旋轉的雙曲線

● (奉化中學 浙江奉化 315500)

旋轉的雙曲線

●陳兒(奉化中學 浙江奉化 315500)

1 旋轉變換

普通高中課程標準實驗教科書《數學》選修4-2“矩陣與變換”的第1講“線性變換與二階矩陣”給出了平面直角坐標系中坐標旋轉變換的定義.

我們可以得到直角坐標系xOy內的每一個點繞原點按逆時針方向旋轉α角的旋轉變換(通常記為Rα)的坐標變化公式：

如圖1，分別聯結OP，OP′，設OP=OP′=r，記θ是以x軸的正半軸為始邊、以射線OP為終邊的角.由三角函數的定義得

圖1

2 雙曲線的旋轉

在雙曲線上任取一點P(x,y)，繞原點O按逆時針方向旋轉α角，得到點P′(x′,y′)，那么

整理可得

(b2cos2α-a2sin2α)·x′2+(b2sin2α-a2cos2α)·y′2+(b2+a2)·x′y′·sin2α=a2b2.

如果旋轉變換之后的雙曲線是一個函數，那么可以令b2sin2α-a2cos2α=0，此時

雙曲線的標準方程轉化成

即函數的解析式為

即

即

因為

該雙曲線方程的焦點在x軸上.

3 應用

現在再來解文首給出的例1就會比較簡單.

從而

[1]劉健.創設生態的課堂教學環境,構建自然的知識生成過程[J].中學數學月刊,2011(11):23-24.