含交易費用的組合投資模型的動態規劃解法＊

李 萌

（中國海洋大學，山東 青島 266100）

1 引言

證券投資是近年來我國投資市場的熱點。作為一種風險投資，其收益必將伴隨著相應的風險。通常，高的收益都是與高的風險相伴隨。一個理性的投資者希望能獲得盡可能多的收益，同時風險盡可能低。顯然，這兩個目標是相互矛盾的。因此，為了減少風險獲取較為穩定的收益，投資者一般選擇將資金分散到不同資產進行組合投資。而如何分配資金到不同的投資項目中，使得在風險一定的情況下收益盡可能的高或者是收益一定的情況下風險盡可能的低成為投資者關注的焦點。20世紀50年代后，馬科維茨（Markowitz）等人提出的投資組合理論，正好可以從數學角度進行解答。

一般金融資產具有如下特征：流動性、風險性、收益性、無限可分性。而上述特征決定了資產組合收益的特殊性：即在一個有效的市場中，某證券下一期的預期價格等于當期價格加上下一期預期報酬。這說明投資組合的各階段的狀態滿足無后效性，即投資過程的過去歷史只能通過當前的狀態影響它的未來，因而滿足構造動態規劃模型的條件。[1]

利用動態規劃研究投資組合問題的方法已有一些研究[2-4]。在文獻[2]中，作者對均值-方差模型建立一種動態規劃模型和遞推算法。文獻[3]建立了總風險控制下的以最終的總收益最大化為決策目標的資產投資組合模型，并利用動態規劃的方法求得模型的整體最優解。文獻[4]利用動態規劃方法解決帶交易費用的均差模型，給出了有交易費用均差模型的解析解。本文在考慮交易費用的前提下，用動態規劃的方法求解組合投資模型。

2 模型的建立

設投資者現有資金M，可在一個時期內投資于市場上的n種資產A1，A2，…，An或存款銀行A0。假定Ai之間相互獨立。通過對歷史數據的統計，得到各資產Ai有收益和損失兩種情況，收益時平均收益率為ri，損失時平均虧損率qi，且損失的概率為si。假定在該投資時期內Ai收益損失情況保持不變。銀行存款A0的利率為r0且無風險（q0＝0）。考慮到我國證券市場的交易費用的收取按“手”為單位，在本模型中規定購買資產Ai的交易費是分段函數：不購買不收費，每單位證券的收費率為pi，但當購買量不足ui時，交易費按購買ui計算。因此，購買Ai的收益須減去交易費之后得到凈收益。由于一只資產購買過多可能會帶來不可估量的損失且與組合投資的理念不符，影響判斷，故當購買量超過di時，資產Ai無法繼續購買。在本文中，我們以投資各個Ai的風險損失和來度量總體風險。設xi表示購買資產Ai的資金（1≤i≤n），x0為銀行存款。則交易費可表為：

投資組合x＝（x0，x1，…，xn）收益時的每種投資收益為xiri-ci（xi），而損失時的每種投資損失為xiqi＋ci（xi），則數學期望收益為

從而得到如下的投資組合模型（I）

由于ci（xi）是分段線性函數（在x＝0處不連續），模型為非線性規劃問題，下面利用動態規劃來求解。

3 模型的動態規劃解法

在模型（I）中，對n＋1種資產的資金分配看成n＋1階段決策過程，其中xi作為第i階段決策變量，從第0階段到第i階段所分配的資金記為li，作為第i階段的狀態變量。那么，n＋1階段所分配的總資金為ln＋1＝M，且狀態轉移規則為li-1＝li-xi-ci（xi）。

當狀態變量li給定時，決策變量xi取值范圍成為第i階段的決策集，記為Di（xi）。根據上面的模型，有：

在每階段決策時都要求xi∈Di（li），故而其成為一個動態規劃。

根據前面分析，用順推法求解。設函數fk（l）為直到第k階段，投資額不超過li的最大收益，有：

根據動態規劃最優原理，得到最優值函數序列滿足如下遞推：

決策集Dk（l）表示為：

由動態規劃的理論可求的模型（I）的解。

4 討論

（1）Ai的收益損失是根據歷史經驗所得，因此要求市場有很強的有效性，對于我國目前還不盡完善的金融市場現狀，解釋起來有點乏力。

（2）該文主要是從數學推導，沒有考慮實際投資中各種其他因素的影響，會使得該模型在實際應用中的效果打折扣。

（3）實際操作中，為了規避風險，投資者會進行多期連續且有關聯的投資，因此該模型仍然有待于進一步的完善。

[1]張夢喬.基于動態規劃的投資組合優化研究[J].時代金融，2011，（11）：155-156.

[2]林浩.投資組合問題的動態規劃方法[J].運籌與管理，2000，9（3）：102-106.

[3]陳國華，廖小蓮，吳娜.投資組合模型的動態規劃解法[J].統計與決策，2012，（5）：85-87.

[4]花秋玲，蘇孟龍，呂顯瑞，等.帶交易費用投資組合問題的動態規劃方法[J].吉林大學學報：理學版，2009，47（5）：893-898.