抓住變式源頭 積累轉(zhuǎn)化經(jīng)驗(yàn) 優(yōu)化復(fù)習(xí)設(shè)計(jì)

● (蕭山中學(xué) 浙江蕭山 311201)

抓住變式源頭積累轉(zhuǎn)化經(jīng)驗(yàn)優(yōu)化復(fù)習(xí)設(shè)計(jì)

●瞿少華(蕭山中學(xué) 浙江蕭山 311201)

師生在高三復(fù)習(xí)中常常會遇到兩大困惑.困惑之一：對教師而言，有那么多的題型、方法、思想要教，要讓學(xué)生真正掌握，到時用得上，用得正確，深感頭緒多，復(fù)習(xí)時間不夠用.困惑之二：對學(xué)生而言，做了那么多的題目，把常規(guī)題型、常規(guī)方法都熟記在心，但一碰到需要觀察、分析、轉(zhuǎn)化的問題，還是一籌莫展，與掌握的知識方法掛不上鉤.當(dāng)然，造成上述困惑的原因是多方面的，筆者與同事從改進(jìn)復(fù)習(xí)課的教學(xué)設(shè)計(jì)入手，通過幫助學(xué)生“抓住變式源頭”和“積累轉(zhuǎn)化經(jīng)驗(yàn)”兩大抓手，對突破高三復(fù)習(xí)課困惑進(jìn)行了有益的探索、實(shí)踐和思考，有一些收獲和感悟，以求教于同行.

1 從有利于學(xué)生抓住變式源頭的角度進(jìn)行課堂教學(xué)設(shè)計(jì)

數(shù)學(xué)中的基本原理、基本方法、基本思想一定是簡單的，但簡單中往往蘊(yùn)含深刻、強(qiáng)大，在不同的情景下，其表現(xiàn)形式是變化多端的.考查不同情景下學(xué)生的運(yùn)用能力，正是高考的考點(diǎn)之一.老一輩數(shù)學(xué)家曾說過，讀數(shù)學(xué)要“從薄到厚，再從厚到薄”.前半句話師生有較多辦法，后半句“從厚到薄”則常常缺少辦法.筆者認(rèn)為，學(xué)會抓住變式源頭，不失為一種有用的辦法，或者說抓手.所謂變式源頭，主要是指許多題型、技巧、方法從聯(lián)系的觀點(diǎn)看，常常可以追溯到某些源頭——基本數(shù)學(xué)模型或者基本思想方法.只不過我們限于自身的水平，常常沒有看到，如果教師能讓學(xué)生從源頭上真正理解和掌握現(xiàn)象的客觀規(guī)律，掌握解決問題的思想方法，則改頭換面出現(xiàn)的題型、技巧通常可以解決，即使學(xué)生形成知識、方法、思想的有用認(rèn)知網(wǎng)絡(luò)，所謂做一題及一類，事半功倍.

案例1解斜三角形中，邊、角諸元素的范圍探究

設(shè)計(jì)意圖給出已知一角和一對邊的典型情景，作為變式源頭，讓學(xué)生通過幾何直觀、函數(shù)思想、不等式和向量問題，綜合探究三角形邊角諸元素的范圍，剖析典型問題的特征，體會典型思想方法的應(yīng)用.

圖1

(2)讓學(xué)生體會用函數(shù)思想進(jìn)行研究.函數(shù)是揭示變量之間關(guān)系最常用的工具，邊與角、角與角相應(yīng)變化關(guān)系，使我們?nèi)菀椎玫剿笤厥怯眠吇蚪潜硎镜囊辉瘮?shù).由正余弦定理得

從而

得

從而

(3)對于處理范圍問題，不等式也是一個有力的工具，特別是均值不等式，要熟練運(yùn)用.由余弦定理得

b2+c2-bc=3,(b+c)2=3+3bc2，

由均值不等式可得

又因?yàn)?/p>

所以

同理可得

從而

于是

因此

又因?yàn)?/p>

而

得

同理可得

于是

即

學(xué)生在這樣的典型問題、典型思想方法中若能真正理解和掌握，則許多解三角形問題都能看成源頭的一個變形，是數(shù)學(xué)思想方法的一個很自然的運(yùn)用，使學(xué)生能馬上抓住解決問題的關(guān)鍵.

2 從有利于學(xué)生獲取轉(zhuǎn)化經(jīng)驗(yàn)的角度進(jìn)行教學(xué)設(shè)計(jì)

理解和掌握基礎(chǔ)知識、基本方法、基本思想，能從變式問題的源頭真正搞懂，對學(xué)好數(shù)學(xué)無疑是十分重要的，但僅停留在這一步，還是遠(yuǎn)遠(yuǎn)不夠的.把新問題、新面孔轉(zhuǎn)化為基本知識、基本思想方法和變式的源頭，學(xué)生常常缺少經(jīng)驗(yàn)，這是我們高三復(fù)習(xí)中急需解決的另一困惑.認(rèn)知心理學(xué)認(rèn)為：“新手”與“老手”在解決問題上的主要差異，不在于知識的多少，而在于經(jīng)驗(yàn)的差異，而經(jīng)驗(yàn)需要在平時學(xué)習(xí)中有意識地積累.因此在課堂教學(xué)設(shè)計(jì)中，要特別注重幫助學(xué)生獲取非常規(guī)題轉(zhuǎn)化為常規(guī)題的經(jīng)驗(yàn)，或者說，變式問題轉(zhuǎn)化為變式源頭的經(jīng)驗(yàn).

案例2解析幾何和不等式問題中一些轉(zhuǎn)化思想和經(jīng)驗(yàn)的歸納獲取

設(shè)計(jì)背景解析幾何是用代數(shù)方法研究幾何問題，體現(xiàn)了方程、函數(shù)、圖形之間很強(qiáng)的綜合性和轉(zhuǎn)化關(guān)系.不等式更是上述知識方法的一個集合.這類教學(xué)內(nèi)容是讓學(xué)生獲取轉(zhuǎn)化經(jīng)驗(yàn)的較好素材.

設(shè)計(jì)意圖通過以下例2～例5的教學(xué)設(shè)計(jì)，使學(xué)生獲取“把未知函數(shù)轉(zhuǎn)化為已知函數(shù)”、“把數(shù)、式問題轉(zhuǎn)化為已知圖形問題”、“把結(jié)論未知問題轉(zhuǎn)化為結(jié)論已知問題”、“把非規(guī)范問題轉(zhuǎn)化為規(guī)范問題”等轉(zhuǎn)化經(jīng)驗(yàn).

例2若a,b,c成等差數(shù)列，則原點(diǎn)O到直線ax+by+c距離的最大值為______.

(1)通過消元法(倒數(shù))，把未知函數(shù)值域轉(zhuǎn)化為已知函數(shù)值域，是學(xué)生從中獲取的經(jīng)驗(yàn)之一.

設(shè)距離為d，則

因此

(2)通過方程幾何意義，把數(shù)、式問題轉(zhuǎn)化為已知圖形問題，是獲取的經(jīng)驗(yàn)之二.

或由2ax+2by+2c=0得

a(2x+y)+c(y+2)=0，

從而得直線恒過點(diǎn)(1,-2).

(3)用合情推理——特殊到一般轉(zhuǎn)化，把結(jié)論未知問題轉(zhuǎn)化為結(jié)論已知問題，也是獲取的基本經(jīng)驗(yàn).

舉出特例得出直線恒過點(diǎn)(1,-2)，易得一般結(jié)論.

類似的思想方法和經(jīng)驗(yàn)，在2012年江蘇省數(shù)學(xué)高考第14題難點(diǎn)突破中很有用.

e≤y≤7.

5-3x≤y≤4-x，y≥ex，

創(chuàng)設(shè)條件把非規(guī)范問題轉(zhuǎn)化為規(guī)范問題也是轉(zhuǎn)化的基本經(jīng)驗(yàn)之一.

三維柯西不等式的一個變式通常是許多分式輪換不等式的一個源頭.

由

得

它特別和諧“規(guī)范”，而一般分式不等式常不夠規(guī)范.如何創(chuàng)設(shè)條件讓它規(guī)范是學(xué)生應(yīng)獲取的經(jīng)驗(yàn).

例4設(shè)x，y，z是正實(shí)數(shù)，且x+y+z=1.

(2012年杭州市數(shù)學(xué)高考一模試題)

證明(1)可以直接應(yīng)用柯西不等式的規(guī)范變式

(2)讓分子“規(guī)范”：x4=(x2)2易轉(zhuǎn)化為規(guī)范變式

當(dāng)x=y=z時等號成立.

例5如果x，y，z為正數(shù)，求證：

3(xy+yz+zx)]；

(2012年杭州市數(shù)學(xué)高考二模試題)

證明(1)左邊展開、比較即可(略).

(2)讓分子“規(guī)范”：分子分母分別乘以x,y,z,得

當(dāng)x=y=z時等號成立.