基礎而有思維 現實而有差異 穩定而有創新
——2012年浙江省數學高考試題評價與復習方法思考

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(杭州市第十四中學 浙江杭州 310006)

基礎而有思維現實而有差異穩定而有創新
——2012年浙江省數學高考試題評價與復習方法思考

●馬茂年

(杭州市第十四中學 浙江杭州 310006)

2012年浙江省數學高考試卷符合《考試大綱》和《考試說明(浙江版)》的要求，立足于數學教材，回歸數學本源，重視數學基礎知識和基本技能，突出數學能力的考查，較好地測試了考生的數學素養和進入高校學習的潛能，有利于高校選拔新生，有利于中學素質教育，有利于向新課改(第二輪)高考過渡．與2011年相比，數學試題處在持平或更容易的水平，起點低、角度寬、視點高.在考查基礎知識的同時，注重對數學思想、數學方法和數學能力的考查,延續了往年分步設問、分散難點的做法，體現了分散壓軸、多題把關的命題特點．

1 考查全面，注重基礎，在穩定中前行

把基礎知識、基本技能、基本思想作為考查的首要內容，這一命題原則在2012年的數學高考試卷中體現得淋漓盡致．試題設計立足于教材，背景熟、入口寬、方法多．如理科卷中第1～6，11～14，18～20題以及第21題的第(Ⅰ)小題等，文科卷中第1～8，11～14，18～20題以及第21題的第(Ⅰ)小題、第22題的第(Ⅰ)小題等．試卷設計符合數學學科特點，考核內容覆蓋了中學數學教材中的主干知識模塊，重點突出．整份試卷立足教材，重視基礎，突出重點，引領高中數學教學．

1．1 題量穩定，題型不變

試卷仍然采用近幾年來的一貫風格，設計為主觀試題78分、客觀試題72分的題型和分值結構.其中選擇題10道、填空題7道，共計78分，解答題5道，共計72分，保持了題量、題型和分值的絕對穩定．

1.2 重點突出，內容全面

試卷以基礎知識，基本方法為命題出發點，全面覆蓋了數學的基本內容，重點內容常考常新．試卷中的選擇題和填空題主要圍繞“雙基”設計，側重考查基本技能，而在解答題中重點考查了三角函數、概率期望(數列知識)、立體幾何、解析幾何以及函數導數等核心內容．

1.3 注重通法，淡化技巧

試題從簡潔中體現常規，突出考查通性通法，淡化技巧．如文科的第3～5，7～9，11～16，18～19題和理科的第3～4，6，8，11～13，15～16，18～19，21題，試題較好地體現了以知識為載體，以方法為依托，以能力為考查目的的命題指向．

1.4 多題把關，科學定量

試題繼續保持“多角度、多層次”的考查方式，延續往年的“分步設問、分散難點”的方法，體現了多題把關的命題特點，選擇題、填空題、解答題都有把關題．同時各類題型起點難度較低，由淺入深，階梯遞進，10道選擇題中有3個難度的層次遞進(第1～7，8～9，10題)，在填空題和解答題中也有類似體現．整卷注意研究試題信息的配置，創設多種解題途徑，考查考生從不同角度運用不同的方法，有效區分不同的思維水平，做到科學定量．例如文科的第9，16～17題和理科的第9～10，16～17題等．

2 創新適度，經典頻現，在前行中不變

理科第9題的設問新穎，理科第10題的動中求靜，文科第17題(理科第16題)的新定義問題，文科第21題和理科第22題中含參數的函數問題都給人以耳目一新之感，但又沒有造成學生“面對新題望而生畏”的尷尬現象.在區分、考查學生未來發展所需的能力上，這些試題為高考試題的命制提供了很好的范例，是試卷中的經典之作．解決這些試題需要學生具備較強的觀察能力、推理論證能力，很好地體現了能力立意的高考試題特點．

2.1 考查主干知識不變

通過分析近3年解答題考查的主干知識和交匯知識可知(見表1)，2012年的試題主干知識更加明確，與主干知識交匯的知識越來越少；五大題的考查直接落實在解三角形、概率(數列)、立體幾何、解析幾何、導函數這五大知識點上，突出了主干知識的主體地位．

表1 近3年解答題考查的主干知識和交匯知識

(1)不變的主干知識：從表1中可知，近3年考查的主干知識保持了相對的穩定，均為解三角形、立體幾何(二面角)、概率期望、圓錐曲線(拋物線)、函數性質(導函數)．

(2)變化的主干知識：主干知識近3年內也出現了適當的微調，如在2011年考查的數列，在2010年和2012年都是以概率期望代之．

(3)突出的主干知識：2012年的主干知識與其他知識交匯的相對較少，從而使考查的主干知識更加突出、主干地位更加明確，有利于考生集中精力、集中思想解決主要問題．

2．2 強調數學思想不變

通過對近3年的數學試題的分析(見表2)，選擇、填空題的最后2道題從原來的數學抽象思維的考查轉變為更注重于數學思想的考查，著力體現命題者對數學思想的關注和重視.

表2 近3年選擇、填空題最后2道題的分析

(1)重點小題考查知識點多：對于選擇、填空題的最后2道題的處理是決勝高考的關鍵，成敗的重要性不言而喻，近3年來的考查涉及到的知識點每年基本不一樣，有平面向量、立體幾何，也有圓錐曲線、排列組合，基本上突現了小題考查“調頭快”的功能．

(2)重點小題考查思想方法靈活：這4個題因考查的知識點多，沒有相對穩定的知識點，因此考生可采用的方法也是靈活多樣，涉及到的數學思想非常豐富，使得試題的區分度和效度就相對較高，有利于高校選拔考生．

2.3 注重思維能力不變

近3年的數學壓軸最后2道題(見表3)，解題的方法更加側重于考生的思維能力，更能體現考生的綜合實力，更有利于選拔優秀考生．

表3 近3年壓軸題分析

(1)壓軸大題考查知識點趨向穩定：近3年來試卷的壓軸大題考查知識點趨向穩定，基本上穩定在導函數和圓錐曲線之中，這樣的穩定有利于考生集中精力理解和掌握重點知識、重點思想方法．

(2)壓軸大題的解答體現重點數學思想方法：近3年壓軸大題的破解方法基本上用到了分類討論思想和函數方程思想，這2種數學思想是高中需要掌握的核心數學思想，重要性非同一般，值得關注和重視．

2.4 考查真實水平不變

試卷對知識的理解程度、知識與能力綜合運用要求較高，區分度較明顯，有一定的梯度，難度不是很大，如選擇題的第8～10題、填空題第16～17題以及解答題的第22題，學生整體做下來不是很困難，但很難做到底．試題中也新意層出，創新性的問題如理科第16題(文科第17題)，這是一道閱讀理解題，需要考生在考場上臨陣思考、學習和運用，也真正考查了學生對數學問題的理解和分析能力，還說明了一種價值取向的觀念．理科第22題第(Ⅱ)小題，只需利用第(Ⅰ)小題的結論，無需求出f(x)的最小值，然后轉化為線性規劃問題.本題考查了數形結合、化歸轉化等數學思想及考生的數學理性思維與創新意識．理科第10題、第22題的解答給人一種愉悅的感覺，結果體現了數學的美，從而突出了數學的文化價值．

3 突出本質，意蘊深邃，在不變中提高

試卷在考查數學基礎知識和基本技能的基礎上，注重數學思想方法的考查，關注數學本質，重視能力考查．高度的抽象性、思維的靈活性和應用的廣泛性是數學學科的基本特點．2012年浙江省數學高考試卷不乏具有概念的深刻性、思辨的邏輯性、解法的多樣性等特點的試題，如文科的第10題、理科第9，19題等，很好地體現了數學學科的上述特點．

3.1 注重閱讀，凸顯能力

試卷再現了很多新題，如文科的第8，10，17，21～22題和理科的第9～10，14，16～17、22題等，注重強調學生的數學理解能力，提高對數學閱讀能力的要求．這些試題數學形式化程度高，需要較強的數學閱讀與審題能力，使考查具有一定的難度和深度，這樣既有利于優秀考生順利發揮水平，又能有效區分不同能力層次的考生．

3.2 強調方法，突出思維

試卷繼續堅持能力立意的命題指導思想，一如既往地貫穿邏輯思維能力的考查．選擇題中，多數試題都不能用特殊值法來解題，這樣既提高了學生的思維能力，又要求學生掌握學數學要在悟中學、學中悟和理解為前提的學習方法．很多試題的解答是基本的、傳統的通性通法，意在檢查考生對數學本質的理解與感悟，以及考查分析問題與解決問題的能力．如理科第4，7，10，16，21～22題和文科第14，21～22題等考查了數形結合思想，理科第6，19，22題和文科第12，21題等突出考查了分類討論思想．

3．3 強化思想，考查能力

試卷仍然重視高中數學基礎知識和基本數學思想方法的考查，同時突出主干知識和重要數學思想方法的考查．如分類討論思想是一種常見的數學思想，2012年的高考試卷中對它仍有進一步的考查，如函數與方程、化歸與轉化思想在多個試題中得到體現．特別重視了逆向思維的考查，如理科第7，9，17題，很好地體現了特殊性存在于一般性之中的哲學思想．

3.4 提倡應用，體現課標

試卷恰當地考查了學生的應用能力．理科試卷中第19題“摸球”問題，情景具有公平性，這類問題要求學生對所提供的信息資料進行歸納、整理和分析，將實際問題抽象為數學問題，并能用數學語言正確地表述，建立數學模型，應用相關的數學方法解決問題．對學生科學素質、探究能力的考查，理論聯系實際問題的能力，強調聯系生活、生產、環境等實際能力，發揮了良好的導向作用．如解析幾何問題突出坐標化思想，而方程思想則是坐標化思想的核心，如理科21題的第(Ⅱ)小題，利用點差法或韋達定理可得直線l的斜率為-32，由此可設直線的方程為y=-32x+m，進一步建立△ABP的面積S關于m的函數式，再利用求導數的方法即可得到當△ABP的面積S取到最大值時m的值．

4 體現差異，正確導向，在提高中思考

試卷的選擇、填空、解答題都分別由淺入深,使每位學生都能充分發揮應有的水平．試題的選拔功能突出，具有較高的信度、效度與區分度．如理科第20題的第(Ⅱ)小題求二面角的平面角的余弦值，可用多種方法求解，如向量法與綜合法等，有效地考查了考生思維的差異性．

4.1 題型出新，道道經典

試卷中很多試題融入了新課程、新大綱的理念，選材寓于教材又高于教材，如文科的第8，10，12，17，21～22題，理科的第9～10，14，16～17，19，21～22題等，每道題都是新題，道道經典．還有如理科第20題的第(Ⅱ)小題，文科第20題的第(Ⅱ)小題，對學生空間想象能力提出了新的要求，只有在平常注重思維能力培養的考生，才能找到合理的解題途徑，才能有效地解決問題．又如理科的第21題第(Ⅱ)小題，在解題中要用導數求最值，第22題在解題過程中要用到整體思想、分類討類思想、絕對值、線性規劃以及有較強的數學閱讀能力．

4.2 文理試題，差異加大

縱觀文、理2份試卷，文理“并蒂”，別具匠心，“姐妹題”特別多，命題者通過完全移植、題型改編、錯位排序、微調改造，降低了文科試卷的難度．注重文、理試卷的差異，體現新教材的特點，理科試卷創新力度較大，文科試卷相對穩定，體現了新課程文、理科數學各自的特點和要求．文、理的共同題有7道，其中選擇題有4道、填空題有3道；姐妹題有6道，其中客觀題有4道，解答題有2道；其余均為不同題．理科側重考查抽象概括、理性思辨能力，文科側重考查形象直觀、具體應用能力．

4. 3 入手容易，深入加難

試卷的解答題“入手容易深入難”比較明顯，如立體幾何和解析幾試題都需要考生耐心讀懂、細致計算．還有文科的第17，21題和理科的第10，16～17，22題都有這種情況，考查學生將文字語言轉化為數學語言的能力、理解能力以及分析問題和解決問題的能力．同時比較好地考查了學生對信息的接收、加工和輸出等數據處理能力，達到有效考查綜合素質的目的．

4．4 面對新題，調整心態

在題型、題量、結構、內容分布、重點知識略有提高的基礎上，在試題的選材、情景、設問、編排等方面作了很大改進，尤其是在深化能力立意，突出數學內涵方面更是邁出了新的步伐．試卷對學生在考試中遇到難點、面對新題及困難時的心態調整、戰勝困難的數學素養以及意志品質等非智力因素提出了新的要求，也為今后數學的教與學提出了新的挑戰．

5 數學復習，解題教學，在思考中感悟

通覽全卷，試卷傳遞一個信息，高中數學教學依靠“題型+技巧+大運動量訓練”的教學難以適應高考，呼喚突出數學本質、實現高中數學教學的自然回歸，有利于落實新課程改革，推動中學素質教育．根據2012年浙江省數學高考試卷的情況，面對2013年新課改數學高考，應該如何復習和教學呢？

5.1 關于數學復習

眾所周知，高考數學的復習面廣、量大，使不少考生感到畏懼、無從下手．如何提高數學復習的針對性和實效性？教你一招，高考數學復習法(簡稱“三問法”)：

(1)問自己：“學懂了沒有？”——主要解決“是什么”的問題，即學了什么知識；

(2)問自己：“領悟了沒有？”——主要解決“為什么”的問題，即用了什么方法；

(3)問自己：“會用了沒有？”——主要解決“做什么”的問題，即解決了什么問題．

具體來說就是，在數學高考復習中要駕馭好3條線：知識(結構)是明線(要清晰明了，能編成一張知識網)；方法(能力)是暗線(要提煉和領悟)；思維(訓練)是主線(要重視和加強)．

在如此高考導向下，每一位數學教師理應先審視課堂教學的著力點．如數學概念的復習，是高三數學復習最重要的一個環節．在學習數學的過程中，基本概念是基本技能的生成之本，數學思想方法的形成，更離不開對數學概念的深入理解．要通過復習課，提升學生對概念理解的更深層次，建議遵循如下原則:

(1)問題驅動原則．在教學中，“先羅列概念，再對應性的例題選講”型的復習課并不鮮見．這種“油水分離”的課，一般不會有好效果，因為“羅列”對優等生來說，不新奇，無刺激，他們不會積極參與；對后進生來說，光憑“羅列”會不了，記不住，所以也不會有興趣．好的方法是重點概念采取“問題驅動”，在解決問題中獲取概念．

(2)結構化、邏輯化原則．零散的知識不易理解，不易記憶，運用難以自如．因此，概念的復習還應遵循“結構化、邏輯化”原則．

5.2 關于“題海戰術”

就數學教學而言，“題海戰術”著眼于“面”的覆蓋，試圖窮盡“題型”，以便憑借“面積大”來提升覆蓋“考題”的幾率，希望學生能因更多的“熟面孔”而提高考試成績；“題型教學”著眼于“點”的落實，強調固化不同題型的解題規則，強調學生機械的記憶與模仿.兩者雖然各有側重，但都把教學重心落在解題上，因此，也有一定的應試效果．從長遠來說，數學教學若固守于此，不論對教師的“教”，還是對學生的“學”，都將會產生嚴重的負面影響．首先“題型”的條分縷析，匯集成“題海”泛濫，勢必加劇課堂教學越來越關注惰性知識的積累，越來越糾纏于細枝末節，無謂地加大學生負擔，使學生難以學到“精當”的數學．

其次，“題型教學”強調類型識別，固化解題規則，淡化解題策略的成因分析，這勢必造成學生思維活動的“短路”，雖掙扎于“題海”，卻不能擺脫“豬八戒吃人參果”的悲哀，由此導致學生能力難有實質的提高，對熟悉的題型可產生本能的反應，對不熟悉的題型很難做到具體問題具體分析，最終把鮮活的、富于挑戰性的數學解題智能淪落為以牢固記憶、熟練模仿為主要特征的解題技能．

數學的慣性是巨大的，在課堂教學中，特別是在高三復習課中，“高起點、大容量、快推進”的教學方式還在一定程度上存在著，以“記憶、模仿”為主要特征，而忽視理解的“題型教學”方式仍是應試備考工作中的主流方法，教學工作大多陷入“刻苦加刻苦、效率低下”的誤區．客觀形勢需要我們對數學教育的發展方向作出深刻的反思，即使再“功利”一些，至少也應該對如何提升高三復習的效率作出深刻的反思．

5.3 關于解題教學

解題教學，有的教師熱衷于解法羅列，在學生思維參與度很低的情況下，方法1、方法2、……，樂此不疲，殊不知過分依賴復制模仿，題型覆蓋，試題一變，便難以奏效，效率低下.從心理學角度看，解題技能是在解題策略的調控支配下實施的，而解題策略是解題者心理活動的產物.因此，解題教學與其說是教“解”法，不如說是教“想”法，幫助學生提升策略水平，才是解題教學的根本之道．

2012年的數學高考試卷風格是“難題和新題不是難在技巧上，而是難在策略上”.在教學中，如何提升學生的策略水平?這是一個很難回答的問題，可以試探性地做如下討論:學生的解題策略水平，離不開數學思想方法的支撐，離不開對數學概念的深入理解；脫離學生的認知基礎，一味強調“核心技能”的復制與模仿，難以提升策略水平；在學生的認知基礎上進行“技能訓練”而不進行“技能成因”的合理性、必要性探究，也難以提升學生的策略水平；學生策略水平的高低與學生包括閱讀理解在內的綜合能力有關，與學生數學學習的經驗水平有關，與學生面對陌生情境，能否進行信息加工，通過現象看本質的心理素質有關，與學生在長期的解題訓練中，能否不斷反思“技能成因”的合理性、必要性，進而內化為策略原則，即“元認知”水平有關．基于這樣的認識，要提升解題教學的效率，就必須做到如下幾點:準確把握學生的思維習慣、認知基礎，并以此作為解題策略生成的起點；教學中要善于引導學生把他們已有的生活經驗適時遷移到解題策略的制定上來；對于超出學生思維習慣、認知基礎的解題策略，教師可以啟發式講授，但要深入挖掘其合理性、必要性，力求自然、和諧、水到渠成.

5.4 關于高考感悟

對于2012年的數學高考試題，筆者覺得需要在模擬考試中提高心理適應度，遇難不慌，遇易不驕，穩扎穩打，精益求精．高三復習需強調的是要控制模擬的量，不能漫無目的地天天考，否則會疲倦麻木，效果不言自明．有些學生在高考時，題題被扣分，究其原因，大多數是答題不規范、抓不住得分要點、思維不嚴謹所致．建議考生平時應該練幾套有標準答案和評分標準的模擬卷(包括近幾年的高考試卷)，并且自批自改，精心研究評分標準，吃透評分標準，對照自己的習慣，時刻提醒自己，力爭減少無謂的失分，保證會做的不錯不扣分，即使不完全會做，也應理解多少做多少，增加得分機會．

在平時每次考試結束試卷發下來，要認真分析得失，總結經驗教訓，特別是將試卷中出現的錯誤進行分類：(1)遺憾之錯．就是分明會做，反而做錯了的題.如“審題之錯”是由于審題出現失誤，看錯數字等造成的；“計算之錯”是由于計算出現差錯造成的；“抄寫之錯”是在草稿紙上做對了，往試卷上一抄就寫錯了、漏掉了；“表達之錯”是答案正確但與試題要求的表達不一致．(2)似非之錯．記憶不準確，理解不夠透徹，應用不夠自如;回答不嚴密、不完整；第一遍做對了，一改反而改錯了，或第一遍做錯了，后來又改對了；一道題做到一半做不下去了等．(3)無為之錯．由于不會，因而答錯了或猜的，或者根本沒有答．這是無思路、不理解，更談不上應用的問題．原因找到后就消除遺憾,弄懂似非,力爭有為,切實解決“會而不對、對而不全”的老大難問題．

總之，數學是高考的主要學科，數學得分的高低，將會決定考生的高考命運．如何在高三比較短的時間里，獲得最佳的數學成績，一般是有規律可尋的，如下的幾條建議也許對讀者有一定啟示：按步思維，程序解答，回歸定義，分析轉化，數形結合，函數思想，分類討論，反面入手，特殊突破，重視通法．數學解題，事實上就是一系列的連續化歸與變形，就是將復雜的問題弄簡單、弄明白．當你的心在與書交流、與數學題對白時，心頭就會逐漸升起淡淡的喜悅，浮蕩的靈魂就能體驗到數學思維里的美妙和美妙思維里的數學．愿我們能在思考中學習數學，在理解中感悟數學，在運用中體驗數學．