數(shù)學(xué)教學(xué)中要明白3個(gè)為什么

● (臺(tái)州市第一中學(xué) 浙江臺(tái)州 318000) ● (臺(tái)州市教研室 浙江臺(tái)州 318000)

數(shù)學(xué)教學(xué)中要明白3個(gè)為什么

●李建明(臺(tái)州市第一中學(xué) 浙江臺(tái)州 318000) ●蔣榮清(臺(tái)州市教研室 浙江臺(tái)州 318000)

近幾年中學(xué)數(shù)學(xué)課堂教學(xué)的有效性問(wèn)題備受關(guān)注.中學(xué)數(shù)學(xué)課堂到底該實(shí)現(xiàn)什么目標(biāo)，學(xué)生在中學(xué)數(shù)學(xué)課堂中哪些方面該得到有效培養(yǎng)，這些在課程標(biāo)準(zhǔn)中都有了明確的要求：一是數(shù)學(xué)知識(shí)與技能的學(xué)習(xí)；二是在知識(shí)的學(xué)習(xí)過(guò)程中把握方法、提升能力、發(fā)展意識(shí)；三是建立對(duì)數(shù)學(xué)的全面的良好的情感態(tài)度價(jià)值觀.觀察目前國(guó)內(nèi)中學(xué)數(shù)學(xué)課堂，在“雙基”鞏固落實(shí)上一直都做得很好，但在思維能力培養(yǎng)上卻不盡如人意，有效性的缺失主要表現(xiàn)于此.那么如何更好地彌補(bǔ)這種缺失，進(jìn)一步提高數(shù)學(xué)課堂教學(xué)的有效性？本文認(rèn)為關(guān)鍵在于教師在課堂教學(xué)中要重視培養(yǎng)學(xué)生自主地思考并發(fā)問(wèn)：我想知道為什么？

1 為什么要學(xué)習(xí)這部分?jǐn)?shù)學(xué)知識(shí)

劉紹學(xué)先生在《普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)教科書》的主編寄語(yǔ)中就特別談了“為什么要學(xué)數(shù)學(xué)”的問(wèn)題，他告訴學(xué)生們學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的必要性與重要性.事實(shí)上，無(wú)論是一個(gè)模塊知識(shí)的教學(xué)還是一節(jié)數(shù)學(xué)課的教學(xué)，都有它存在與出現(xiàn)的必要性與合理性,作為主導(dǎo)者的教師有必要把這個(gè)問(wèn)題在教學(xué)開篇之時(shí)就向?qū)W生交代清楚.學(xué)生了解了學(xué)習(xí)這部分知識(shí)的必要性與合理性就能提高學(xué)習(xí)與鉆研的自主性，否則，其積極性與主動(dòng)性就會(huì)大打折扣.

案例1直線的傾斜角與斜率

為什么要定義傾斜角？這是在引入傾斜角這個(gè)概念前必須讓學(xué)生了解的一個(gè)問(wèn)題，也就是讓學(xué)生了解定義這一概念的目的與意義.為了刻畫直線在坐標(biāo)平面中的位置，為了區(qū)別經(jīng)過(guò)同一點(diǎn)的不同直線的位置關(guān)系，你會(huì)用什么辦法？能定義這樣的一種量嗎？這樣的問(wèn)題引導(dǎo)能讓學(xué)生明確定義的必要性以及如何定義這個(gè)概念.要用角來(lái)區(qū)別直線位置就需要一個(gè)基準(zhǔn)、一個(gè)參照物，在坐標(biāo)系內(nèi)你會(huì)找哪個(gè)作為參照物？那就是x軸及它的正方向.角是由同一點(diǎn)出發(fā)的2條射線組成的圖形，結(jié)合圖形，你會(huì)用哪個(gè)角來(lái)刻畫直線的方向？為什么不選與x軸的夾角？這樣直線的傾斜角怎么定義就明確了.由于我們的目的是刻畫直線的方向,自然直線的傾斜角的范圍就應(yīng)該是0°≤α<180°.為什么不取180°?那是因?yàn)樗c0°所刻畫的是同一種位置狀態(tài).為什么不是0°<α≤180°？那是因?yàn)槟苡幂^小的就不用較大的.這樣的引導(dǎo)很自然地讓學(xué)生了解了為什么要學(xué)習(xí)這一概念,以及如何定義這一概念是合理的.

至此，對(duì)直線傾斜程度的幾何、代數(shù)這2個(gè)方面的刻畫都已經(jīng)完成，但是對(duì)它們之間的關(guān)系還需要加強(qiáng)理解和認(rèn)識(shí).教師可以設(shè)計(jì)如下問(wèn)題讓學(xué)生探究：當(dāng)直線的傾斜角在銳角范圍內(nèi)變化時(shí)，直線斜率的變化范圍如何？當(dāng)直線的傾斜角在鈍角范圍內(nèi)變化時(shí)，直線斜率又如何變化？當(dāng)直線的傾斜角是0°或90°時(shí)，直線的斜率是多少？如果2條直線(不重合)都有斜率，那么這2條直線平行時(shí)，傾斜角與斜率有什么關(guān)系，反之又如何？

如果教師能在教學(xué)過(guò)程中不斷地引導(dǎo)學(xué)生去思考這些問(wèn)題，那么學(xué)習(xí)這些數(shù)學(xué)知識(shí)的前因后果就顯得既合理又簡(jiǎn)單，對(duì)學(xué)生來(lái)說(shuō)也容易接受并樂(lè)意接受，不但能感受到學(xué)習(xí)這些數(shù)學(xué)知識(shí)的必要性，也能感受到“數(shù)學(xué)是自然的、清楚的”，同時(shí)也很好地培養(yǎng)了學(xué)生的邏輯思維能力.作為教師，應(yīng)該把培養(yǎng)學(xué)生思考并提問(wèn)作為教學(xué)的一個(gè)環(huán)節(jié)來(lái)預(yù)設(shè)，應(yīng)該在教學(xué)預(yù)設(shè)中得到體現(xiàn).

2 為什么會(huì)產(chǎn)生這類數(shù)學(xué)思想方法

教師明白掌握數(shù)學(xué)思想方法對(duì)學(xué)生的重要性，也知道數(shù)學(xué)思想方法的學(xué)習(xí)不是一蹴而就的，需要在平時(shí)的課堂教學(xué)中不斷進(jìn)行滲透.同時(shí),很多教師感慨：數(shù)學(xué)思想方法的教學(xué)有效性缺失嚴(yán)重，學(xué)生對(duì)知識(shí)的掌握效率遠(yuǎn)高于對(duì)數(shù)學(xué)思想方法的掌握效率.這種教學(xué)有效性的缺失是不是與教學(xué)有關(guān)呢？數(shù)學(xué)思想方法教學(xué)的有效性如何才能更好地達(dá)成呢？事實(shí)上，大量課堂對(duì)思想方法的教學(xué)都只強(qiáng)調(diào)了功能性與重要性，很少說(shuō)明“為什么會(huì)產(chǎn)生這種思想方法”.由于這一根源性問(wèn)題，學(xué)生往往跟著教師體驗(yàn)這種思想方法的神奇，很少領(lǐng)悟?yàn)槭裁磿?huì)產(chǎn)生這種思想方法，造成了學(xué)生在遇到問(wèn)題時(shí)想不到運(yùn)用該思想方法.

案例2在“平面向量”的復(fù)習(xí)課上，教師列舉了一道2005年浙江省數(shù)學(xué)高考試題：

例1已知向量a≠e，|e|=1，對(duì)任意t∈R，恒有|a-te|≥|a-e|，則

( )

A.a⊥eB.a⊥(a-e)

C.e⊥(a-e) D.(a+e)⊥(a-e)

學(xué)生1的思路如下：

由|a-te|≥|a-e|，得

|a-te|2≥|a-e|2,

展開并整理，得

t2-2a·et+2a·e-1≥0.

由t∈R,得

Δ=(-2a·e)2+4-8a·e≤0,

解得a·e=1.故選C.

教師：針對(duì)向量模的關(guān)系問(wèn)題，學(xué)生1運(yùn)用平方運(yùn)算，把模的運(yùn)算轉(zhuǎn)變?yōu)橄蛄窟\(yùn)算，并利用方程的判別式得到了正確答案，思路不錯(cuò)，這是我們處理向量模問(wèn)題常用的方法.大家還有沒有其他的處理方法？

圖1

(學(xué)生沉默.)

教師：其實(shí)這個(gè)問(wèn)題還有更好的處理方法，那就是數(shù)形結(jié)合.

(教師在黑板上畫了圖1.)

教師：從圖1中可以看出，當(dāng)t的大小變化時(shí)，|a-te|也就是向量a-t·e的長(zhǎng)度隨之改變.而|a-e|也就是a-e的長(zhǎng)度是個(gè)定值，已知|a-te|≥|a-e|對(duì)任意t恒成立，因此|a-e|是所有|a-te|中最小的，那么在什么狀態(tài)下是最小的呢？顯然是垂直狀態(tài).

(學(xué)生一片驚嘆！)

這是中學(xué)數(shù)學(xué)課堂中很典型的一個(gè)片段.該教學(xué)過(guò)程除了讓學(xué)生對(duì)教師的聰明表示贊賞、對(duì)數(shù)形結(jié)合這一方法的功效表示驚嘆之外，對(duì)數(shù)形結(jié)合這一數(shù)學(xué)思想掌握的有效性是不高的，學(xué)生們不知道教師是怎么想到，更不知道什么時(shí)候用這一思想.

所謂數(shù)學(xué)思想是對(duì)這一數(shù)學(xué)知識(shí)本質(zhì)的認(rèn)識(shí)，是從某些具體數(shù)學(xué)內(nèi)容的認(rèn)識(shí)過(guò)程中提煉上升的數(shù)學(xué)觀點(diǎn)，是建立數(shù)學(xué)和用數(shù)學(xué)解決問(wèn)題的指導(dǎo)思想.高中數(shù)學(xué)中的函數(shù)、向量?jī)?nèi)容是數(shù)形結(jié)合思想運(yùn)用的典范.這是為什么呢？這是由這些內(nèi)容自身的本質(zhì)特點(diǎn)所決定的：函數(shù)與向量都有3種表現(xiàn)形式(函數(shù)的表現(xiàn)形式：解析式、圖像、表格；向量的表現(xiàn)形式：字母、圖形、坐標(biāo))，既有代數(shù)形式又有幾何形態(tài).函數(shù)與向量問(wèn)題的基本形態(tài)是符號(hào)化的代數(shù)形式，將這類代數(shù)形態(tài)的數(shù)量關(guān)系用圖形語(yǔ)言表現(xiàn)出來(lái)，就能更直觀形象地感知題目所呈現(xiàn)的問(wèn)題關(guān)系.這就是為什么在函數(shù)、向量問(wèn)題中以形助數(shù)思想能發(fā)揮關(guān)鍵作用的原因.

3 為什么用這種方法可以解決這個(gè)問(wèn)題

數(shù)學(xué)教學(xué)離不開解題教學(xué)，但解題不是教學(xué)的根本目的，讓學(xué)生通過(guò)解題教學(xué)把握方法、提升思維和分析能力，并在這個(gè)過(guò)程中培養(yǎng)求知欲、意志力以及理性精神才是解題教學(xué)的根本.在解題教學(xué)中，很多教師會(huì)不遺余力地把自己預(yù)設(shè)好的解法教給學(xué)生，講得頭頭是道，學(xué)生聽得津津有味，解題教學(xué)儼然成了解題方法的傳授,但是最后在新的問(wèn)題面前，學(xué)生還是無(wú)從下手.因?yàn)閷W(xué)生從來(lái)沒有思考過(guò)“為什么用這種方法可以解決這類問(wèn)題”，不能從思維的根源上掌握這一方法，再次遇到時(shí)只能憑記憶與經(jīng)驗(yàn)來(lái)解決，數(shù)學(xué)思維能力培養(yǎng)的長(zhǎng)期有效性得不到保證.

(1)求∠A的度數(shù)；

即

因此

方法2因?yàn)閍2=b2+c2-bc≥bc，所以

而

故

教師在講解此題時(shí)提供了2種思路，一題多解，殊途同歸.從學(xué)生的反應(yīng)來(lái)看應(yīng)該都聽懂了，但這樣的課堂教學(xué)給人的感覺就只是“授生以魚”，其實(shí)這里有很多個(gè)“為什么”值得學(xué)生去思考：方法1為什么能想到利用正弦定理化邊為角，為什么化邊為角后就能解決問(wèn)題，為什么要把∠C用∠B替換？方法2為什么使用余弦定理，為什么把所求式進(jìn)行平方，使用余弦定理后又為什么要運(yùn)用基本不等式進(jìn)行放縮？在解決過(guò)程中，所有這些問(wèn)題都必須讓學(xué)生領(lǐng)悟清楚，只有潛移默化地讓學(xué)生思考并感知這些“為什么”，才有可能在下一個(gè)問(wèn)題面前快速尋找到思維的突破口.

數(shù)學(xué)是充滿智慧、使人聰明的學(xué)科.數(shù)學(xué)教學(xué)在發(fā)展學(xué)生思維尤其是理性思維方面具有獨(dú)特的優(yōu)勢(shì)和不可推卸的責(zé)任.中學(xué)階段是學(xué)生理性思維發(fā)展和形成的關(guān)鍵期，學(xué)生在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的過(guò)程中學(xué)會(huì)把握方法、提升思維能力、發(fā)展數(shù)學(xué)意識(shí)，從而建立起對(duì)數(shù)學(xué)全面、良好的情感態(tài)度價(jià)值觀是課程標(biāo)準(zhǔn)對(duì)數(shù)學(xué)課堂教學(xué)提出的目標(biāo).如果學(xué)生在每天的數(shù)學(xué)課堂教學(xué)中都能把上述3個(gè)“為什么”作為思考與發(fā)問(wèn)的對(duì)象，那么他們就能自覺地、有意識(shí)地、充分地體驗(yàn)數(shù)學(xué)作為理性思維載體的一面，學(xué)生的數(shù)學(xué)思維就能得到較好的培養(yǎng)與提高，數(shù)學(xué)教學(xué)就能為學(xué)生的可持續(xù)發(fā)展奠下良好的基礎(chǔ).

[1] 嚴(yán)士健，張奠宙，王尚志.數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(實(shí)驗(yàn))解讀[M].南京：江蘇教育出版社,2004.

[2] 錢佩玲.中學(xué)數(shù)學(xué)思想方法[M].北京：北京師范大學(xué)出版社，2001.

[3] 李昌官.讓數(shù)學(xué)教學(xué)閃耀理性的光芒[J].數(shù)學(xué)通報(bào)，2006,45(7)：4-7.

[4] 陶維林.利用教學(xué)內(nèi)容的邏輯體系培養(yǎng)學(xué)生的邏輯思維能力[J].數(shù)學(xué)通報(bào)，2007,46(2)：26-28.