海闊憑魚躍 天高任鳥飛
——2012年浙江省數學高考閱卷有感

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(元濟高級中學 浙江海鹽 314300)

海闊憑魚躍天高任鳥飛
——2012年浙江省數學高考閱卷有感

●甘建飛

(元濟高級中學 浙江海鹽 314300)

筆者有幸參加了2012年浙江省數學高考閱卷工作，對學生的解題感觸頗多：有功虧一簣的扼腕嘆息；有勢如破竹的暢快淋漓；有無可奈何的黯然喟然；更有那不期而遇的妙筆生花，帶來如陳酒般的醇香清洌.而唯有醇之悠長，讓人回味無窮.本文就部分妙解，與大家共饗.

1 用好錯誤解答，凸顯數學功底

例1 已知箱中裝有4個白球和5個黑球，且規定：取出一個白球得2分，取出一個黑球得1分.現從該箱中任取3個球(無放回，且每球取到的機會均等)，記隨機變量X為取出此3球所得分數之和.

(1)求X的分布列；

(2)求X的數學期望E(X)．

(2012年浙江省數學高考理科試題)

解題片斷記X為取到白球的個數，X的可能取值為0，1，2，3，則X的分布列為(見表1)：

表1 X的分布列

故

該生一看，審題有誤：隨機變量X為取出此3球所得分數之和，而解答時記X為取到白球的個數了.學生靈機一動，將X改為Y，繼續作答：

記Y為取到白球的個數，Y的可能取值為0,1,2,3，則Y的分布列為(見表2)：

表2 Y的分布列

故

(1)由Y的分布列可得X的分布列(見表3)：

表3 X的分布列

(2)由題意，X=2Y+3-Y=Y+3，則

點評1 不得不佩服該生的隨機應變能力,利用“錯解”中的“有用結論”，化腐朽為神奇，成功地將“錯解”扭轉為“妙解”.

另外，在本題的解答上，除有些學生審題不清，誤以為是“放回模型”外，以下解法卻不容閱卷教師小覷.

因為X=2Y+3-Y=Y+3,所以

點評2 超幾何分布與二項分布的期望相同是一個既成事實，但由于缺少教材支持，中學數學教學是有意回避的，不過仍有部分學生“知道”這個事實.關于該結論的推導，有興趣的讀者可以查閱文獻[1].

2 高思維水平學生的舞臺

2.1 動中取靜，信手拈來

(1)求tanC的值；

(2012年浙江省數學高考理科試題)

解題片斷(1)略.

由正弦定理,得

b=c.

解得

故

點評該生抓住了“三角形中某條邊與某條邊的對角為定值時，該三角形的外接圓為定圓”這一特性，找到了“三角形系”的共性，并通過幾何圖形，化抽象為具體，使動態問題“躍然紙上”，并從動態出發，化動為靜，通過簡單的運算就完成解答，讓人耳目一新.

圖1 圖2

2.2 因式分解并非“巧合”

(1)求橢圓C的方程；

(2)求△ABP面積取最大值時直線l的方程.

(2012年浙江省數學高考理科試題)

解題片斷(1)略.

(2)在該小題的解答中，

u′(m)=-4(m3-6m2+2m+24)

的因式分解是難點.除了少數學生“試根”成功，發現m-4是多項式的一個因子外，更多的學生對此束手無策，缺少試根的方向，使解題陷入了困境.但也有部分學生處變不驚：

若m-m0是多項式的一個因子，則

m0∈{±1,±2,±3,±4,±6,±8,±12,24},

經驗證m0=4成立，所以

m3- 6m2+2m+24=

m3-4m2-2(m2-m-12)=

(m-4)(m2-2m-6).

點評1 對于n次整系數多項式：

anxn+an-1xn-1+…+a1x+a0，

點評2 求面積公式的幾種方法.

注意到∠PMA為定值，因此決定面積大小的是|AB|·|PM|的大小.

圖3 圖4

S△ABP=S△ABN-S△PBN=

面積的計算是一個常規問題，大多學生不假思索“悟到”了參考答案的計算方法，上述學生“藝高人膽大”，能在高考時嘗試“優化”面積的計算方法，難能可貴.

3 擺脫思維定勢，綻放思維火花

3.1 立體幾何妙用平面向量

(1)證明：MN∥平面ABCD;

(2)過點A作AQ⊥PC，垂足為點Q，求二面角A-MN-Q的平面角的余弦值.

(2012年浙江省數學高考理科試題)

圖5 圖6

解題片斷本題第(2)小題平面角的尋找相對容易，但計算繁瑣.有學生不拘泥于通法，借助直角三角形的特性，巧用平面向量工具求解：

取線段MN的中點E，聯結AE，EQ,易得∠AEQ為二面角A-MN-Q的平面角.

如圖6，設O為AC的中點，易得E為PO的中點，分別以AC,AP為x,y軸建立直角坐標系xAy，則

故

點評立體幾何方法通常分為常規幾何方法和空間向量方法.本題向量法計算量較大，使用常規幾何方法，二面角的平面角雖容易找到，但3條邊的長都算出來卻不容易.該生能從常規幾何方法入題，在計算上“移花接木”，用平面向量解決計算問題，大大減少了運算量.

3.2 導數問題，未必求導

例5 已知a>0,b∈R，函數f(x)=4ax3-2bx-a+b.

(1) 證明：當0≤x≤1時，

①函數f(x)的最大值為|2a-b|+a；

②f(x)+|2a-b|+a≥0.

(2)若-1≤f(x)≤1對x∈[0,1]恒成立，求a+b的取值范圍.

(2012年浙江省數學高考理科試題)

解題片斷本題第(1)小題，大多學生是通過求導和研究函數圖像求解，也有學生另辟蹊徑：

令g(x)=4ax3-2bx-a+b-|2a-b|+a.

當2a-b≥0時，

g(x)=(x-1)[4ax2+4a-2(2a-b)].

因為x≤1，a>0，2a-b≥0，所以g(x)≤0(當且僅當x=1時取到等號)．

當2a-b<0時，g(x)=x(4ax2-2b).

因為x≥0，4ax2-2b≤4a-2b<0,所以g(x)≤0(當且僅當x=0時取到等號)．

綜上所述,

f(x)≤|2a-b|+a.

點評該生將函數的最大值問題轉化為不等式的恒成立問題，擺脫了“導數題必求導”的思維定勢，并能考慮到不等式成立與函數最大值的差別，思路之開闊，表述之嚴謹，令人稱道.

[1] 李輝.二項分布若干性質的思考[J].中學教研(數學)，2011(3)：21-23.