讓橢圓的美在學生心中放飛
——“橢圓及其標準方程”課例及點評

● (昌碩高級中學 浙江安吉 313300) ● (東陽中學 浙江東陽 322100)

讓橢圓的美在學生心中放飛——“橢圓及其標準方程”課例及點評

●黃超(昌碩高級中學 浙江安吉 313300) ●吳國建(東陽中學 浙江東陽 322100)

在2011年安吉縣數學教師課例研究培訓活動中，筆者上了一節研討課，課題為人教版《數學》選修2-1第2章“橢圓及其標準方程”第一課時，現將課例呈現給同行，供研討，并請批評指正．

教學過程

師：同學們，很高興能和大家一起度過這45分鐘．今天，大家將和我一起步入解析幾何的殿堂，去一睹圓錐曲線的風采．請大家看幻燈片上展示的圖形，回答：

(1)斜射光下的球的影子的邊界呈現什么形狀？

(2)傾斜的玻璃杯中水面的邊界呈現什么形狀？

(3)圓錐被如圖1所示的平面截得的圖形邊界呈現什么形狀？

圖1

生(眾)：橢圓．

師：那么，平面截圓錐所得的截口曲線有哪些？

生1：圓、橢圓．

師：除了圓和橢圓，還可以得到拋物線和雙曲線．

圖2

(Flash演示用圓錐截得圓錐曲線并呈現圖2.)

師：圓、橢圓、雙曲線和拋物線這“4個兄弟”一起構成了圓錐曲線“大家庭”，這也是“圓錐曲線”名稱的由來．古希臘數學家阿波羅尼斯在他的傳世之作《圓錐曲線論》中用截線的定義通過幾何方法創立了相當完美的圓錐曲線理論，但晦澀難懂．前段時間學習了笛卡爾創立的坐標法，能否將橢圓的問題也用坐標法解決呢？答案是肯定的，但還需要找到能將橢圓問題轉化為代數問題的一些性質．丹德林為我們準備了2個球并得到了橢圓的一個漂亮性質．請看丹德林雙球．

(Flash演示丹德林雙球.)

圖3

師：如圖3，在圓錐內放2個大小不同的球，使得它們分別與圓錐的側面、截面相切．2個球分別與截面切于點E，F，在橢圓上任取一點A，過點A作圓錐的母線，分別與2個球相切于點B，C，你能發現哪些等量關系？

生2(稍作思考，略顯遲疑)：AE=AC，AF=AB？

師：很好！能夠一眼看出這其中隱藏的等量關系，不容易啊！你還能在圖3中發現哪些變量和不變量嗎？

生2(充滿信心地)：雖然點A在動，但BC是定長，即AE+AF=AB+AC=BC是定長，也即AE和AF在變，但它們的和不變．

師：非常好！課后同學們可以閱讀課本第43頁“探究與發現：為什么截口曲線是橢圓”的相關內容．現在我們來做2個實驗：(1)將一條長度為定值的細繩的2個端點固定在木板的同一點處，套上鉛筆，拉緊繩子，移動筆尖，觀察畫出的軌跡是什么圖形？(2)將一條長度為定值的細繩的2個端固定在木板的2個點處(這2個點間的距離小于細繩的長度)，套上鉛筆，拉緊繩子，移動筆尖，觀察畫出的軌跡是什么圖形？

(課前將細線發給學生，2個人一組合作畫圖.幻燈片演示,教師請2位學生上黑板畫圖．)

生：圓和橢圓．

師：請給橢圓下一個定義．

生3：橢圓是一個封閉的圖形．

師：不錯，歸納得很合理．但封閉的圖形有很多，橢圓具有怎樣的特性呢？還有沒有要補充的？

生4：橢圓是到2個定點的距離之和等于定長的點的軌跡．

師：很好！生4概括了橢圓的性質，可以用它做為橢圓的定義．這個定義是否準確？在畫圖過程中，對繩長和定點有沒有要求？

生5：繩長要大于2個定點間的距離．

師：用數學語言如何表達？

生5：到2個定點的距離之和大于2個定點間的距離．

師：橢圓是一條平面曲線，因此在定義中應加上“平面內”的限制，這樣便得到了橢圓的定義：平面內與2個定點F1，F2距離的和等于常數(大于|F1F2|)的點的軌跡叫做橢圓；這2個定點F1，F2叫做橢圓的焦點，2個焦點間的距離叫做焦距．

(教師講述的同時進行板書和出示幻燈片.)

師：若常數等于|F1F2|，則點的軌跡是什么？小于|F1F2|呢？

生6：若常數等于|F1F2|，則點的軌跡是線段F1F2；若常數小于|F1F2|，則點不存在．

師：非常好．看下面2個問題，請從幾何意義的角度考慮．

生7：方程(1)表示橢圓；方程(2)表示線段．

師：為什么？

生7：方程(1)表示到2個定點F1(-3，0)，F2(3，0)的距離之和為常數10(>|F1F2|=6)的點的軌跡，是橢圓；方程(2)對應的常數為6(=|F1F2|)，是線段．

師：準確地把握了橢圓的定義，很好．方程(1)可以看成橢圓的方程，它直觀地反映了橢圓的定義，但它看上去不簡潔，而解析幾何的主要研究方法是坐標法，方程是其核心，因此接下去的工作是尋求橢圓方程的最簡表達形式．如何求曲線的方程，一般步驟是什么？

生8：建系設點→幾何條件→代數化→化簡→檢驗．

(按照一般步驟，由學生講思路，教師寫過程，化簡的過程由教師板演，此處略去求橢圓標準方程的化簡過程．特別提示學生可以從不同的角度建立坐標系，并推導出不同的方程進行相互比較.)

圖4

圖5

生9：|OF1|=|OF2|=c，但a沒找到．

師：請思考橢圓的定義．

師：為什么？

生11：在方程推導的過程中，x，y互換了位置．

師：能夠從方程推導的過程中發現這一點，觀察能力很強，也把握住了問題的本質，很好！

師：有了橢圓的定義和標準方程，就可以運用坐標法來解決橢圓的相關問題．我們先從基礎做起，來看一些簡單的問題．

師：這么快!怎么得到的？

生12：該方程表示的是到2個定點F1(-3，0)，F2(3，0)的距離之和為常數10的點的軌跡，是橢圓，且a=5，c=3，故b=4，得到標準方程．

師：好！繼續來解下面的問題．

題組1

1．判定下列橢圓的焦點在哪個坐標軸上，指明a2,b2,c2的值，并寫出焦點的坐標．

2．橢圓的2個焦點的坐標分別是(-4，0)，(4，0)，橢圓上一點P到2個焦點的距離之和等于10，求橢圓的標準方程．

(第1題教師請3位學生口答，很流利．)

師：如何根據橢圓的標準方程判定焦點的位置？

生16：焦點在分母大的坐標軸上．

師：總結得很好．請解決第2題，并簡要陳述你的思路．

師：利用橢圓的定義，可以求出標準方程需要的量，并通過焦點的位置確定標準方程的形式，思路很自然．請解決第3題，并簡要陳述你的思路．

師：在解題中緊扣定義是一種不錯的解題思路，希望同學們牢牢掌握橢圓的定義和標準方程的形式．

題組2

(請3位學生上黑板板演.)

生19(板演第1題)：利用待定系數法解決．

生20(板演第2題)：按焦點位置分類利用待定系數法解決．

生21(板演第3題)：按焦點位置分類利用待定系數法解決．

生20：我不明白為什么前2道題目算出來的結果是一樣的？

生22：如果不管a，b的大小關系，并把a2，b2看成一個整體，那就是一個二元一次方程組，解只有一個．

師：在橢圓的標準方程中，a和b是有大小關系的．

師：大家歸納得很到位．在用待定系數法解決此類問題時，如果焦點未知，那么就可以將橢圓的標準方程設成簡單的形式，從而簡化計算．問題是px2+qy2=1是不是表示橢圓的方程，系數有怎樣的要求？這個問題請同學們課后思考．請同學們回憶一下，今天這堂課我們學習了什么內容，用到哪些方法？有什么收獲？

生24：學習了橢圓的定義和標準方程；用到了待定系數法；收獲說不上來，感覺橢圓有點意思，有些東西還要再看看．

師：老師也想了幾句話，請同學們看看，提點修改意見．

一動二定求和常：截線，F1和F2，|MF1|+|MF2|=2a；

三個字母勾股弦：a2-c2=b2；

四個想法留心間：求美，求簡，定義，待定系數法．

(教師布置作業，下課.)

點評此教學設計是在HPM視角下,以發生教學原理為理論依據：以實例引入，喚起學生對橢圓的感性認識；以橢圓的發現，即圓錐的截口曲線為切入點，通過丹德林雙球導出橢圓的焦半徑性質，過渡自然；以性質為出發點，通過機械作圖的方法，與圓類比得到橢圓的定義；以曲線方程的求法為依托，通過坐標法建立并化簡得到橢圓的標準方程．整個過程是在橢圓的歷史演變上進行了一定意義的重構，契合學生的學習需求并具趣味性．

從教學目標看，本節課首先要講清楚橢圓的定義、標準方程及其求法；其次要通過本節課的學習，引導學生欣賞圓錐曲線、感悟數學美、領略數學文化的魅力．毫無疑問，這才是起始課承擔的更高任務．張奠宙先生曾經說過，數學文化一定要體現在課堂中．文化育人也應當是數學教學的終極追求．整個課堂，教師通過環環相扣、層層推進的組織引導學生5次認識并欣賞橢圓的美．

課堂是遺憾的藝術．從更高的要求來看，本節課還有一些值得商榷之處，如丹德林雙球問題，雖然是很好的數學文化素材，但學生理解起來還是有一定困難，如何更直觀地展現值得教師思考.橢圓標準方程的推導能否設計成探究性學習環節，從“怎樣”推導到“為什么”這樣推導——讓學生有更多、更好的展示和交流機會．

[1]汪曉勤，王苗，鄒佳晨．HPM視角下的數學教學設計:以橢圓為例[J]．數學教育學報，2011(5)：20-23．

[2]殷玉波．欣賞橢圓[J]．中學數學教學參考:高中版，2011(1/2)：8-10.

[3]原曉萍，傅海倫．從視覺思維看數學教學設計——以人教A版選修“橢圓及其標準方程”為例[J]．中學數學教學參考:高中版，2011(8)：24-26．