時刻t0在區間［0，1)上變化，步長為Δt0=0．001．即對固定的μ值，模擬方程(5)的1 000個解．

2．2 數值結果

令ω=2π，對充分小的μ值有如下結果:

1)秩一吸引子．圖2為參數μ=1．211×10-4，t0=0時的秩一吸引子．其中圖2(a)是方程(5)的三維相圖，圖2(b)是三維相圖在x-y平面上的投影，圖2(c)是變量x的時間序列，圖2(d)是x(k)的傅立葉頻譜．

2)似Hénon吸引子，如圖3所示．似Hénon吸引子是SRB測度意義下的混沌吸引子，它表示周期解附近的混沌動力學．通過數值模擬發現方程(5)存在2類似Hénon吸引子，即雙邊似Hénon吸引子和單邊似Hénon吸引子．圖4表示單邊似Hénon吸引子．

3)周期匯，如圖5所示．周期匯表示方程(5)出現穩定的動力學．由圖5(c)可見，此時方程(5)出現吸引的周期軌．圖5(b)是圖5(a)在x-y平面上的投影．類似于2類似Hénon吸引子，方程(5)同樣存在2類周期匯:雙邊周期匯和單邊周期匯(如圖6所示)．

隨著μ的變化，所有的數值結果如表1所示．由ω=2π可知，方程(5)的擾動周期為T=2π/ω=1．因此，μ 的理論周期為 eβT=e1．8≈6．049 6．表1 中“似 Hénon 吸引子(2)”表示雙邊似 Hénon 吸引子(見圖3)，而“似Hénon吸引子(1)”表示單邊似Hénon吸引子(見圖4)．同理，“周期匯(2)”表示雙邊周期匯，“周期匯(1)”表示單邊周期匯．

表1 方程(5)關于擾動參數μ的動力學模式周期性

續表1

3 結語

本文研究了一類三維擬Lorenz周期擾動方程．擬Lorenz方程在研究光在液晶介質中的傳播具有重要的應用，反映光在傳播中的復雜的動力學現象．該方程存在一個耗散鞍點，這個耗散鞍點具有一維不穩定流形和二維穩定流形．首先通過數值模擬找到該方程存在2個同宿解的粘合分支值;然后數值模擬周期擾動方程，得到3類奇怪吸引子:周期匯、似Hénon吸引子和秩一吸引子．本文結果是二維同宿纏結理論在三維方程中的應用和推廣．

［1］Hénon M．A two-dimensional mapping with a strange attractor［J］．Commun Math Phys，1976，50(1):69-77．

［2］Young L S．What are SRB measures，and which dynamical systems have them?［J］．J Stat Phys，2002，108(5/6):733-754．

［3］Sinai Y G．Gibbs measure in ergodic theory［J］．Russ Math Surv，1972，27(4):21-69．

［4］Ruelle D．A measure associated with axiom a attractors［J］．Am J Math，1976，98(3):619-654．

［5］Bowen R．Equilibrium states and the ergodic theory of anosov diffeomorphisms［M］．Berlin:Springer-Verlag，2008:1-77．

［6］Wang Q，Oksasoglu A．Periodic occurrence of chaotic behavior of homoclinic tangles［J］．Physica D，2010，239(7):387-395．

［7］Wang Q，Oksasoglu A．Dynamics of homoclinic tangles in periodically perturbed second-order equations［J］．J Differ Equations，2011，250(2):710-751．

［8］Wang Q，Oksasoglu A．Rank one chaos:theory and applications［J］．Int J Bifurcat Chaos，2008，18(5):1261-1319．

［9］Wang Q，Oksasoglu A．Strange attractors and their periodic repetition［J］．Chaos，2011，21:013128．

［10］Wang Q，Young L S．Towards a theory of rank one attractors［J］．Ann Math，2008，167(2):349-480．

［11］Carbone V，Cipparrone G，Russo G．Homoclinic gluing bifurcations during the light induced reorientation in nematic-liquid-crystal films［J］．Phys Rev E，2001，63(5):051701．

［12］Arneodo A，Coullet P，Tresser C．A possible new mechanism for the onset of turbulence［J］．Phys Lett A，1981，81(4):197-201．