一對(duì)姊妹不等式猜想的證明

●吳裕東( 新昌中學(xué)浙江新昌312500)

●胡努春( 浙江師范大學(xué)數(shù)理與信息工程學(xué)院浙江金華321004)

一對(duì)姊妹不等式猜想的證明

●吳裕東( 新昌中學(xué)浙江新昌312500)

●胡努春( 浙江師范大學(xué)數(shù)理與信息工程學(xué)院浙江金華321004)

文獻(xiàn)[1]在文獻(xiàn)[2]和[3]的基礎(chǔ)上證明了不等式(1)當(dāng)n=3 時(shí)的情形，并提出了如下一對(duì)有趣的姊妹不等式猜想．

猜想1若x1,x2,…,xn∈R+(n≥3,n∈N*),且x1+x2+…+xn=1,則

猜想2若x1,x2,…,xn∈R+(n≥3,n∈N*),且x1+x2+…+xn=1,則

本文給出這2個(gè)不等式猜想的證明.首先給出不等式(1)的證明.

證明由x1,x2,…,xn∈R+,x1+x2+…+xn=1和均值不等式可得

即

(x1x2…xn)-1≥nn.

再由均值不等式得

同理可得

…

于是

故不等式(1)得證.

下面給出不等式(2)的證明.

證明(1)當(dāng)n≥4時(shí)，由x1,x2,…,xn∈R+,x1+x2+…+xn=1和均值不等式可得

(2)當(dāng)n=3時(shí),由x1,x2,x3∈R+,x1+x2+x3=1和均值不等式可得

故當(dāng)n=3時(shí),不等式(3)亦成立,從而對(duì)一切n≥3(n∈N*),不等式(3)都成立.同理

…

又當(dāng)n≥3(n∈N*)時(shí),n6-2n5-2n4+2n3-4=n4(n+1)(n-3)+n4+2n3-4>0,于是

從而

不等式(2)得證.

對(duì)不等式(2),令n=3,即得文獻(xiàn)[1]提出的另一個(gè)猜想.

推論1若x1,x2,x3∈R+,且x1+x2+x3=1,則

根據(jù)不等式(1)和(2),筆者提出更一般的一對(duì)姊妹不等式猜想:

猜想3若x1,x2,…,xn∈R+(n≥2,n∈N*,p,q∈N*),且x1+x2+…+xn=1,則

（6）

[1]李永利,劉真真.一對(duì)姊妹不等式的聯(lián)想[J].數(shù)學(xué)通訊,2010(6):40.

[2]有名輝.一個(gè)不等式的另證及推廣[J].數(shù)學(xué)通訊,2009(18):24-25.

[3]夏開平.一對(duì)優(yōu)雅的姊妹不等式[J].數(shù)學(xué)通訊,2008(19):27.