四法并舉 彰顯活力
——2012年浙江省數學高考理科第17題賞析

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(魯迅中學 浙江紹興 312000)

四法并舉彰顯活力
——2012年浙江省數學高考理科第17題賞析

●陸立峰

(魯迅中學 浙江紹興 312000)

2012年浙江省數學高考試題依然秉承了“起點低、坡度緩、層次多、區分好”的鮮明特色，其中又不乏一些適度創新、題小意深的經典之作.本文就以理科第17題為例進行解法探求和賞析.

例1設a∈R，若x>0時均有[(a-1)x-1](x2-ax-1)≥0，則a=________.

(2012年浙江省數學高考理科試題)

1 解法探索

解法1根軸法

由題意分析可得a>1，則原不等式可轉化為

其中x1,x2是方程x2-ax-1=0一正一負的2個根.不妨設x1<0,x2>0，由三次不等式穿根法可知，要使得對一切x>0時均有

[(a-1)x-1](x2-ax-1)≥0

點評根軸法是簡單高次不等式中的基本方法.由題意對一切x>0不等式均成立，說明正根x2為重根，此法解題也是水到渠成的事情.

解法2數形結合

本題按照一般思路，則可分為以下2種情況

受經驗的影響，很多學生認為本題可能是錯題或者解不出本題.其實在x>0的整個區間上，可將其分成2個區間，在各自的區間內恒正或恒負,如圖1所示.

圖1

解得

解法3變換主元

把a看作主元，則原不等式可化為

(xa-x-1)(-xa+x2-1)≥0，

進一步可整理為

即

當x=2時，原不等式化為

因此

即

點評變換主元，看成關于a的二次不等式是個大膽的想法，此想法能否實現需要扎實的基本功.經過轉換后就變成含參不等式的解法，過程有點繁瑣，屬于小題大做.但在解題過程中，往往會得到下面的簡便方法.

解法4特殊法

把a看作主元，則原不等式可化為

(xa-x-1)(-xa+x2-1)≥0，

進一步可整理為

故

點評解法4一時難以捕捉，但在分析解答過程和求解的結果來看，這是神來之筆，是在深刻理解知識基礎上的靈機一動，并且這種方法揭示了特殊性存在于一般性之中的哲學思想.

2 試題賞析

本題簡潔樸素，但具有高考試題概念的深刻性、思辨的邏輯性、解法的多樣性等特點，是整份試卷中的一大亮點.題目雖小，但題精意蘊，細細品味，對今后的復習備考具有很多有益的啟示.

2.1 突出本質顯導向

考試說明指出，數學學科的考試，按照“考查基礎知識的同時，注重考查能力”的原則，確立以能力立意命題的指導思想，將知識、能力和素質融為一體，全面檢測考生的數學素養.要發揮數學作為主要基礎學科的作用，既考查考生的基礎知識、基本技能的掌握程度，又考查對數學思想方法、數學本質的理解水平以及進入高等學校繼續學習的潛能.本題以不等式為載體，既考查基礎知識，又考查數形結合等基本思想方法，還體現特殊性與一般性的哲學思想.在課堂教學過程中，教師除了傳授知識本身以外，還應該教給學生哪些東西？學生高中畢業十年、二十年之后依然留在腦海中的這些東西，才是數學最本質、最核心的思想方法，也是數學教學的目的.此題還傳遞出一個信息，高中數學教學依靠“題型+技巧+大運動量訓練”的教學難以適應高考，呼喚突出數學本質、實現高中數學教學自然回歸，有利于新課程改革的落實.

2.2 總結反思探題源

一道好的試題，并不一定都是新題，因此命題者無需有意回避教材或資料中的常見試題，而恰是這些題目反而成為命制試題的來源.在不等式恒成立上設置考題，知識背景公平，很好的體現考查基礎知識的命題要求，符合中學教學實際及考試說明的要求.此題在平時上含參不等式這塊內容時是作為2個獨立的小題來求解的,即：

(1)設a∈R，若x>0時均有(a-1)x-1≥0，求a的取值范圍；

(2)設a∈R，若x>0時均有x2-ax-1≥0，求a的取值范圍.

在這里把2個小題合在一起可謂獨具匠心，使人倍感親切，并給人似曾相識的感覺，不會作為壓軸題而使考生望而生畏.其實2011年浙江省數學高考理科試題的第10題，討論方程

g(x)=(ax+1)(cx2+bx+1)=0

根的個數是否也有異曲同工之妙呢？

2.3 能力立意促選拔

選拔性是高考試題最核心的一個功能，本題雖然是一道很普通的填空題，內容上似曾相識，但在形式上還是推陳出新的.本題看似平淡，但已經將基礎知識、方法、能力和數學素養的考查融為一體.使每一位考生的能力盡顯出來，使高考的選拔功能得以實現.本題之所以能很好地體現選拔性的要求，首先是解題入口寬，既可以用代數方法計算，也可數形結合等常用方法求解；其次是區分度較好，因為著眼點不同，解題的方式方法不同，每種方法各有千秋，效果自然也就大不相同，能夠為高校選拔相應的優秀人才.

高考試題是命題組教師集體智慧的結晶，是平時學生學習和教師教學過程中的寶貴財富.如何充分利用這些題源，開展一題多解和多題一解，也是教師日常教學中的一件非常有意義的事.