數學史視角下的數學教學探析

● (杭州師范大學初等教育學院 浙江杭州 310018)

●王德勝 (鄒城市中心店中學 山東鄒城 273512)

數學史視角下的數學教學探析

●李國強(杭州師范大學初等教育學院 浙江杭州 310018)

●王德勝(鄒城市中心店中學 山東鄒城 273512)

1 數學史在數學教學中的地位

數學教師在數學課堂上講解數學知識，可以有很多方式，如:通過數學新舊知識之間的邏輯聯系引出新知識；利用學生生活中的實例使抽象的數學知識具體化、形象化；利用數學史料激發學習熱情或感悟數學思想方法，以促進學生對數學知識的理解和掌握；還可借助數學游戲，調動學生的好奇心，激發學生學習數學的興趣；也可通過數學實驗增加學生的親身體驗，促進數學知識的掌握；……具體如圖1所示：

圖1

2 數學史視角下的教學內容重組及教學活動開展

數學教科書為追求知識的系統性，注重數學知識邏輯關系的介紹，通常省略數學知識的形成背景和發展過程．教師在教學中若遵從教科書內容，往往導致學生不理解數學知識的來龍去脈及其學習意義．數學家萊布尼茨曾說：“沒有什么比看到發明的源泉更重要了，這比發明本身更重要．”教師運用數學發展的順序來組織數學知識，有利于學生發現“數學概念、結構、觀點是怎樣被‘發明’用來作為一種工具，組織物理社會和思維世界的現象”．學生學習數學概念、結構、觀點時，借助數學史能夠從它們為什么被“發明”中獲得動機．不僅如此，數學史還可以通過最少的邏輯代溝、最自然的方式描述數學．因此，利用數學史料重新組織教科書中的知識是教師組織教學內容的重要方式．

例如，高中數學教科書中一般先介紹指數再介紹對數，導致很多學生認為對數的概念是人們通過指數的關系硬性規定的，對數運算性質也是由指數運算法則推導而來的.對數的產生純屬于數學邏輯體系自身發展的結果，與社會生活無關．為此，在教學中，可以按照數學的歷史產生軌跡先學習對數，再學習指數，這樣，學生不僅能夠了解對數、指數的產生過程，正確認識指數、對數的概念，還有助于體會對數的實際應用和當時的社會價值．

另外，教師可以運用數學史料更好地組織課堂教學．例如，高中教科書中在推導自然數前n項求和公式時運用了逆序相加的方法，這一方法雖然簡捷，但是學生難以想到，而且較抽象．一位教師為了讓學生從“數”、“形”2個角度更全面地掌握自然數前n項求和公式的推導過程，在講解完教科書上的方法后，又運用數學史上借助直觀、形象幾何圖形推導的方法進一步解釋．教學過程如下：

首先，問題情境．

教師引導學生探索下列問題，這些是自然數的前n項和的特例．

1+2=

1+2+3=

1+2+3+4=

1+2+3+4+5=

…

1+2+3+4+5+…+n=

其次，歸納結論．

(1)引入古希臘畢達哥拉斯學派的“三角形數”(如圖2).

圖2

生：第1個圖形表示的數是1；第2個圖形表示的是1+2；第3個圖形表示的是1+2+3；第4個圖形表示的是1+2+3+4．

師：用圖形表示數的方法在公元前6世紀就已經出現．當時，古希臘畢達哥拉斯學派把自然數與小石子堆放的形狀相比擬．圖2中表示的數稱之為“三角形數”，它們正好表示從1開始的多個連續自然數之和．同學們想一想，能否用圖形來計算自然數的和？

(可提示學生將“三角形”補成平行四邊形．)

圖3

(2)運用我國古代傳統的“垛積術”解決.

我國古代數學家楊輝發展了中國傳統的“垛積術”，他把這一問題中各項之間的結構規律用相似結構的“垛”來比擬(如圖4)．將“垛”補成方形(如圖5)，十分直觀、形象地化未知為己知，從而求得問題的解．可讓學生累加長方體木塊，找出規律．

把這一問題進一步推廣到一般的情形，即

圖4

圖5

最后，數學證明．

用數學歸納法進行證明(略)．

法國著名數學家龐加萊主張“科學史應該是我們的指南”．同樣，數學史也應是數學教學的指南．由前面的闡述和教學案例可以看出，依托數學史開展課堂教學可以看作是一種數學教學的設計理念和實施取向，它可以充分利用豐富的史料，讓學生從數學發展的視角學習數學，更全面、更深刻地掌握數學知識，提高數學教學效果．

3 數學史視角下的數學知識分類及其教學策略

在數學發展的歷程中，有些新產生的知識是對原有知識的再精細和再深化.例如，相對于“角度制”，后出現的“弧度制”雖與“角度制”相通，但“弧度制”可極大簡化原來感覺繁瑣的三角計算，這一新知識的出現為很多數學家所接受，這類知識稱之為常規時期的數學知識．但也有些知識，它們的產生對原有知識、原有思維觀念造成劇烈沖擊，甚至是顛覆性的．例如，無理數的出現使得畢達哥拉斯學派的信條“萬物皆數”陷入危機；非歐幾何的出現使得歐氏幾何的許多結論不再成立，等等，這類知識稱之為革命時期的數學知識．教學中，教師應根據知識的特點采取不同的教學方法．

(1)在教學常規時期的數學知識時，引入數學史應重在講授數學的研究方法.如前所述，常規時期的數學知識與原有知識在認知觀念上變化不大．根據皮亞杰的認知發展理論，學生學習這些知識時，可充分利用原有認知結構去同化新知識，而無需重新建立新的認知結構．因此，這類知識的教學難點不是學生能不能理解新知識，而在于如何讓學生獲得建立在這些新概念、新結論上的研究方法．

例如，解析幾何是高中數學的重要內容，也是數學的重要研究分支．從歷史上看，解析幾何的出現雖然極大地推動了數學發展，特別是代數與幾何的融合，但是它與原有的幾何知識、方程知識聯系密切，且是一脈相通，因此它屬于常規時期數學知識的范疇．教學解析幾何時，學生對新概念的理解問題不大，教學重點應放在讓學生體會“數形結合”這一重要思想方法和掌握“任何問題→數學問題→代數問題→方程求解”的解決問題的思維方法．在數學發展中，數學家為探索或研究解析幾何，留下了許多的有價值的經典問題，教師對數學史中的經典問題或題目加以改編并運用于數學教學，對學生領會“數形結合”思想方法的實質、感悟解析幾何在解決實際問題中的優勢及其在數學發展中的價值都是非常有用的．借助史料，學生還可以透過數學知識和真理“冰冷的外表”，了解隱含在其背后的數學史上曾經“火熱的思考”，學到“活”的、“有生機”的數學.這有助于營造出一個渴望認知、不斷探索且極富吸引力的學習情境，并易進入學生的心靈，從而激發學生學習數學的原動力．

(2)在學習革命時期的數學概念時，引入數學史介紹概念的來龍去脈.在數學史上，數學家們理解革命時期的數學知識，尚需改變認識論和方法論，改變其科學觀念．對于學生而言，要了解這些知識更是談何容易．在教學中，教師要想方設法改變學生原有的認知結構或創建新的認知結構，采用順應學習的方式獲得新知識．最可行的方法就是：在講授這些新概念時，引入數學史，講清楚新概念的產生、發展過程.目前的教材對這方面內容的介紹非常欠缺，因此，在講解革命時期的數學概念時，引入相關數學史是十分必要的．

通過介紹虛數的發展過程，學生將會了解到虛數概念的來龍去脈，認識到虛數發展的歷程．特別是這些數學史對于學生理解虛數概念、掌握虛數的運算法將是有益的補充和重要的調和劑．

數學史有助于教師區分不同類型的數學知識．上面針對2類不同的數學知識提出的2種結合數學史的教學方法，是數學課堂教學的有益參考．但要強調一點，2類數學知識不是完全割裂開來的，2種教學方法的區分不是絕對的．在教學中，應做到針對某類數學知識，采用有針對性的教學方法，而不能過于偏廢．概念教學與數學解題應貫穿在整個數學教學之中．

綜上所述，從數學史的視角探析數學教學，不僅是數學史與數學教育研究的重要方面，而且對于優化數學教學方式，促進學生更好地學習數學，進而提高數學教學質量，都有著積極的現實意義．

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[3]朱鳳琴,徐伯華.數學史融入數學教學模式的國際研究與啟示[J].數學教育學報，2010(3)：22-25.

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