立足基礎 關注本質 考查能力
——2012年浙江省初中數學學業考試試題評析

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(嘉興教育學院 浙江嘉興 314015)

立足基礎關注本質考查能力
——2012年浙江省初中數學學業考試試題評析

●時愛榮

(嘉興教育學院 浙江嘉興 314015)

2012年浙江省各地區中考數學試題可謂特色鮮明、亮點紛呈，總體上都符合《數學課程標準》和《浙江省初中畢業生學業考試說明》(以下簡稱《考試說明》)要求，在題型、結構、答題要求及形式方面與前幾年保持了穩定性和連續性，對初中學生應掌握的基礎知識以及核心重點內容作了比較全面的考查.試卷簡約美觀，試題簡明嚴謹，知識覆蓋面廣，低起點、高觀點，注重數學本質，立足基礎，適度創新，重視應用，考查能力．試卷關注數學思想與方法、關注數學素養、數學能力的培養與考查，新課程的評價理念落實到位，教學導向作用明顯．

1 試卷概況

1.1 考試要求，吻合課標

遵循《考試說明》要求，按照《數學課程標準》中的四大領域(數與代數、空間與圖形、統計與概率、實踐與綜合運用)設計試題內容，努力克服過分注重知識掌握的偏向，促進學生形成終身學習所必需的數學基礎知識、基本技能、基本思想方法和綜合運用能力，關注學生學習和成長的整個過程，關注學生情感、態度和價值觀的和諧發展，鼓勵學生的創新和實踐，引導學生的個性成長．

1.2 試卷結構，設置合理

試卷題量大部分采用24道題(寧波26道題)，其中選擇題10道、填空題6道、解答題8道，各題型占總分的比例分別為25%、20%、55%.數與代數、空間與圖形、統計與概率、實踐與綜合這四部分占總分的百分比分別為40%、40%、15%、5%．

1.3 科學嚴謹，效度信度高

試題表述簡約、科學準確；背景的素材公平；語言和圖形界面友好，圖像規范美觀；實際情景不僅不會干擾學生對其內容的分析與理解，而且有助于學生對其中數量關系的把握；有創新成分的試題，其內容均在《課程標準》和《考試說明》要求范圍之內的核心知識；試題的命制注意了各試題的搭配，整體的和諧性使考查功能之間形成合理的支撐，努力實現試題在能力層面上的相互校正功能．試卷注重試題之間的合理性、自洽性;各地評卷時大多采用零誤差控制，多種措施，確保了整個考試具有較高的信度與效度．

1.4 多題把關，層次分明

試卷采用多角度、多層次的考查方式，分步設問、分散難點、多題把關．各類題型起點難度較低，由淺入深，試題的難度分布為容易題70%，稍難題20%，較難題10%．選擇題的最后2道，填空題的最后一道，解答題的最后2道等，在難度上有較明顯的層次遞進，在面向全體學生的同時，也體現了較好的區分度．

2 試題的特色與亮點

2.1 低起點，立足基礎

2.1.1 立足基礎，考查核心知識

考核的知識點覆蓋面廣,重點突出，較好地考查了初中數學的基本知識、基本技能、基本思想方法、基本活動經驗，強調知識直接應用．在問題解決的方法上注重通性通法，淡化特殊技巧，大多試題的運算不需借助計算器，避免了繁雜的運算和幾何證明，注重考查學生的基本素養與能力．如各地試卷的選擇題的前6道，填空題的前4道，解答題的前2道，大都屬于基礎題，體現了低起點、入口寬的命題思路，考查初中數學中的基礎知識與基本技能，讓絕大多數學生都有成功感．同時，也注重基本知識考查方式的多樣性和考查角度的新穎性．

圖1

例1 如圖1，已知一次函數與反比例函數的圖像交于點A(-4，-2)和B(a,4)．

(1)求反比例函數的解析式和點B的坐標；

(2)根據圖像回答，當x在什么范圍內時，一次函數的值大于反比例函數的值？

(2012年寧波市初中數學學業考試試題)

A.xB.2xC.x+4 D.x(x+4)

(2012年金華(麗水)市初中數學學業考試試題)

例3 如圖2,已知AB是⊙O的直徑,點C,D在⊙O上,點E在⊙O外,∠EAC=∠D=60°.

(1)求∠ABC的度數；

(3)當BC=4時，求劣弧AC的長.

(2012年義烏市初中數學學業考試試題)

圖2 圖3

例4 如圖3，已知菱形ABCD的對角線相交于點O，延長AB至點E，使BE=AB，聯結CE．

(1)求證：BD=EC；

(2)若∠E=50°，求∠BAO的大小．

(2012年嘉興市初中數學學業考試試題)

評析例1通過觀察一次函數與反比例函數的圖像和試題所提供的信息，解答函數的解析式及函數的增減性質，體現了數形結合的數學思想.例2著重考查了分式方程轉化為一元一次方程的基本方法.例3考查了與圓相關的圓周角、弦、切線、弧長等相關基本知識.例4考查了同位角、一般的平行四邊形及菱形等平面幾何的一些核心知識．

2.1.2 挖掘教材、高于教材

試卷中有許多試題都是根據學生所用教材上的例題或作業本上的練習題改編而成．這些試題對學生來說有“親切感”，對教學有著積極的導向作用：引導教師在復習課教學過程中，要重視教材、研究教材、創造性地使用教材，切忌拋開教材搞題海戰術，增加學生負擔．

例5某校藝術班同學，每人都會彈鋼琴或古箏，其中會彈鋼琴的人數比會彈古箏的人數多10人，2種都會的有7人．設會彈古箏的有m人，則該班同學共有______人(用含有m的代數式表示)．

在我國社會主義市場經濟飛速發展的背景下，一個安全有效的電力系統不僅能夠保證社會居民的正常生活，還能夠為我國社會主義經濟的發展提供充足的電力資源。因此電力系統的安全生產尤為重要，想要做好電力系統的安全生產，就必須擁有一個科學的安全生產過程監督管理體制。本文主要闡述了電力系統安全生產的過程中存在的問題，并且根據其存在的問題進行針對性的探索和解決，以便為加強我國電力系統的安全生產，保障電力的正常供應提出以下意見。

(2012年溫州市初中數學學業考試試題)

評析例5的素材直接來自于教材，在原題的基礎上進行了較好的改編，使試題既新穎又似曾相識，源于教材又高于教材，注重挖掘教材資源，對教學有很好的導向作用．

2.2 高觀點，突出思想方法和過程

2.2.1 突出思想方法，關注數學本質

在重視基礎的前提下，加大對核心知識與方法的考查力度，主要是對b,c層次考查，體現學科本質.同時試題突出主干知識的考查和知識之間的適度綜合，在數學的核心知識的交匯處命題，有利于考查學生歸納和整理能力，有利于考查數學核心思想方法．

圖4

(1)求∠COB的度數.

(2)求⊙O的半徑R.

(2012年杭州市數學學業考試題)

評析例6通過考查三角形相似及相似的性質運用、圖形之間的變換性質.通過推理，利用勾股定理設未知數解方程等，綜合考查了初中數學中數形結合、方程與函數、化歸與轉化、分類討論等重要數學思想，在條件或結論不確定時提出假設進行驗證是一種數學通法，提醒學生在平時學習中應主動思考、加深對數學的理解．

2.2.2 重視過程，倡導“做數學”

數學學習以實踐操作、探索發現、猜想證明為活動主線，在探索過程中發揮學生的主體性、自主性．試題不局限于對知識本身的考查，而是通過創設一個個新穎的情境，體現鮮明的實踐性、過程性、挑戰性、綜合性、開放性等特征，讓學生真正經歷獨立自主的問題探究和解決的一般過程，讓學生在探究過程中靈活應用知識，考查知識和思維的過程和方法，以及數學活動經驗和數學探究能力，體現能力立意．如溫州卷的第18題考查學生畫三角形；紹興卷的第7題比較2個人作圓內接正三角形的方法等．

例7如圖5，直角三角形紙片ABC中，AB=3,AC=4,D為斜邊BC中點.第1次將紙片折疊，使點A與點D重合，折痕與AD交于點P1；設P1D的中點為D1，第2次將紙片折疊，使點A與點D1重合，折痕與AD交于點P2；設P2D1的中點為D2，第3次將紙片折疊，使點A與點D2重合，折痕與AD交于點P3；……；設Pn-2Dn-2的中點為Dn-1,第n次將紙片折疊，使點A與點Dn-1重合，折痕與AD交于點Pn(n>2).則APn的長為 ( )

圖5

(2012年紹興市數學學業考試題)

評析例7設置了一種變換或操作，在變換、操作中運用初中數學相關知識與方法來探究、分析問題、解決問題．

2.3 重視應用，彰顯數學價值

數學源于實踐，又服務于實踐，對數學應用意識與能力的考查是新課程關注的重要內容，也是新課程的一個特色．從各地試卷來看，試題都非常注重創設學生身邊熟悉的生活情景，注重設計結合本地的社會經濟、社會熱點的問題，考查學生問題的分析和解決、信息的獲取與處理、數學建模等各種能力，寓思想教育于數學試題之中．

如杭州卷的第6題對杭州市區人口的統計，數據真實；寧波卷的第10題以老年活動中心為情境，第24題關注居民生活用水之階梯式水價收費；紹興卷的第9題觀察公路邊的樹與燈的距離，第14題以小明父母外出散步為情境，第19題計算超市電梯的高度；湖州卷的第6題對課外興趣小組人數的統計，第21題調查了本市部分老人與子女的同住情況，關注社會熱點、引導學生關愛老人，第23題關注生態型環境，體現了數學的德育價值和社會價值；臺州卷的第21題涉及自來水階梯計費問題，提倡節約用水，第23題研究汽車在剎車后行駛的距離問題；溫州卷的第21題以海濱巡邏救生為生活背景，第23題以“中國筆都”為背景，貼近現實生活；衢州卷的第13題以民間的“石頭剪刀布”游戲設計題目很有趣味性，第20題關注廉租房與經濟適用房，第22題關注新農村建設；金華(麗水)的卷第7題以學校操場為情境，第8題測量學生身高，第9題以臺球桌面為背景，第22題以小明競選班長為材料設計問題；嘉興(舟山)的卷第3題關注中國南海，第6題測量河的兩岸距離，第20題關心本市的空氣質量情況；義烏卷的第9題以義烏國際小商品博覽會為情境，第13題關注中小學生樂器演奏，第19題圍繞去市圖書館的讀者進行問題設計，第22題就小明與媽媽野外郊游展開討論等．

例8“石頭剪刀布”是民間廣為流傳的游戲．游戲時，雙方每次任意出“石頭”、“剪刀”、“布”這3種手勢中的一種，那么雙方出現相同手勢的概率P=______．

(2012年衢州市初中數學學業考試試題)

評析例8背景公平真實，又有趣味性，讓學生感到現實生活中充滿了數學，并要求用數學知識解決實際問題，有效地考查了學生應用數學知識解決實際問題的意識和能力．

2.4 設問新穎，關注學習力

創設學習型問題．如編制新定義概念或新給出的某種數學規律的試題，這種學習型試題旨在通過呈現學生沒有學過的數學知識、數學規律、數學方法等情境，要求學生通過閱讀、操作等方式進行即時學習，并運用現學所得的知識解答相關問題，對學生即時學習能力要求較高．如紹興卷的第21題定義三角形的“準外心”；嘉興(舟山)卷的第23題定義“變換[θ，n]”；臺州卷的第24題定義“線段a與線段b的距離”；金華(麗水)卷的第10題定義“正方形數”等.

例9定義：P，Q分別是2條線段a和b上任意點，線段PQ長度的最小值叫做線段a與線段b的距離．已知O(0，0)，A(4，0)，B(m，n)，C(m+4，n)是平面直角坐標系中的4個點．

(1)根據上述定義，當m=2，n=2時，如圖6，線段BC與線段OA的距離是________；

當m=5，n=2時，如圖7，線段BC與線段OA的距離(即線段AB長)為________．

圖6 圖7 圖8

(2)如圖8，若點B落在圓心為A、半徑為2的圓上，線段BC與線段OA的距離記為d，求d關于m的函數解析式．

(3)當m的值變化時，動線段BC與線段OA的距離始終為2，線段BC的中點為M．

①求出點M隨線段BC運動所圍成的封閉圖形的周長；

②點D的坐標為(0，2)，m≥0，n≥0．作MH⊥x軸，垂足為H，是否存在m，使以A，M，H為頂點的三角形與△AOD相似.若存在，求出m的值;若不存在，請說明理由．

(2012年臺州市初中數學學業考試試題)

評析這類試題的解答,學生無法直接套用書本的知識或現成的模式，只有在有效閱讀給定材料的基礎上，經過提煉，才能有效地解決問題．因此，這類試題在考查學生數學閱讀能力、理解能力、問題的分析與解決能力等方面具有獨特的功能．

2.5 滲透數學文化、感受數學魅力

數學是一種生產勞動的工具，更是一種思想和文化．滲透數學文化，陶冶學生心靈、使數學具有更為積極的教育功能，是新課程改革所倡導的理念，也是命題人員在試題命制中始終關注的一個環節．

圖9 圖10

例10勾股定理是幾何中的一個重要定理．在我國古算書《周髀算經》中就有“若勾三，股四，則弦五”的記載．圖9是由邊長相等的小正方形和直角三角形構成的，可以用其面積關系驗證勾股定理．圖10是由圖9放入矩形內得到的，∠BAC=

90°，AB=3，AC=4，點D，E，F，G，H，I都在矩形KLMJ的邊上，則矩形KLMJ的面積為 ( )

A.90 B.100 C.110 D.121

(2012年溫州市初中數學學業考試試題)

評析數學文化不僅在知識本身，還寓于它的歷史之中．例10讓學生充分感受勾股定理等中國古代數學理論與數學故事的豐富文化內涵，使學業考試成為數學文化傳播的過程，讓學生了解數學的發展歷程，加深對數學的理解．

3 對日常教學的啟示

各地市數學試卷著重考查數學四基，注重通性通法，淡化特殊技巧，杜絕人為編造的繁冗的計算題和證明題，加強對數學應用意識和用數學觀點分析解決問題能力的考查，問題設置體現了時代要求，貼近生活實際，因此對今后的日常教學有著很強的導向作用．

3.1 低起點，重基礎

對于課本上的每一道例題、習題，要充分挖掘它們的教育示范功能，要講通、講透，真正做到舉一反三．不要多講難題、偏題，反而忽略了基礎知識，造成本末倒置．

3.2 歷過程，重思想

讓學生親身經歷數學知識的形成過程、運用知識形成數學方法的過程.在知識形成的過程中，盡量讓學生自己去發現、探索和總結.在具體數學知識、技能、思想方法的學習過程中掌握學習方法與學習策略，把數學思想方法滲透到平時的核心知識學習之中，培養分析問題和解決問題的能力．

3.3 強建構，重體系

在基礎知識的學習中要注重知識體系的建構，注重知識的不斷深化，并能把新知識及時納入已有的知識體系，逐步形成和擴充知識結構系統，構建“數學認知結構”，形成一個條理化、有序化、網絡化的有機體系．

3.4 重應用，顯價值

在教學中，要關注數學知識與生活實際的聯系，充分利用學生熟悉的生活資源，使抽象的數學知識具體化、生活化，使學生體會到學數學的意義和價值，感受數學就在身邊.從而培養學生善于從生活中發現數學的眼光和把數學知識應用于生活的習慣，進一步培養學生在實際問題中建立數學模型的能力和用數學的意識．