一類不等式奧林匹克試題的共同背景

● (春谷中學 安徽南陵 241300)

一類不等式奧林匹克試題的共同背景

●鄒守文(春谷中學 安徽南陵 241300)

通過對一些數學奧林匹克不等式的分析，發現一些不等式的共同背景，即在p,q,r為正實數，且p2+q2+r2+2pqr=1的條件下證明某個不等式，經研究得到該條件下的若干性質，據此可以證明一類不等式.

結論1設p,q,r為正實數，且p2+q2+r2+2pqr=1，則

即

∑a(a+b)(a+c)≥2∑ab(a+b)，

得

∑a(a-b)(a-c)≥0.

最后一式為Schur不等式.

(第48屆國家集訓隊測試題)

證明令u=4p2,v=4q2,w=4r2，則已知式變形為p2+q2+r2+2pqr=1，所證式等價于

此即結論1.

例2設正實數x,y,z滿足xy+yz+zx+xyz=4，求證：x+y+z≥xy+yz+zx.

(1996年越南數學奧林匹克試題)

證明令xy=4p2，yz=4q2,zx=4r2,則已知式變形為

p2+q2+r2+2pqr=1，

所證式等價于

此即結論1.

例3設a,b,c≥1，且滿足abc+2a2+2b2+2c2+ca-cb-4a+4b-c=28,求a+b+c的最大值.

(2011年全國高中數學聯賽加試B卷試題)

a+b+c=a′+1+b′-1+c=a′+b′+c=4(p+q+r)≤6,

故a+b+c的最大值是6.

(2007年美國國家集訓隊試題，2005年伊朗數學奧林匹克試題)

證明已知條件可轉化為x2y2+y2z2+z2x2+2x2y2z2=1，令xy=p，yz=q,zx=r,則已知式變形為

p2+q2+r2+2pqr=1，

結論3設p,q,r為正實數，且p2+q2+r2+2pqr=1，則p+q+r≥2(pq+qr+rp).

因為

所以結論3成立.

(2011年中歐數學奧林匹克試題)

證明已知式變形為abc=a+b+c+2，即

p2+q2+r2+2pqr=1，

且

于是所證式等價于

即

p+q+r≥2(pq+qr+rp)，

此即結論3.

由平均值不等式得

結論3成立.

例6設非負數x,y,z滿足x2+y2+z2+xyz=4,證明：xy+yz+zx-xyz≤2.

(第30屆美國數學奧林匹克試題)

證明由條件p2+q2+r2+2pqr=1，可作變換p=cosA，q=cosB,r=cosC，這里A，B，C為銳角△ABC的3個內角，則所證式等價于在銳角△ABC中

因為

所以

而cosA+cosB+cosC≥1+4cosA·cosB·cosC等價于

由于

同理可得

上述3個式式相乘得

故結論5成立.

(2004年全國高中數學聯賽河南省預賽試題)

證明已知條件可以作變換x=16p2,y=16q2,z=16r2，則已知和求證分別變形為：設p,q,r為正實數且p2+q2+r2+2pqr=1，求證：

此即結論5.

[1] 鄒守文.一道48屆國家集訓隊測試題的研究[J].中國初等數學研究，2011(3)：108-112.

[2] 陳建兵,鄒守文.一個條件等式派生的不等式在證明競賽不等式試題中的運用[J].中學數學研究，2011(5)：46-49.