“課題學習”類試題的命制策略及對教學的啟示

● (寧波市教育局教研室 浙江寧波 315010)

“課題學習”類試題的命制策略及對教學的啟示

●楊一麗(寧波市教育局教研室 浙江寧波 315010)

《課程標準》把“實踐與綜合應用”列為獨立的學習領域，給學生提供了進行實踐性、探索性和研究性學習的課程渠道.課題學習作為“實踐與綜合應用”的一種呈現形式，目的是讓學生通過一系列的問題(或活動)的探究過程展現數學思維的活動，獲得研究問題的方法和經驗，促進思維能力的提升，同時進一步認識知識間的內在聯系，加深對相關知識的理解.因此“課題學習”類試題有著豐富的知識與思想內涵，但教材中課題學習的素材有限，如何開發和利用“數學課題學習”的課程資源，編制“課題學習”類試題是擺在數學教師面前的新任務.下面筆者以編制寧波市中考數學“課題學習”類試題為例，談談這一類試題命制的策略與技巧.

1 命制策略

1.1 以“信息遷移”為手段編擬試題，著重考查學生的學習能力

這一類試題往往先給出新定義或約定一種新運算或給出幾個新模型來創設全新的問題情境，要求學生運用已學知識和方法理解“新定義”，解決新問題.其挑戰性在很大程度上取決于“新”的程度及所設置的問題與“新定義”的關聯程度.以“信息遷移”為手段編擬的試題，更能體現知識內涵與外延的辯證關系，體現考查的公平性和創新性.此類試題重視學生學習潛能的綜合考查，對引導和促進“課題學習”具有積極的意義.

例1(以下省略了原試卷中的情景圖案)閱讀下面的情景對話，然后回答問題：

教師：我們新定義一種三角形，兩邊平方和等于第三邊平方的2倍的三角形叫做奇異三角形．

生1：等邊三角形一定是奇異三角形！

生2：那直角三角形中是否存在奇異三角形呢？

(1)根據“奇異三角形”的定義，請你判斷小華提出的命題：“等邊三角形一定是奇異三角形”是真命題還是假命題？

(2)在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AB=c，AC=b，BC=a，且b>a.若Rt△ABC是奇異三角形，求a∶b∶c.

①求證：△ACE是奇異三角形；

②當△ACE是直角三角形時，求∠AOC的度數．

(2011年寧波市數學中考試題)

圖1

解(1)真命題.

(2)根據“奇異三角形”的定義及勾股定理，可得

AC2+CE2=2AE2,

即得△ACE是奇異三角形.

②由第①小題知Rt△ACE是奇異三角形,可得

或

從而∠AOC的度數為60°或120°.

編擬思路本題原計劃是想編擬一道勾股定理引申的拓展題，但在編擬過程中發現直角三角形的三邊關系以及面積已被挖掘很多，難有新意，因此決定選擇探索三邊有特殊聯系的其他三角形.于是“奇異三角形”的概念就誕生了.本題首先通過判斷命題的真假以識別學生是否了解“新定義概念”，然后從正三角形到直角三角形、從直角三角形到圓、逐步遷移加深、拓寬知識間的聯系，在理解、應用層次上考查學生在新情景中進行歸納、類比、應用數學知識的能力.

點評本題是以“信息遷移”為手段編擬的試題，創作的靈感源自于“勾股定理”.通過“新定義”及“新問題與新定義之間的轉化距離”這2個維度調控試題挑戰性的程度.試題的精妙之處在于已經跳出勾股定理的局限，把變化的圖形中所蘊藏的不變(三角形邊長之間的數量關系)作為探索的方向.試題呈現方式新穎獨特，內涵豐富深遠.它將等邊三角形、直角三角形、圓等初中數學的核心內容融合在一起，設計的探究內容遵循了“由特殊到一般”的規律.

1.2 以“類比”為主旨編擬試題，著重考查學生的推理能力

類比本質上是用熟悉問題的解決方法去解決新問題的一種策略，它是一種創造性的數學思想方法，又是一種常見的知識拓展策略.類比思想在掌握數學概念、理解數學本質、探索解題方法上有著重要的作用.波利亞曾說過：“類比是個偉大的領路人.”成功編擬此類試題需要準確分析和把握其間的類比關系，這不僅突出了對知識間內在聯系的考查，更注重對學生推理能力的考查.以“類比”為主旨編擬問題，更能實現對知識有序化、系統化的管理和應用，體現考查的合理性和深刻性.

例2(1)如圖2，把等邊三角形的各邊三等分，分別以居中那條線段為一邊向外作等邊三角形，并去掉居中的那條線段，得到一個六角星，則這個六角星的邊數是______．

圖2

(2)如圖3，在5×5的網格中有一個正方形，把正方形的各邊三等分，分別以居中那條線段為一邊向外作正方形，并去掉居中的那條線段．請你把得到的圖形畫在圖4中，并寫出這個圖形的邊數．

(3)現有一個正五邊形，把正五邊形的各邊三等分，分別以居中那條線段為一邊向外作正五邊形，并去掉居中的那條線段，得到的圖形的邊數是多少？

(2009年寧波市數學中考試題)

圖3

圖4

圖5

解3個問題的答案分別為12,20,30；第(2)小題的解答如圖5所示.

編擬思路在編擬過程中，根據命制的雙向細目表，第21題要考查的是課題學習的內容.我們希望考查的目標導向是該題源于教材，又高于教材.因此我們最先把目光聚焦于浙教版教材七年級下冊“雪花曲線”內容，展開類比探索.于是建立了最簡單的基本圖形——三角形，當三角形背景更改為正方形、正五邊形后，從圖形如何擴展,整個擴展后的圖形彼此之間又存在怎樣的聯系入手編擬，命題嘗試著實現從知識立意轉變到能力立意的導向.

點評本題是以“類比”為主旨編擬的試題，要求參照正三角形邊的擴展方法，類比構造出正方形、正五邊形邊的擴展方法,解決該類題且需要準確把握并正確運用其間的類比關系.通過對擴展后圖形的邊數探究，將結構之間的類比演變為問題結論和解決方法的演變，使得考查具有挑戰性.此類試題讓學生學會觀察、學會類比，在觀察中發現新問題，在類比中找到新思路.試題呈現圖文并茂、直觀形象，整體編排巧妙地體現了數學知識與美感的統一，有利于培養學生動手操作、深入推理的能力.

1.3 以“歸納猜想”為主旨編擬試題，著重考查學生的發現能力

“歸納猜想”既是一種重要的數學思想方法，又是常用的一種合情推理方式和思考策略.此類試題突出對學生猜想、發現能力的考查和創新精神的培養.成功編擬“歸納猜想”類試題的關鍵在于對所提供的具有若干“特殊”屬性的對象的關聯程度及對具有“一般”屬性的對象顯現程度的掌控和運用.以“歸納猜想”為主旨編擬試題更能突出對合情推理能力、歸納猜想能力、創新能力的有效考查.

例318世紀瑞士數學家歐拉證明了簡單多面體中頂點數(V)、面數(F)、棱數(E)之間存在的一個有趣的關系式，被稱為歐拉公式.請你觀察圖6中幾種簡單多面體模型，回答下列問題：

圖6

(1)根據上面的多面體模型，完成表格1中的空格：

表1 多面體頂點數、面數、棱數

你發現頂點數(V)、面數(F)、棱數(E)之間存在的關系式是______.

(2)一個多面體的面數比頂點數大8，且有30條棱，則這個多面體的面數是______.

(3)某個玻璃飾品的外形是簡單多面體，它的外表面是由三角形和八邊形這2種多邊形拼接而成，且有24個頂點，每個頂點處都有3條棱.設該多面體外表面三角形的個數為x，八邊形的個數為y，求x+y的值.

(2010年寧波市數學中考試題)

解(1)6，6,V+F-E=2.

(2)20.

24+(x+y)-36=2，

從而

x+y=14.

編擬思路根據編擬計劃，要求該題是一道規律探究題，希望有較深的文化背景，最好教材中又有涉及，讓學生似曾相識卻又需要經歷探索過程得到結果.因此最終定位于浙教版教材八年級上冊課本第57頁第4題所給出的“直棱柱”模型，當思維超越于該模型后，就悟出根據四面體、長方體、正八面體、正十二面體這4個圖形的關聯性歸納猜想出歐拉公式，突出對學生合情推理能力、歸納猜想能力的考查.

點評本題是以“歸納猜想”為主旨編擬的規律探究題，這正是歸納發現的功效.第(3)小題是以能力立意的試題，是對得出的一般性命題的深化應用，解決該問題的關鍵在于能夠根據給出的條件得到簡單多面體的棱數.它的思想已在探索n邊形的對角線條數的教學中滲透過，從而能夠有效地考查學生對知識的遷移、重組能力，充分展現學生的思維方式和思維水平.本題在問題解決的同時也給我們帶來了數學文化的熏陶.

1.4 以“數學問題”為對象編擬試題，著重考查學生的探究能力

以數學問題為對象編擬的試題,其主要特點表現為:關注知識的縱向深化、各部分知識之間的聯系，從數學思想方法的角度有較為普遍的作用,同時又突出對學生探究能力等思維能力的考查.

例4四邊形一條對角線所在直線上的點，如果到這條對角線的2個端點的距離不相等，但到另一對角線的2個端點的距離相等，則稱這點為這個四邊形的準等距點．如圖7，點P為四邊形ABCD對角線AC所在直線上的一點，PD=PB，PA≠PC，則點P為四邊形ABCD的準等距點．

(1)如圖8，畫出菱形ABCD的一個準等距點．

(2)如圖9，作出四邊形ABCD的一個準等距點(尺規作圖，保留作圖痕跡，不要求寫作法)．

(3)如圖10，在四邊形ABCD中，P是AC上的點，PA≠PC，延長BP交CD于點E，延長DP交BC于點F，且∠CDF=∠CBE，CE=CF．求證：點P是四邊形ABCD的準等距點．

(4)試研究四邊形的準等距點個數的情況(說出相應四邊形的特征及準等距點的個數，不必證明)．

圖7

圖8

圖9

圖10

解(1)(2)略.

(3)聯結DB，通過證明△DCF≌△BCE,可得PD=PB，即得點P是四邊形ABCD的準等距點．

(4)①當四邊形的對角線互相垂直且任何一條對角線不平分另一對角線或者對角線互相平分且不垂直時，準等距點的個數為0；

②當四邊形的對角線不互相垂直，又不互相平分，且有一條對角線的中垂線經過另一對角線的中點時，準等距點的個數為1；

③當四邊形的對角線既不互相垂直又不互相平分，且任何一條對角線的中垂線都不經過另一條對角線的中點時，準等距點的個數為2；

④四邊形的對角線互相垂直且至少有1條對角線平分另一對角線時，準等距點有無數個．

編擬思路此題是整卷的壓軸題，以課題學習的形式出現，一方面是針對師生對課題學習的模糊認識，以引導師生認識課題學習的本質是通過一系列的問題(或活動)的探究過程展現數學思維的活動.我們希望該題先以簡約的模型出現，再逐步深入，以體現知識間的縱向聯系和重要的數學思想方法.本題圍繞著四邊形的對角線垂直、平分這2個維度進行思考，幾個問題相互關聯而又逐步深入，達到考查學生能力、體現數學核心思想的目的.

點評本題首先給出新定義“四邊形的準等距點”，之后從簡單特殊的菱形入手，再到一般情形下的規律研究，體現從特殊到一般的規律.本題較好地考查了學生的探究問題、歸納概括及語言表達的能力，突出對分類討論、數學結合、歸納猜想、轉化與化歸等重要數學思想的考查.題中所蘊含的豐富的思想內涵對教學有著較大的啟發和思考.

2 教學啟示

2.1 加強讀題訓練，提高學生的閱讀理解能力

數學語言是數學知識的載體，通過對近幾年中考閱卷情況的分析發現：讀不懂數學試題，成了學生解題思維障礙的第一道關卡.由于課題學習類試題都是通過數學語言類似于小專題的形式向學生傳遞信息的，因此閱讀能力的培養凸顯重要.數學閱讀不同于一般文字材料的閱讀，因為涉及數學符號語言，所以是一種十分精確的閱讀.同時數學閱讀更顯過程，途中需要數學思維能力的支撐，在閱讀中思考，在思考中閱讀.而深入的閱讀更需要知識的再現與聯想.

在日常教學中，可以精選近幾年中考中出現的課題學習類試題，引領學生從文字、符號、圖形著眼進行讀題訓練，從數學內涵層面展開知識間的類比與聯想，以促進學生閱讀理解能力的提升.

2.2 教學中多經歷活動過程，提高學生合情推理的能力

課題學習類試題往往需要學生對圖形進行觀察、動手操作和直觀發現，在日常的教學過程中應讓學生充分經歷這些過程，使直觀操作和邏輯推理有機地整合在一起，使推理成為學生觀察、實驗、探究得出結論的自然延續.只有提高學生的合情推理能力，學會研究問題的方式方法，才能使學生在面對陌生的題目背景時也能自主探究，利用已有的知識和信息獨立解決問題，體驗探究性學習過程的樂趣.

2.3 教學中多關注數學思想，為學生掌握解決問題的方法提供依據

“課題學習”類試題常包含較多的核心知識和核心思想，數學思想是解決數學問題的根本思想和手段，要從根本上解決問題，需要領悟數學思想的內涵.而數學思想常蘊含于各個數學分支中的公理、定理、公式、法則和解決問題中，因此學生不能明確感受到數學思想的價值，從而無法真正認識到數學內容的精華.因此教師應有意識地挖掘教材，通過教學使數學思想從隱含滲透狀態轉化為外顯狀態，幫助學生真正理解數學本質，重視數學思想方法的學習，更好地形成數學知識結構體系，為學生較好地解決課題學習類試題提供有力的保障.

[1] 張遠增.2010年全國中考數學考試評價報告[M].上海：華東師范大學出版社，2011.

[2] 數學課程標準研制組.全日制義務教育數學課程標準解讀[M].北京：北京師范大學出版社，2002.

[3] 孔凡哲,潘冠.論數學試題的質量標準[J].中學數學教學參考,2008(3)：13-15.