一個共圓點定理的多方位推廣

● (贛南師范學院 江西贛州 341000)

一個共圓點定理的多方位推廣

●熊曾潤(贛南師范學院 江西贛州 341000)

梁紹鴻先生在文獻[1]中介紹了一個優美的共圓點定理,即

(三角形的九點圓,有人稱它為歐拉圓,也有人稱它為費爾巴哈圓[2].)

本文擬應用向量方法,將定理1多方位地類比推廣到一般圓內接多邊形中,導出一個更具普遍性的新結論.為此,先建立如下概念:

定義設n邊形A1A2…An(n≥3)內接于⊙(O，R)，對任意給定的正整數k.

按定義(1)可知,圓內接n邊形的1號心、2號心和n號心，就是它的垂心[3]、歐拉圓心[4]和重心[5].因此，圓內接n邊形的k號心概念，是它的垂心、歐拉圓心和重心諸概念的統一推廣.

根據以上定義，可以推得定理2.

由此可得

又依題設，點N和點M分別是n邊形A1A2…An的k+1號心和k號心，按定義(1)有

將式(2)代入式(1)，可得

即

容易驗證，在定理2中令n=3,k=2，就得到定理1.因此，定理2是定理1的推廣.

值得指出的是：定理2的內涵是極其豐富的，考察它的各種特例，將會得到許多有趣的命題.例如，在定理2中令n=4,k=1,2,3,4,可得

命題1設四邊形A1A2A3A4內接于⊙(O，R)，E是它的歐拉圓心(即2號心)，P是⊙(O，R)上的任一點，連PE并延長至Q，使EQ=PE，則Q點必在四邊形的1號圓上(圓心是這四邊形的垂心H，半徑為R).

這些關于圓內接四邊形的共圓點命題，是耐人尋味且鮮為人知的.諸如此類的命題不勝枚舉，這里就不贅述了.

[1]梁紹鴻.初等數學復習及研究(平面幾何)[M].北京:人民教出版社,1958:190.

[2]約翰遜.近代歐氏幾何學[M].單墫,譯.上海:上海教育出版社,1999:170-171.

[3]熊曾潤.圓內接閉折線的垂心及其性質[J].中學教學,2000(3):43-44.

[4]熊曾潤.圓內接閉折線的歐拉圓及其性質[J].中學教研(數學),1999(11):32-33.

[5]熊曾潤.閉折線的頂點系重心的性質[J].中學教研(數學),1998(1/2):45-46.

[6]熊曾潤.普魯海圓的美妙性質[J].中學數學教學,2010(1):63-64.