一類準嚴格對角占優矩陣的可逆性＊

陳秀梅

（濰坊學院，山東 濰坊 261061）

1 引言

設A＝（aij）為n階矩陣，矩陣A稱為對角占優矩陣

嚴格對角占優矩陣是在數值計算、控制論中經常用到的一類矩陣，我們已經熟知它一定是可逆矩陣，本文主要討論一種比嚴格對角占優矩陣要稍弱一些的矩陣的可逆性。

2 主要結果

定理 如果n階矩陣A＝（aij）滿足：對任意1≤i，j≤n的，且i≠j，都有｜aiiajj｜＞RiRj，則矩陣A 是可逆矩陣。

證明 由條件知，對1≤i≤n，都有aij≠0。

（1）如果對1≤i≤n，都有｜aij｜＞Ri，即A嚴格對角占優，則矩陣A可逆。

（2）如果存在某個k∈｛1，…，n｝，使得｜akk｜≤Rk，則由條件知，這樣的k只有一個，從而對1≤i≤n，且i≠k，都有｜aii｜＞Ri。

取P＝diag｛p1，…，pn｝，其中，對所有的i≠k，pi＝1，而pk為大于1的待定的正數。顯然P可逆，故只需選擇合適的pk使得p-1AP嚴格對角占優即可證明A可逆。

矩陣A稱為嚴格對角占優矩陣，是指＋｜aik｜pk＝Ri＋｜aik｜（pk-1）。因此為使P-1AP嚴格對角占優，只需取合適的所有的i≠k，Ri＋｜aik｜（pk-1）＜｜aii｜。

因此可以取到pk使得P-1AP嚴格對角占優，從而A可逆。

推論 設n階矩陣A＝（aij）的所有對角元非零，且A是對角占優矩陣，又除了i＝1，…，n的一個值以外，對所有其他的值有｜aii｜＞Ri，則矩陣A是可逆矩陣。

[1]Horn R A.矩陣分析[M].楊奇，譯.北京：機械工業出版社，2005：245-250.

[2]高益明.廣義對角占優矩陣與 M-矩陣的判定準則[J].高等學校計算數學學報，1992，14（3）：233-239.

[3]郭希娟，高益明.廣義嚴格對角占優矩陣與非奇 M矩陣的判定[J].高等學校計算數學學報，1999，21（2）：189-192.