位移反分析的模式搜索支持向量機方法及其應用

劉 永，張志軍，賀桂成，丁德馨

(南華大學 核資源與核燃料工程學院，衡陽 421001)

圍巖力學參數的合理確定，對于評估地下工程圍巖的穩定性及工程安全性，都具有極其重要的意義[1]。常采用位移反分析方法確定圍巖的力學參數。傳統的位移反分析方法，如解析解法、逆解法、圖譜法、彈塑性模型、流變模型等[1-3]，是通過建立圍巖力學參數與圍巖位移間的數學、力學模型，反演確定圍巖力學參數。反分析模型非常復雜，計算量極大，求解難度亦非常大[4]。而基于智能化方法的位移反分析方法，如神經網絡算法[5]、優化算法[6]、自適應神經模糊推理方法[7]、粒子群算法[8]、支持向量機算法[9]及各種智能方法相結合的方法等[10-11]，設計原理均是由數值模擬計算結果獲得位移反分析所需要的位移量，之后再采用這些智能化方法建立巖石力學參數與位移量之間的擬合關系，進而建立智能化位移反分析方法。這類方法具有較大的創新性，但其在實現過程中各學者均關注于算法的收斂速度和計算精度，而對其結構確定、參數選取、全局最優等關鍵問題未進行深入研究，存在過多的人為干預，使得智能化方法的智能性無法在真正意義上實現，不同程度地限制了這些智能化位移反分析方法的推廣應用。

雖然有著諸多缺點，但這些智能化方法在位移反分析中的應用，已成為學科交叉的一個很好的研究方向，是當前的熱門研究課題。為此，研究和建立減少人為干預、便于建模，并能提高收斂速度和預測結果唯一的新智能化位移反分析方法顯得尤為迫切[12]。

基于此，本文作者以減少人為干預為前提，先采用 FLAC3D模擬獲取圍巖力學參數—圍巖位移數據對；隨后采用模式搜索算法(Pattern search algorithm,PSA)[13]和圍巖力學參數—圍巖位移數據對構建圍巖力學參數與圍巖位移間映射的支持向量機模型(Support vector machine, SVM)[14]，從而建立位移反分析的模式搜索支持向量機方法。最后，將該方法應用于反演確定的巖石力學特性參數對實際工程開展數值模擬計算，并將計算結果與長期監測結果相比較，結果表明所建方法是適用的，完全可以滿足工程應用需求。

1 位移反分析模式搜索支持向量機構建方法

1.1 位移反分析問題的數學描述

長度方向遠大于橫斷面的地下工程問題均可簡化為平面應變問題，那么，對于平面應變狀態下的位移反分析問題，需通過量測其一橫斷面內n個測點處的位移獲取現場量測位移向量用來反演確定圍巖的力學參數向量b=其中xσ，yσ，xyτ分別為應力，E為彈性模量，μ為泊松比，c為黏聚力，φ為內摩擦角。而實際中，需首先給定若干個力學參數向量通過數值計算得到相對應的若干個模擬位移向量進而建立力學參數向量b與模擬位移向量us之間的映射關系此映射關系即為位移反分析模型，可根據現場量測位移反演確定圍巖的力學參數。

本文作者采用SVM來建立力學參數向量b與模擬位移向量us之間的映射關系，從而實現位移反分析。

1.2 支持向量機簡介

支持向量機是基于統計學習理論的一種新的學習方法，最早由 Vapnik 教授及其合作者提出[14]，其基本思想是通過用內積函數定義的非線性變換將輸入空間變換到一個高維空間，在這個高維空間中尋找輸入變量和輸出變量之間的一種非線性關系，因此特別適合于解決位移反分析問題。

目前SVM最常用核函數為徑向基(RBF)核函數，由于它只有一個參數r，因此成為普適的核函數，并且通過參數的選擇，可以適用于任意分布的樣本[14]。其關系式如下：

式中：變量r為核函數的參數。

SVM的另一個重要參數為懲罰因子C。關于SVM的這兩個參數的確定，到現在為止仍未形成一個統一的模式，只能憑借經驗，通過實驗對比和大范圍搜尋來確定[15]。由于 SVM 的建模存在較多的人為干預，使得其預測結果的唯一性和可靠性難以得到保證。

1.3 支持向量機結構參數的模式搜索算法

模式搜索算法是一類特殊的直接搜索算法[13]。直接搜索算法是一種求解優化問題的方法，它不需要目標函數的梯度信息。與使用梯度或高階導數信息來搜索優化點的優化算法相反，直接搜索算法搜索當前點周圍的一系列點，尋找目標函數值低于當前點值的那些點。可以處理邊界約束、線性等式、線性不等式等問題，并且不需要目標函數可微或連續。而PSA以其簡潔的算法流程成為應用最為廣泛的一種直接搜索算法，它可以確定一個點的序列，并使這個點的序列呈現出越來越接近理想點的趨勢。該算法在每一個計算步中，通過把當前點與一個稱為模式的固定向量集的標量倍數相加，形成當前點周圍的一系列點，即構成一個網格，再對此一系列點進行搜索。如果算法在網格中找到一個新點，且在該點的目標函數值優于當前點的，則算法自動將新點作為下一步搜索的當前點重復計算過程[16]。因此，PSA非常適合于處理目標函數不可微、不連續的問題。

對于SVM這種多參數系統(關鍵參數為核函數的參數r和懲罰因子C)，這兩個參數的不同組合形式影響算法的結果，而合理確定參數組合則極其復雜。這是因為參數組合中的參數之間是相互獨立的，并不具有任何線性或非線性的相互聯系，但這些單個的參數卻同樣影響著系統的性能。由此可見，PSA的特性極適合于解決 SVM 的這種多個參數設定問題。因此，本文作者采用PSA來搜索SVM核函數的參數r和懲罰因子C，研究和建立一套適用于 SVM 模型結構確定、訓練參數選取及全局最優結果搜索的規則，同時提高模型的收斂速度和保證模型反演結果的唯一性和可靠性，從而建立新的位移反分析的模式搜索支持向量機方法。

1.4 位移反分析模式搜索支持向量機的構建方法

根據上述數學描述及 SVM 的特點，位移反分析的模式搜索支持向量機方法的構建方法如下。

1)測量地下工程某個斷面內的位移，獲得位移向量um，包括頂、底板豎向位移量和兩幫收斂位移量等。

2)依據該地下工程的實際情況，確定圍巖力學參數取值范圍和取值水平，再采用正交試驗設計法確定力學參數向量bi(i=1, 2, …,m)。

3)建立該地下工程的數值計算模型，分別計算與每組力學參數相對應的模擬位移向量(i=1, 2, …,m)，作為SVM的特征參數。

4)按SVM的輸入數據格式組成學習數據對和檢測數據對。

5)設置初始SVM模型的核函數K和懲罰因子C，分別建立輸出目標為E、μ、c、φ、LC(側壓力系數)、SC(剪應力系數)的6個初始SVM結構Si，并設定檢測誤差閾值。

6)在有檢測數據指導的情況下分別對該 6個初始SVM結構進行訓練學習，并采用PSA對SVM模型的核函數K和懲罰因子C進行搜索，以獲得如下6個映射關系：

7)重復步驟5)和步驟6)，直到檢測誤差小于或等于閾值時，所得映射關系即為最終的6個模型結構Si，i=1, 2, …, 6。

8)將現場量測位移向量um輸入上述6個映射關系Si，其中(i=1, 2, …, 6)，即可得到該地下工程圍巖的力學參數向量b，也即為反演結果。

2 位移反分析模式搜索支持向量機的應用

2.1 工程概況

湖南省某地下礦山盛產錫礦，錫礦體賦存于透性較高的七里江灰巖頂部砂化巖石中，其上覆蓋著透性極差的頁巖。整個礦田構造為一個兩端傾伏雙攀型短背斜。軸向北東25°，北端為揚起傾伏，傾伏角10°～15°；南端為沉降傾伏，傾伏角 30°～40°。核部由七里江砂化灰巖石組成，北、東、南三面依次變為上泥盆統地層，傾角一般為 20°～30°。西翼為西部大斷層破壞，致使石磴于灰巖與七里江砂化灰巖石接觸，與七里江砂化灰巖傾角陡變到45°～60°，構成不對稱的短背斜。主要發育有F86斷層，其走向NE45°、傾向SE、傾角60°左右，屬于成礦后斷裂，對礦體具有破壞性[17]。

該礦有一賦存于泥盆統佘田橋組中段硅化灰巖中的獨立小礦體，且已對這一獨立小礦體進行了開采，形成了一長45 m、寬15 m、高6 m的采空區。該采空區上覆巖層厚48 m，表土層厚3 m。采空區以東40 m 處有一傾角為 40°的斷層 F86。采空區上方為居民區。該礦已對采空區圍巖的變形和開采引起的地面沉陷進行了監測。

2.2 采場圍巖位移的計算

1)采場圍巖力學參數取值范圍的確定

為獲取數值建模所需的各種物理力學參數，對礦區圍巖樣本進行了巖石力學試驗。此外，還假定該礦豎向初始地應力的分布符合海姆假設，即σy=γh，其中γ=27.2 kN/m3，則水平初始地應力σx=LC·σy，初始剪應力τxy=SC·σy。因此，待反演的力學參數有6個，分別為E、μ、c、φ、LC、SC。在考慮了該礦區地質資料[17]、國際經驗[18]及巖石力學試驗結果后，確定了反演參數的取值范圍，結果如表1所列。

2)工程圍巖位移的量測結果

為了對圍巖的力學參數進行反演，同時也為了監測圍巖的穩定狀況，在礦房長1/2處的橫斷面內布置測點，分別測量頂底板位移及礦房兩邊墻收斂位移量，測量結果列于表2。

表1 采場圍巖力學參數的取值范圍Table 1 Estimated value range of mechanical parameters of rock mass surrounding stope

表2 采場頂、底板及兩幫收斂位移量測結果Table 2 Measurements results of displacements on roof, floor and side walls of stope

進一步地，對表1中的巖石力學參數在其取值范圍內分為5個水平(如表3所示)，并采用5水平6因素的標準正交表進行正交設計，如表4所列。

3)數值計算模型的建立

依據該礦房的實際尺寸，構建其模型，即取巖石移動角為70°，影響范圍X水平方向左邊取18 m，右邊界則由于斷層F86的存在取到86 m處。Z豎直方向起始點取采空區底部向下延伸16.5 m處，上部取到地表巖層邊界處。考慮到相鄰礦房的尺寸及坐標，該模擬礦房Y水平方向前方取為5 m，礦房長為45 m，后面方向延伸40 m，Y方向共取90 m。所建模型如圖1所示。

表3 采場圍巖力學參數取值水平Table 3 Levels of mechanical parameters of rock mass surrounding stope

4)模擬計算方案及計算結果

在進行邊界約束后，分別以由表4中不同組合下的力學參數進行模擬計算，獲得對應的模型計算位移值(礦房沿Y方向長度1/2處斷面的位移值，包括頂板、底板的豎向位移量及礦房兩邊墻水平收斂位移量)，結果如表4所列。

圖1 礦房模型圖Fig.1 Model of stope

2.3 位移反分析支持向量機的構建

1)數據對的構建

根據PSA和SVM的各自特點，首先建立初始Si結構，其輸入特征值均為表4中的模擬位移值，目標輸出值為對應的模擬方案的力學參數值，從而實現由位移反演確定圍巖的力學參數。由此，即采用模擬位移值與相應的模擬方案的力學參數值分別構建訓練(表4中第1～22組數據)和檢測數據對(表4中第23～25組數據)。

2)目標函數的確定

根據PSA的特性，需建立相應的目標函數，即將檢測數據對(表4中第23至第25組數據)的相對誤差作為目標函數值。因此，在本研究中，將目標函數確定為檢測數據對的最大檢測誤差，即將檢測數據對輸入初始Si，以得到的輸出結果與模擬計算值的最大相對誤差作為目標函數值，如式(3)所示：

式中：x0為目標輸出值；x為預測結果。

3)影響因素的確定及設置

選取SVM的核函數為徑向基核函數，其參數r和懲罰因子C為影響訓練和預測結果的2個影響因素。另外，2個影響因素為控制網格調整的2個參數[17]，即網格擴展因子(Mesh expansion factor)和網格收縮因子(Mesh contraction factor)。

表4 模擬計算方案及計算結果Table 4 Simulation schedule and simulation results

這4個影響因素的取值范圍如表5所列，再采用4因素3水平的正交表對該4個因素的取值進行正交設計，各水平取值及正交設計方案如表6和7所列，而最終的參數值選擇為表中相對于搜索目標函數最小的一組，即預測效果最好的一組。

表5 4個參數的默認取值及取值范圍Table 5 Default value and value range of 4 influencing factors

表6 4個影響因素的取值水平Table 6 Value levels of 4 influencing factors

4)支持向量機結構參數的搜索結果

經過對表7的每一組參數進行搜索計算，結果顯示，該6個Si結構，對應于搜索目標函數值為最小的參數組合分別為第6、8、5、9、6、8組參數，搜索結果如表8所列。

將表8中搜索得到的核函數參數r和懲罰因子C分別輸入所建6個模式搜索—支持向量機中，并采用訓練數據對(表4中第1～22組數據)對其分別進行訓練學習，所得模型即為各力學參數的最佳模式搜索支持向量機預測模型。

至此，構建了采場圍巖力學參數位移反分析的模式搜索支持向量機模型。

表7 正交試驗設計方案Table 7 Orthogonal test design schema

表8 支持向量機結構參數的搜索結果Table 8 Searching results of support vector machine model

2.4 采場圍巖力學參數的支持向量機反演

將表2中該礦房頂、底板和兩幫收斂位移量監測結果輸入所建位移反分析的模式搜索支持向量機模型，其輸出即為圍巖力學參數的反演結果，列于表9。

表9 地下采場圍巖力學參數的反演結果Table 9 Inversion results of mechanical parameters of rock mass surrounding stope

2.5 采場圍巖力學參數支持向量機反演結果的檢驗

為了驗證方法的可行性，并確定回采后圍巖形變對地表的影響程度，采用表9中所列反演結果，對計算模型進行了模擬計算。進一步地，沿采空區中心，采用自編接口程序，獲得了X向礦房1/2處斷面(Y=25 m)的豎向模擬位移等值線圖如圖2所示。

將模型計算中該剖面地表各點沉降量繪制于坐標中，結果如圖3。由圖3可以看出，模型沿水平方向的地表下沉量呈近似半碗口狀曲線分布。在模型坐標X為3.2 m處，沉降量達到最大值2.541 6 cm。

圖2 模型X向豎直剖面位移等值線圖Fig.2 Vertical displacement isopleths of model along X direction (m)

圖3 模型地表沉降量曲線Fig.3 Ground subsidence curve of model

為了驗證模擬結果，沿模型中該剖面在實際地表布置了多個測點，并進行了長期監測。截止2011年底，監測結果顯示，該礦房上覆地表沉降已趨于穩定，且其沉降量最大值為2.560 cm，其位置亦如圖3所示，監測結果與模擬結果吻合較好。

3 結論

1)采用模式搜索算法優化支持向量機等方法，建立了一種位移反分析的模式搜索支持向量機(PSASVM)方法。該方法充分利用PSA的尋優性能、SVM的預測性能以及正交設計的優化試驗特性，具有模型建立簡捷、參數調節明確、推廣預測精度高且結果為全局最小等特點，應用于位移反分析中。

2)將所建立的位移反分析的模式搜索支持向量機方法，應用于某礦山礦房圍巖巖石力學參數反演中，并采用反演結果對該礦房進行了數值模擬計算，計算結果與實際監測結果吻合良好，有效地驗證方法的正確性和工程適用性。

3)以減少人為干預為前提，提出和建立一種更加智能化的位移反分析方法，對于位移反分析智能化研究工作具有重要意義。

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