一堂“材料命題型”復習課的設計及反思

● 阮強 (紹興市高級中學 浙江紹興 312000)

一堂“材料命題型”復習課的設計及反思

●王偉阮偉強(紹興市高級中學 浙江紹興 312000)

1 問題的提出

近日，筆者所任教學校高三數學備課組接受了市教科院下達的一個任務——要求通過對2010年浙江省數學高考理科第15題的研究，提煉出一個復習主題，再設計一堂小專題復習課，然后指定一位青年教師上課，供各校教師學習、交流及研討.

題目設a1,d為實數，首項為a1，公差為d的等差數列{an}的前n項和為Sn，滿足S5S6+15=0，則d的取值范圍是______.

2 確定主題

為確定復習課的主題，要舍得在考題研究上下功夫，只有先“入”考題，再“出”考題，才能“超越”考題，準確、敏銳地捕捉到其中透露出來的信息，從而明確復習的方向與目標.而對考題的研究，可以從以下幾個角度入手.

2.1 解法探究

解法1由S5S6+15=0，得

(5a1+10d)(6a1+15d)+15=0，

即

配方得

解法2由S5S6+15=0，得

(5a1+10d)(6a1+15d)+15=0，

即

因為a1,d為實數，故

Δ=(9d)2-4×2×(10d2+1)≥0，

所以d2≥8.下略.

2.2 考生答題中存在的問題

主要是“想不到”，表現在：一是沒有關于d的不等式，要求d的范圍，想不出往哪個方向思考；二是化簡后得到關于d的等式中含有另一個字母，其范圍也沒有限制，不知道接下來該怎么辦；三是看到問題與平常見過的題型不一致，直接放棄.導致得分率僅為0.06，居全卷22個題目中的倒數第2位.

2.3 命題意圖的解讀

主要考查等差數列前n和的公式、基本量思想方法、判別式法等3個基本知識點，同時考查綜合運用所學知識分析、解決問題的能力.

鑒于上述研究，備課組的教師達成下列共識：無論是依據《考試說明》還是浙江省數學高考對數列考查的實際情況，數列復習的重點無疑是等差與等比這2個數列.因此，大家一致認為小專題復習課的主題是“立足基本量解決數列問題”.而圍繞該主題，又制定了下列教學目標及重點、難點.

知識與技能：會正確運用等差與等比數列的通項、求和公式，建立基本量的相等及不等關系；能熟練運用諸如消元法、判別式法等方法解決有關求基本量的值或范圍問題.

過程與方法：借助常見、典型數列問題的訓練，發現、總結蘊含其中的規律.

情感、態度與價值觀：體驗問題解決中隱含的方程、化歸等思想，樹立踏實、細致的運算態度，養成獨立思考、積極探索的學習習慣.

重點：立足基本量解決數列問題；難點：問題解決中的知識綜合、遷移和方法聯系.

3 授課簡錄

3.1 題組訓練，夯實雙基

師：呈現、刻畫一個等差(或等比)數列特征的量有哪些？

生：a1，d(或q)，n，an，Sn.

師：好！現在不妨把這些量通稱為數列的基本量.接下來，就圍繞這些基本量來解決數列問題.

(出示下列題組，讓學生練習，并請4位學生上臺板演.)

(1)等差數列{an}的前n項和為Sn，若a6=11，S4=16，求an.

(2)等比數列{an}的前n項和為Sn，且4a1,2a2，a3成等差數列，若a1=1，求S4.

(3)等差數列{an}的前n項和為Sn，若a4=10，S5≤15，求公差d的取值范圍.

(4)等差數列{an}的前n項和為Sn，若S4≥10,S5≤15，求a4的取值范圍.

從板演看，學生能順利完成問題(1)～(3)(解答略)，而對于問題(4)，學生能熟練地將條件轉化為：2a1+3d≥5且a1+2d≤3，但求a4=a1+3d的最大值不知如何求解.為此，教師作了下列提示：“解題思路的尋找，就是要學會聯想.通過聯想，將陌生問題轉化為熟悉問題.而要使聯想順利進行，首先需認識問題的結構特征，然后，依據特征做出聯想.”學生略加思考后，想到將問題轉化為線性規劃問題(解答略).

師：通過練習，請大家歸納一下，立足基本量解決數列問題的基本思路是什么？

生：先建立關于基本量a1，d(或q)的等與不等關系，然后將問題轉化為解方程(或組)、不等式、線性規劃問題等.

師：很好！求解時請特別注意兩點：一是相關公式運用要準確、到位；二是要善于聯想、注重知識間的聯系與綜合.

3.2 鏈接高考，凸現主題

師：求范圍問題的實質是什么？

生：尋找關于所求量的不等關系.

師：那么，已知的是關于2個變量a1,d的相等關系，如何尋找到蘊含其中的不等關系？如果把方程看成關于a1的一元二次方程，你能得出什么結論？

生：此方程有實數解，得出Δ≥0.

師：這樣就找到了關于d的不等關系，問題便迎刃而解.類似地，可求變量a1的取值范圍(注：解法1因沒有學生想到就不再介紹).

師：由此可見，加強數列與方程、不等式等的綜合與聯系，是高考考查的主旋律，值得關注.

3.3 回看“一模”，思中尋優

幻燈片呈現下列材料：

(1)求數列{bn}的公比q的值；

(2)若a2=-1，且a1

(2012年浙江省紹興市數學高考一模試題)

配上旁白：對此題的感受，大家可以說是“恨”！“恨”的是雖入手容易，但因運算麻煩，最終都無功而返(平均得分4分，滿分14分).暴露的典型問題是：

由題設，得

即

設公差為d，可化為

解關于a1的一元二次方程得

師：因為“恨”，就迫使我們去反思：能否尋找到較為簡潔、合理的運算方法？經討論，學生提出了下列2種方法.

故

(2)略.

解法2(1)若選擇基本量a2，d,則可將條件化為

或

得

故

此時，學生都感嘆：原來這么簡單！

師：對！簡單的原因是：關注了運算的細節，使得運算更講“道理”.由此可見，在運算中，如果多一點思考，就不再有“恨”.

3.4 典例再析，鞏固提升

為進一步鞏固基本量法，提高學生的運算能力，滲透思想方法，再給出下列例題.

例1設等差數列{an}的前n項和為Sn.

(2)求所有的等差數列{an}，使得對于一切正整數k都有Sk2=(Sk)2成立.

第(1)小題答案是k=4，解答略.現側重討論第(2)小題.學生感覺上手容易，引入基本量a1，d后，由題設立得

但不知道接下來該怎么做.經教師啟發，學生回憶、聯想，想到：把上式整理成關于k的多項式，恒成立等價于各項系數為0.其間，變形過程顯得比較麻煩，在師生共同努力下得到：

從而

解得

故

an=0，1，2n-1.

此時，又有學生提出：可先從特殊情況入手，即取k=1,k=2得

解得

4 反思

基于一個試題的研究來立意、設計一堂小專題復習課，類似于語文學科中的材料命題作文.通過這種形式課型的設計，能極大地提升教師研題、選題與講題的能力和水平，值得廣大教師在高考復習中學習與借鑒.具體在設計時，應重點把握以下3點：

4.1 定位要“準”

小專題必須有一個明確的主題，主題的定位要“準”，而要做到“準”需摸透“兩情”：一是“考情”；二是“學情”.教師必須再次認真研究《考綱》、《考試說明》及樣卷，吃透精神實質，從中去分析、思考主干知識會怎么考，涉及到哪些能力要求，解決問題的方法與策略有哪些，然后提煉出一個主題.同時，要結合學生模擬訓練的反饋結果，分析學生主要存在的問題、不足與漏洞，借此豐富、充實主題的內容.

4.2 選題要“針”

明確了主題，接下來的工作重點就是選題，而選題的基本原則是：針對性要強.教師在選擇某個題目時，一定要自問：“為什么要給學生布置這個題目？”因此，一個值得倡導的做法是：教師對所選題目，可簡要地寫出其目的.而目的的回答可從以下幾個方面出發：是為了加深“雙基”；是為了培養和發展哪方面能力；是為了查漏補缺；是為了培養哪個學習習慣.教師要舍得在選題上花大力氣，越臨近高考，這個工作顯得越重要.雖然不提倡猜題、押題，但有針對性地選擇題目讓學生練習，是十分必要的.一方面，可以進一步強化重點、突破難點、加深印象、鞏固記憶；另一方面，可幫助學生樹立信心，消除對高考的神秘感，步入考場會多一份從容與自信.總之，小專題復習課的選題，一定要遵循的原則是“題目要有典型性和多樣性，要有一定數量的基本題，由單一到綜合，循序漸進，由淺入深”.

4.3 訓練要“實”

圍繞主題，展開解題訓練，是小專題復習課的主要形式.這里，解題訓練一定要落到實處，具體就是：要充分暴露學生的思維過程，關注思維的受阻點、薄弱點，找準突破口；要關注細節，特別是學生運算中表現出來的“眼高手低”，要及時提醒、督促，并加以有效的指導；要注重方法的歸納、總結，讓學生通過做、思、議等，能親口說出來.而要做到這一切，教師應給學生提供板演、說題、反思的時間與機會，杜絕只聽不練或只練不思的低效活動.實踐證明，只要訓練扎實、有效，哪怕學生少做幾個題目，也一定能取得顯著的效果.因此，讓學生做適量的題目就達到目的，并取得好成績，這是考驗教師水平的，是每個一線數學教師應共同追求的.

[1]章建躍．做題目，為什么？[J]．中小學數學：高中版，2011(6)：50.

[2]阮偉強．一堂以高考題為載體的期末復習課[J]．中學數學教學參考，2010(12)：17-19.