一族新的免求二階導數的Chebyshev-Halley型迭代法

程桂賢， 何國龍

(浙江師范大學數理與信息工程學院，浙江金華 321004)

0 引言

非線性方程求解的方法和理論是當今數值分析研究的重要課題之一，而Newton迭代法是非線性方程求根的重要經典方法［1-2］，其迭代公式為

收斂階為2．

近年來，有不少工作者對Newton迭代法進行了改進［3-6］．如文獻［5］中的Newton-Steffensen迭代法，其迭代公式為

Chebyshev-Halley迭代法是一族收斂階為3的迭代法，而且一些著名的迭代法包含其中．例如，當法［6-8］．然而，在Chebyshev-Halley迭代法中含有二階導數的計算．因此，它在實際應用中受到了一定的限制．故求解非線性方程時經常會選用Newton迭代法．

至今，已有許多文獻對 Chebyshev迭代法、Halley迭代法及 Chebyshev-Halley迭代法進行了改進［9-13］，其結果優于經典的Chebyshev-Halley迭代法及Newton迭代法．在上述工作的影響下，本文也提出了一族新的免求二階導數的Chebyshev-Halley型迭代法．在每次迭代過程中只需計算2個函數值和1個一次導數值，其收斂階仍為3．數值實驗結果也驗證了此方法的有效性．

1 新的Chebyshev-Halley型迭代法的推導及收斂性分析

設非線性方程

在開區間D?R→R上有單根α，且f(x)在D上充分光滑．將f(x)在xn(xn為n次迭代值)處泰勒展開，得

將x=α代入式(5)得

由式(7)可得

由式(8)和式(9)可得

于是，得到一族新的免求二階導數的Chebyshev-Halley型迭代法

定理1 設f:D?R→R在α附近充分光滑，α∈D是方程f(x)=0的單根，且x0充分靠近α，則由式(12)所定義的迭代式的收斂階至少為3，且誤差方程為

證明 將f(xn)，f'(xn)在α處泰勒展開，得

于是

將式(15)及式(19)代入式(11)可得

故

于是1

因此

定理1得證．

2 例子

當β=0時，可得到另一種新的3階迭代法

3 數值試驗

為了驗證本文所給出的迭代法的有效性，對每個算例都用文獻［1-2］中的Newton迭代式(NM)、文和本文所給出的迭代式(26)(MCH1)及迭代式(27)(MCH2)進行比較．

給出以下計算實例:

此處x*為方程f(x)=0的根α的近似值，xn為n次迭代后方程f(x)=0的根α的近似值，用TNFE表示函數值的求解總次數，ITN表示迭代次數，COC表示計算的收斂階的近似值，其計算公式為［14］

數值計算結果見表1．

表1 TNFE=12為中止迭代的判定條件

續表1

表2 |xn+1-xn|≤1．0×10-20為中止迭代的判定條件

給出的數值結果說明此方法是有效的．

［1］Ostrowski A M，Rheinboldt W G．Iterative solution of nonlinear equations in several variables［M］．New York:Academic Press，1970．

［2］Traub J F．Iterative methods for the solution of equations［M］．New York:Chelsea Publishing Company，1977．

［3］Amat S，Busquier S，Gutiérrez J M．Geometric constructions of iterative functions to solve nonlinear equations［J］．Computational and Applied Mathematics，2003，157(1):197-205．

［4］Frontiti M，Sormani E．Modified Newton's method with third-order convergence and multiple roots［J］．Computational and Applied Mathematics，2003，156(2):345-354．

［5］Sharma J R．A composite third order Newton-Steffensen method for solving nonlinear equations［J］．Applied Mathematics and Computation，2005，169(1):242-246．

［6］Gutiérrez J M，Hernández M A．A family of Chebyshev-Halley type methods in Banach spaces［J］．Bulletin of the Australian Mathematical Society，1997，55(1):113-130．

［7］Argyros I K．A note on the Halley method in Banach spaces［J］．Applied Mathematics and Computation，1993，58(2/3):215-224．

［8］Gutiérrez J M，Hernández M A．An acceleration of Newton's method:super-Halley method［J］．Applied Mathematics and Computation，2001，117(2):223-239．

［9］Kou J，Li Y，Wang X．Modified Halley's method free from second derivative［J］．Applied Mathematics and Computation，2006，183(1):704-708．

［10］Kou J，Li Y．Modified Chebyshev's method free from second derivative for non-linear equations［J］．Applied Mathematics and Computation，2007，187(2):1027-1032．

［11］Chun C．Some variants of Chebyshev-Halley methods free from second derivative［J］．Applied Mathematics and Computation，2007，191(1):193-198．

［12］Chun C．Some second-derivative-free variants of Chebyshev-Halley methods［J］．Applied Mathematics and Computation，2007，19(2):410-414．

［13］Zhou Xiaojian．Modified Chebyshev-Halley methods free from second derivative［J］．Applied Mathematics and Computation，2008，203(2):824-827．

［14］Weerakoon S，Fernando T G．A variant of Newton's method with accelerated third-order convergence［J］．Applied Mathematics Letters，2000，13(8):87-93．