自主招生數學試題中用“函數法”求不等式問題

● (常熟市中學 江蘇常熟 215500)

自主招生數學試題中用“函數法”求不等式問題

●查正開(常熟市中學 江蘇常熟 215500)

不等式問題在自主招生試題中占有重要的地位.隨著新課程改革的實施，不等式的證明已成為理科學生的選學內容(選修4-5)，因此不少優秀學生得不到系統的訓練，難以處理此類題目.為此本文給出解決不等式問題的有效途徑——“函數法”，希望能對考生有所幫助.

(2011年復旦大學自主招生數學試題)

當x∈(0,1)時，f′(x)<0;當x∈(1,+∞)時，f′(x)>0;當x=1時,f′(x)=0.故

(2011年清華大學等七校聯考數學試題)

解由已知得

整理得

從而

點評本題共有3個變量，將2個條件代入消元后可轉化為一元二次函數問題.

(2009年清華大學自主招生數學試題)

證明令A=x2n+y2n.由x,y>0且x+y=1知，y=1-x,x∈(0,1),即

A(x)=x2n+(1-x)2n,

從而

A′(x)=2nx2n-1+2n(1-x)2n-1(-1)=2n[x2n-1-(1-x)2n-1].

點評本題雖為二元問題但代掉一個即為一元問題，較易構造函數處理.運用本題的解法不難將這一問題進行推廣：

推廣1設x1,x2,…，xk∈R，且x1+x2+…+xk=1，則對于任意正整數n，有

(2008年南京大學自主招生試題)

證明由題意知a,b,c對稱，不妨設a≥b≥c，由a+b+c=1且a,b,c∈R+知

點評本題是三元條件不等式代掉一元即為二元問題可選一元為主變元，另一元視為常量.運用“函數法”可將問題推廣為：

(2010年浙江大學自主招生試題)

f′(x1)<0.

點評本題是n元條件不等式，但只有n-1個獨立變量，將一元作為主變元，n-2元視為常數，則最后一元與主變元有關.本問題還可用“函數法”作如下推廣：

推廣3設xi∈R+且x1+x2+…+xn=1,則

推廣4若x1,x2,…,xn為小于1的正數且x1+x2+…+xn=1，n,m∈N*,n≥2，m≥3，則

(2006年復旦大學推優、保送生考試數學試題)

綜上可知，采用“函數法”證明不等式可規避傳統不等式證明中靈活多變的方法和高難的技巧，彌補不等式知識的不足，強化函數(導數)的應用意識，使解題有明確的指向和固有的定式，思維流暢自然，使很多復雜的不等式證明題都能迎刃而解，對考生解答自主招生試題(競賽題)具有廣泛的適用性.