“高考中的拉格朗日中值定理”中的一點(diǎn)紕漏

● (廣水市第一中學(xué) 湖北廣水 432700)

“高考中的拉格朗日中值定理”中的一點(diǎn)紕漏

●聶文喜(廣水市第一中學(xué) 湖北廣水 432700)

1 原文摘抄

例1[1]已知函數(shù)

(1)討論函數(shù)f(x)的單調(diào)性；

(2009年遼寧省數(shù)學(xué)高考理科試題)

(1)略；

(2)證法2[1]不妨設(shè)點(diǎn)A(x1,f(x1))，B(x2,f(x2))，原題即證f(x)的任意一條割線(xiàn)的斜率kAB>-1.由幾何圖形可知，只需證f(x)的任意一條切線(xiàn)的斜率kAB>-1，即證f′(x)>-1對(duì)x∈(0,+∞)恒成立，也即證

記

令h(x)=x2-(a-1)x+a-1，則

h′(x)=2x-(a-1).

從而

g(x)>0．

例2[1]已知函數(shù)

f(x)=(a+1)lnx+ax2+1．

(1)討論函數(shù)f(x)的單調(diào)性；

(2)設(shè)a<-1，如果對(duì)任意x1,x2∈(0,+∞)，|f(x1)-f(x2)|≥4|x1-x2|成立，求a的取值范圍．

(2010年遼寧省數(shù)學(xué)高考理科試題)

解[1](1)略；

(2)由拉格朗日中值定理，知必存在x0∈(0,+∞),使得

由|f(x1)-f(x2)|≥4|x1-x2|，得

f(x1)-f(x2)≥4(x1-x2)，

從而

即

f′(x0)≤-4.

故

a∈(-∞,-2]．

2 解法分析

文獻(xiàn)[1]的解題根據(jù)是：對(duì)于一個(gè)連續(xù)可導(dǎo)函數(shù)，任意一條割線(xiàn)都可以找到一條與其斜率相等的切線(xiàn)，這就是高等數(shù)學(xué)中的拉格朗日中值定理：

若函數(shù)f(x)滿(mǎn)足如下條件：

(1)若f(x)在閉區(qū)間[a,b]上連續(xù)；

(2)若f(x)在開(kāi)區(qū)間(a,b)上可導(dǎo),

拉格朗日中值定理沒(méi)有逆定理，即對(duì)曲線(xiàn)的任一切線(xiàn)，并不一定存在割線(xiàn)，使割線(xiàn)斜率等于切線(xiàn)斜率，因此A=B并不一定成立．如f(x)=x2(x∈R)，f′(x)=3x2，f′(0)=0，即f(x)在x=0處的切線(xiàn)斜率為0，但f(x)=x3不存在割線(xiàn)使割線(xiàn)斜率等于0．這就說(shuō)明割線(xiàn)斜率與切線(xiàn)斜率并不一定等價(jià)，從而文獻(xiàn)[1]對(duì)例2的解法存在紕漏．

3 一個(gè)反例

(2012年湖北省孝感市高三數(shù)學(xué)統(tǒng)考理科試題)

解法1利用拉格朗日中值定理

則

故

解法2利用轉(zhuǎn)化思想

f(x2)-ax2>f(x1)-ax1

即2a≤x2-2x=(x-1)2-1在(0,+∞)恒成立，故

對(duì)于例3，解法2的結(jié)果是正確的，解法1的結(jié)果是不正確的，從而進(jìn)一步說(shuō)明：在可導(dǎo)曲線(xiàn)中，{割線(xiàn)斜率}={切線(xiàn)斜率}是一個(gè)錯(cuò)誤的命題．

4 一個(gè)結(jié)論

利用拉格朗日中值定理易得如下結(jié)論：

結(jié)論在可導(dǎo)曲線(xiàn)y=f(x)中，其圖像上任意2個(gè)不同點(diǎn)連線(xiàn)的斜率組成的集合為P，圖像上任一點(diǎn)處的切線(xiàn)斜率組成的集合為Q，則

(1)P?Q，即{割線(xiàn)斜率}?{切線(xiàn)斜率}；

(2)若f(x)是定義域內(nèi)的凸(或凹)函數(shù)，則P=Q，即{割線(xiàn)斜率}={切線(xiàn)斜率}；

(3)f(x)在定義域內(nèi)有在唯一拐點(diǎn)(x0,f(x0))，則f′(x0)?P，且P∪{f′(x0)}=Q．

綜上所述，對(duì)于可導(dǎo)函數(shù)而言，其圖像上任意2個(gè)不同點(diǎn)連線(xiàn)的斜率的取值范圍與f′(x)的取值范圍并不等價(jià)，前者所組成的集合只是后者所組成集合的子集，在解題時(shí)應(yīng)慎用．

[1] 吳旻玲，高考中的拉格朗日中值定理[J]．中學(xué)教研(數(shù)學(xué))，2012(7)：44-46．