恒電壓結合牛頓法的光伏系統MPPT控制

周文源， 袁 越， 傅質馨， 惠 東， 楊 凱

(1.河海大學可再生能源發電技術教育部工程研究中心， 南京 210098；2.中國電力科學研究院，北京 100192)

恒電壓結合牛頓法的光伏系統MPPT控制

周文源1， 袁 越1， 傅質馨1， 惠 東2， 楊 凱2

(1.河海大學可再生能源發電技術教育部工程研究中心， 南京 210098；2.中國電力科學研究院，北京 100192)

該文以提高跟蹤速度、減少最大功率點附近功率振蕩和減少誤判為多重目標，提出了恒電壓結合牛頓法的最大功率點跟蹤策略，并利用朗伯W(LambertW)函數在光伏電池實用模型的基礎上對其原理進行了理論推導和證明。該方法僅依賴于當前工作點的信息計算下一工作點的參考電壓，有效地減少了誤判；借助于牛頓法的良好收斂性，速度和穩定性都有提高。通過三種不同光照模式算例，與傳統方法進行仿真對比，驗證了方法的有效性。

光伏； 實用模型； 最大功率點跟蹤； 朗伯W函數； 牛頓法； 恒定電壓法； 電導增量法

在當今社會能源問題日益突出的環境下，清潔可再生能源的發展和應用成為了世界各國關注的焦點。太陽能光伏并網發電相關技術在近三十年得到了持續發展[1，2]。

光伏陣列的輸出具有非線性特征，受光照強度、環境溫度以及負載的影響，因此需要對其進行最大功率點跟蹤MPPT(maximum power point tracking)。常用的經典MPPT控制方法有恒電壓跟蹤法CVT(constant voltage tracking)、擾動觀察法Pamp;O(perturbation amp; observation)[3]、電導增量法INC(incremental and conductance)[4]等。經典算法有各自的優缺點[5，6]，CVT法利用光伏陣列MPP的工作電壓Vm與開路電壓Voc存在近似比例關系這一特性進行控制，因此控制精度不高。Pamp;O法和INC法本質上都是依靠求電壓變化前后工作點的功率差，找到滿足dP/dU為0的點。前者采用功率差Pk-Pk-1來近似dP，而后者則是通過全微分UΔI+IΔU來近似。Pamp;O法的缺陷在于，當光照穩定時，光伏陣列的實際工作點會始終在最大功率點MPP(maximum power point)附近小幅振蕩，而光照高速變化時該算法可能失效，判斷得到錯誤的跟蹤方向。盡管INC法在精度上相對Pamp;O有所提高，但仍然無法避免穩態振蕩和誤判的問題。

研究者針對上述傳統方法的缺點，在傳統方法的基礎上，提出了多方面的改進，如：采用變步長法[7～9]提高跟蹤速度；利用小步長擾動[10]改善MPP附近的振蕩問題，也有使用較復雜的數學方法，如零均值法[11]和中心差分法[12]；在處理光照劇烈變化帶來的誤判上，滯環比較法[13]效果較好，卻存在精度和速度的矛盾。其他算法，如模糊控制[14]、優化算法[15]可實現較好的控制效果，但算法較為復雜。

基于提高跟蹤速度、減少MPP附近功率振蕩和減少誤判的多重目標，本文對新型的MPPT方法進行了一定探索。文章首先建立光伏面板的實用仿真模型，然后借助LambertW函數推導得到光伏面板的最大功率曲線Pm(V)，以此為基礎利用恒電壓與牛頓法結合的方法提出MPPT控制策略，并進行了理論證明。該策略采用恒定電壓法確保系統的工作電壓達到并超過最低參考電壓，再根據當前時刻的工作點信息通過牛頓法計算出下一時刻系統的參考電壓，從而逐步逼近MPP。該方法僅以當前工作點的信息作為依據，不受光照變化約束，可明顯減少誤判。同時，牛頓法具有較好的收斂性，在很大程度上避免了常規方法在MPP附近的振蕩現象。因此，本文方法在理論上具有跟蹤速度快、誤判幾率低、穩態振蕩小的特點。

文中在光照為階躍變化、三種不同斜率的斜坡變化和特別復雜變化的環境下，將本文方法與采用不同搜索步長的傳統Pamp;O法和INC法進行了對比，通過仿真驗證了方法的正確性與優勢。

1 光伏電池工程實用模型

1.1 光伏電池工程實用模型的建立

光伏電池的等效電路如圖1所示。

圖1 光伏電池等效電路

按照圖1中的電流、電壓參考方向，可以得到光伏電池的I-V特性方程：

(1)

式中：Iph為光生電流，A；I0為二極管反向飽和電流，A；q為電子電荷；T為絕對溫度，K；K是玻爾茲曼常數；A為二極管因子常數；Rs為串聯等效電阻，Ω；Rsh為并聯等效電阻，Ω；I為電池輸出電流，A；V為電池輸出電壓，V。

式(1)中的5個主要參數，即Iph、I0、Rs、Rsh和A，與電池溫度和日照強度相關，既難以確定也不是廠商提供的標準參數，因此不便于工程應用。

若在式(1)基礎上，做兩點近似[16～18]，便可以得到光伏電池的實用I-V方程：

I=Isc{1-C1[exp(V/(C2Voc))-1]}

(2)

C1=(1-Im/Isc)exp(-Vm/(C2Voc))

(3)

C2=(Vm/Voc-1)[1n(1-Im/Isc)]-1

(4)

1.2 光伏電池實用模型的環境修正及驗證

光伏電池的性能因外界溫度及光強變化而不同，因此需要對式(2)進行環境修正[16～18]。引入兩個補償系數ki、kv：

ki=R[1+aΔT]/Rref

(5)

kv=[1-cΔT]1n[e+bΔR/Rref]

(6)

其中

ΔT=T-Tref

ΔR=R-Rref

式中：R為日照強度，W/m2；Rref為標準狀態下的日照強度，其值為1000 W/m2；a，b，c為修正系數，其取值參見文獻[16]。修正后的性能參數為

(7)

經修正，式(2)變為：

(8)

將本文采用的STP280-24/Vd[19]光伏電池實用模型的I-V特性和P-V特性與廠商提供的實測曲線在不同日照強度下進行對比，以全面驗證模型的正確性。該面板在1000 W/m2，25 ℃標準情況下的4個基本參數為Im=7.95 A，Isc=8.33 A，Vm=35.2 V，Voc=44.8 V。

通過圖2的對比結果可以看出，基于環境修正的光伏電池實用模型與實際輸出非常接近，誤差能夠滿足工程計算需要，因此將此模型應用于仿真可以很好地擬合光伏面板的實際工作特性，為光伏系統的設計與優化帶來便利。

圖2 不同日照強度下光伏電池仿真結果與實測結果對比

2 恒電壓結合牛頓法MPPT

2.1LambertW函數[20]求解最大功率曲線

在MPP處有dP/dV=0，展開得

dP/dV=VdI/dV+I=0

(9)

將式(8)代入(9)可得

(10)

式(10)是一個超越方程，雖然可采用牛頓法迭代進行求解，但只能求得數值解，無法直接求出V的初等函數表達式。通過觀察式(10)的形式，本文選用LambertW函數來表達MPP處的電壓。LambertW函數是方程(11)的解，是一個超越函數，它的數值解可借助數學軟件Mapple，Matlab或Mathematica獲得。

z=w(z)ew(z)

(11)

將式(10)整理為式(11)的LambertW函數標準形式，即：w(z)中含有V，z項不含V。如式(12)所示：

(12)

記

z=(1+C1)e/C1

(13)

由于z為正數，必然大于-1/e，因此w(z)具有唯一解，將z的表達式代入w(z)，整理得到

(14)

V=λ1n(e+bΔR/Rref)

(15)

λ=VocC2[1-c(ΔT)]W

(16)

W=lambertw[(1+C1)e/C1]-1

(17)

這樣由式(15)便可得到MPP處，電壓V和輻射強度R的關系，

R=Rref{[exp(V/λ)-e]/b+1}

(18)

在求P=VI時，考慮式(18)，可化簡得到：

1){1-C1[eW-1]}=αV+βVeV/λ

(19)

式中：

α=β(b-e)

β=Isc(1+aΔT){1-C1[eW-1]}/b

式(19)就是最大功率曲線的顯性表達式，該式中的參數有兩個：α和β，它們僅僅與光伏面板自身的4個基本參數有關。曲線圖形如圖3所示。

圖3 光伏面板最大功率曲線

2.2 牛頓法MPPT的理論基礎

由于式(19)已經表示出了在外界環境變化下MPP處功率與電壓的關系，本文考慮利用該關系進行MPPT控制。

首先，注意到圖3中最大功率曲線與電壓軸有交點，說明即使在日照強度極低、光伏面板發出功率接近于0時，其最優工作電壓仍然是一個相對較大的值。因此在尋優時，便可采用此電壓作為最低電壓參考值，記為Vrefmin，并采用恒定電壓法控制。這樣可以明顯提高啟動時的跟蹤速度。

其次，當系統的工作電壓大于Vrefmin時，任意確定光強下的P-V曲線與最大功率曲線僅有一個交點，若兩條曲線的差滿足牛頓法的收斂條件，則可將問題轉化為牛頓法求零點的問題。定義f(V)為兩者之差：

f(V)=Pm(V)-P(V)

V∈[Vrefmin，VM]

(20)

其中，VM是日照強度為標準狀況3倍時的開路電壓，因實際測量中出現超過標準狀況3倍的日照強度極為罕見，故而該上限具有實用性。下面簡略證明其滿足牛頓法的收斂條件：

1)由圖3，顯然有

f(Vrefmin)×f(VM)lt;0

(21)

2)對f(V)求一次和二次導數，得到

(22)

(23)

因λ，β，C1，C2都是正數，所以f″(V)gt;0，顯然在定義域上保號，同時說明f′(V)單調遞增。若能證明f′(Vrefmin)為正數，則可證明f′(V)在定義域上保號。考慮到Pm(Vrefmin)的值為0，由式(19)有

Vrefmin=λln(-α/β)

(24)

將式(24)代入式(22)計算f′(Vrefmin)：

f′(Vrefmin)=-α1n(-α/β)+

b)(1-C1eW)-R/Rref]

(25)

式(25)中的可變參數只有C1和R，根據不等式證明的放縮法，將C1放大到10-4并將R取定義域上限3Rref后一起代入式(25)，可推得：

f′(Vrefmin)gt;0.752Isc(1+aΔT)gt;0

(26)

因此，綜合1)，2)可判定f(V)=0在區間[Vrefmin，VM]上滿足牛頓法的收斂條件。

2.3 恒電壓結合牛頓法MPPT

本文在系統工作電壓高于Vrefmin時采用牛頓法核心思想進行尋優，尋優過程如圖4所示。

圖4 牛頓法MPPT尋優流程

根據圖4對算法做幾何上的描述：若初始工作點在A，延A點做垂線與Pm(V)曲線相交得到A′點，過A′作Pm(V)曲線的切線并與過A的水平線相交，交點處的橫坐標便是下一點B的橫坐標，如此類推可得到B′點和C點。根據上述理論推導可知：若n時刻測得工作點的電壓為Vn功率為Pn，則系統n+1時刻工作點的電壓表達式為

(27)

算法的整體流程圖見圖5。

圖5 恒電壓結合牛頓法MPPT控制框圖

3 仿真分析

為驗證本文提出的MPPT算法的有效性，在Matlab/Simulink環境中對其進行仿真驗證。電池模型采用STP280/24V的工程實用模型，分別使用電導增量法、擾動觀察法及本文方法，在不同光照條件下進行仿真，對比其最大誤差和平均效率。

仿真采用了3種不同的光照環境以便全面對比三種方法在不同情況下的性能，如圖6。

圖6 仿真采用的日照曲線

首先是常用的階躍變化，該變化可模擬云層遮擋時造成的光照突然跌落。初始光照正常，為1000 W/m2，0.1 s時由于云層遮擋，突然跌落到200 W/m2，0.3 s后又恢復正常。其次是三種斜坡變化，該變化可模擬太陽初升和落山時日照的均勻增加和減少。初始光照強度為0 W/m2，0.01 s時起依照不同斜率均勻增加到1000 W/m2后，保持一定時間后又按照之前的斜率負值逐漸回到0 W/m2。最后是一段變化極不規則的日照曲線，該數據截取自美國國家可再生能源實驗室(NREL)的某日實測日照數據[21]。

圖7是階躍變化時三種仿真結果的對比圖。從圖中的功率曲線可看出，日照強度變化時采用本文方法可更為迅速地找到MPP；自參考電壓曲線中可看出，本文方法的參考電壓在光照穩定后幾乎不變，而兩種傳統方法的參考電壓則是在最優值附近波動，因而會造成小幅功率振蕩，導致功率損失。

圖7 階躍變化時三種方法仿真結果

斜率分別為5000 W·m-2/s，10000 W·m-2/s和20000 W·m-2/s的斜坡信號下的仿真結果如圖8。通過觀察圖中參考電壓的曲線可以發現，在光照緩慢增加時，傳統方法時常出現誤判，該結論也反映在功率曲線上。有兩點值得注意的是，傳統方法在上坡時斜率越小跟蹤失誤反而越大，下坡時的跟蹤效果則均不理想。本文方法在各種斜率下都能隨著光照的變化跟蹤到最佳工作電壓。

圖8 不同斜率的斜坡變化下三種方法的仿真結果

特別復雜變化的結果如圖9。由于光照很不規則，且變化很快，傳統方法跟蹤效果并不理想，誤判較多。從參考電壓圖中可以清晰地看出只有本文方法的參考電壓是隨著光照變化的趨勢而改變的。從功率變化圖中可以發現：在某些時段，傳統方法的出力甚至不及本文方法的一半。

圖9 特別復雜變化時三種方法仿真結果

搜索步長對傳統方法的性能有較大影響，搜索步長大可以加快跟蹤速度，但穩態時可能出現較大功率振蕩，搜索步長過小則會導致速度較慢。圖7～圖9僅展示了搜索步長為0.1 V時的傳統方法的結果，并不能全面體現傳統方法的性能。表1列出了前述三種日照變化類型下，本文方法與采用了不同搜索步長的傳統方法的全域平均效率、穩定域最大誤差和穩定域平均效率，以便將傳統方法在不同搜索步長下的性能與本文方法進行對比。其中全域和穩定域做如下界定：

全域T全域=[0 s，5 s]

穩定域T階躍=[0.15 s，0.3 s]

T斜坡1=[0.26 s，0.29 s]

T斜坡2=[0.16 s，0.39 s]

T斜坡3=[0.11 s，0.44 s]

表1 多日照類型、多種搜索步長下三種方法的全域平均效率、穩定域的最大誤差和平均效率對比

全域的時域區間就是整個仿真區間；穩定域不僅是指日照穩定，同時也顧及到系統響應時間的問題，故其區間為日照穩定后0.05s至下一次改變時。特別復雜變化不含穩定域。

從表1中數據可以看出，在日照類型依次為階躍、斜坡1、斜坡2、斜坡3和特別復雜變化時，本文方法的全域平均效率達到99.7%，93.3%，95.0%，96.4%，99.3%，均高于計及多種搜索步長的傳統方法的平均效率最優值97.9%，89.8%，91.6%，93.3%，97.3%。穩定域的最大誤差方面，本文方法在各種日照類型下均能始終保持在2.3%，優于傳統方法的最優值6.6%，穩定域的平均效率穩定達到99.8%，也優于傳統方法的最優值99.5%。另外，需要指出本文方法沒有需要調節的參數，其搜索步長由公式自然導出，而傳統方法為達到最優值往往需要對搜索步長進行反復試湊，且不能保證一種日照類型中找到的最優值在其他環境中同樣適用。

4 結語

本文在建立了光伏電池實用模型的基礎上，利用LambertW變化推導出了光伏面板最大功率曲線Pm(V)，提出了恒電壓與牛頓法結合的MPPT控制策略，并對牛頓法的適用性做了證明。

在日照強度為階躍變化、斜率不同的三種斜坡變化和特別復雜變化的環境中，將本文方法與采用多種搜索步長的傳統Pamp;O法和INC法進行了較為全面的仿真對比分析。仿真結果表明，本文提出的恒電壓結合牛頓法MPPT具有響應速度快、穩態振蕩小、誤判較少、無參數調節過程的特點，較好地解決了傳統方法多方面的不足，并且能夠最大程度地提升系統效率、降低功率損失，具有良好的實用價值。

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周文源(1987-)，男，碩士研究生，研究方向為可再生能源發電技術。Email:wen-yuan.zhou@hotmail.com

袁 越(1966-)，男，博士，教授，博士生導師，研究方向為可再生能源發電技術、分布式發電與供電技術、微型電網、智能電網等。Email:yyuan@hhu.edu.cn

傅質馨(1983-)，女，博士，研究方向為智能電網、可再生能源發電技術。Email:zhixinfu@hhu.edn.cn

ConstantVoltageTrackingCombinedwithNewtonMethodMPPTControlforPhotovoltaicSystem

ZHOU Wen-yuan1， YUAN Yue1， FU Zhi-xin1， HUI Dong2， YANG Kai2

(1. Research Center for Renewable Energy Generation Engineering, Ministry of Education,Hohai University, Nanjing 210098, China;2. China Electric Power Research Institute, Beijing 100192, China)

This paper proposed a novel multi-objective maximum power point tracking (MPPT) strategy combined constant voltage tracking and Newton method in order to improve tracking speed, minimize the power oscillation near maximum power point (MPP) and reduce erroneous results. A theoretical derivation and a demonstration based on practical photovoltaic (PV) cell model were also given by using LambertW function. The proposed method only uses the information of the actual working point to calculate the reference voltage of the next working point, thus the erroneous result is thus reduced. With the help of Newton method's good convergence, the proposed method shows a better tracking speed and less oscillation. Numerical simulations were conducted based on various radiation types to test the effectiveness of the proposed method. The results validate its effectivity and efficiency.

photovoltaic (PV) cell； practical model； maximum power point tracking(MPPT)； LambertW function； Newton method； constant voltage tracking； incremental and conductance(INC)

TM615

A

1003-8930(2012)06-0006-08

2011-12-20；

2012-02-04

國家科技支撐計劃“風光儲輸示范工程關鍵技術研究”課題七“電池儲能大規模系統集成技術研究”(2011BAA07B07)