平淡中出精彩 常規中顯能力
——對2012年浙江省數學高考理科第21題的幾點思考

●

(金華市第一中學 浙江金華 321015)

平淡中出精彩常規中顯能力
——對2012年浙江省數學高考理科第21題的幾點思考

●鄭燕平

(金華市第一中學 浙江金華 321015)

2012年高考已經落下帷幕，筆者特別關注了浙江省數學高考理科第21題.這是一道集橢圓的方程、直線與橢圓的位置關系、中點弦、面積的最值問題等知識于一體的綜合性試題.此題看似平淡，卻精彩紛呈.看似常規，卻彰顯能力.本文就對此題作一探討，請讀者批評指正.

圖1

(1)求橢圓C的方程；

(2)求△ABP的面積取最大時直線l的方程．

1 解法分析

省考試院給出的參考答案如下：

解(1)設橢圓的左焦點F(-c,0),則由題意得

解得

所求的橢圓方程為

(2)設A(x1,y1),B(x2,y2),線段AB的中點為M.當直線AB與x軸垂直時，直線AB的方程為x=0，與不過原點的條件不符，舍去.故可設直線AB的方程為

y=kx+m(m≠0).

(3+4k2)x2+8kmx+4m2-12=0,

(1)

則

Δ=64k2m2-4(3+4k2)(4m2-12)>0,

3x2-3mx+m2-3=0,

則

Δ=3(12-m2)>0,

設點P到直線AB距離為

設△ABP的面積為S，則

則u′(m)= -4(m-4)(m2-2m-6)=

綜上所述，所求直線l方程為

本題主要考查橢圓的幾何性質、直線與橢圓的位置關系等基礎知識，同時考查解析幾何的基本思想方法：設點、聯立方程、Δ判別法以及分析問題、解決問題的綜合數學能力，是屬于比較傳統的圓錐曲線綜合問題.本題第(1)小題，比較簡單，屬于解析幾何中的基本量求解軌跡方程的問題；第(2)小題，涉及求直線方程，與2011年的求方程有相似之處，但思維難度有一定程度的降低.首先此問題是中點弦的問題，學生不難求出直線AB的斜率，然后再處理△ABP面積的最值問題，將面積表示成關于m的目標函數，再用導數來求其最值.在這個過程中有2個難點：(1)面積表示雖然思路常規，但計算量大，易出錯；(2)面積表示出來求最值有難度，之前遇到用基本不等式居多，不太容易想到導數法，且求導易出錯，加之運算量大,時間緊，學生比較難完整解出.

2 解法探究

第一眼看到此題都覺得很常規、很平淡，學生入手容易但想拿滿分比較難.經過一段時間的思考探究，筆者有以下幾點拙見.

2.1 對本題解法的幾點改進

改進1對求直線AB斜率的改進.

參考答案中第(2)小題求直線AB的斜率，用聯立方程、韋達定理稍顯復雜且易算錯，這里涉及弦中點問題，可采用點差法，過程如下：

相減整理可得

改進2對△ABP面積表示過程的改進.

參考答案中第(2)小題將△ABP的面積表示為關于m的目標函數，過程較復雜，可以采用面積分割來求三角形的面積，過程如下：

聯結點P(2，1)和橢圓的右頂點C(2，0)，延長AB交PO于點Q(2，m-3)，則

2.2 另辟捷徑，巧解此題

在復習過程中,有些橢圓問題利用“化橢為圓”的方法處理，起到化繁為簡的神奇功效.筆者也做了嘗試，有意想不到的收獲，過程如下：

x′2+y′2=1.

縱截距為

圓在平面幾何中占有重要的地位,同時圓的性質在平面解析幾何中也有廣泛而靈活的應用.巧妙運用圓的性質,不僅可以避免在解決解析幾何問題時因其求解過程繁雜冗長而陷入困境,還可以使問題輕而易舉獲得解決,充分感受平面幾何的魅力.此題還可以設OR=x為變量表示目標函數來解決更方便，有興趣的讀者可以嘗試一下！

3 評析思考

(1)本題較好地體現了現代社會對數學教育的需求，情境熟悉、形態鮮活；采用“以能力立意”的命題思想，注重新舊知識的交匯，著力考查知識和技能的應用能力和遷移潛質，使新課程所倡導的“多樣性、交叉性、縱向不深、橫向拓寬”的命題要求得以充分地體現；突出高考的選拔功能，具有較高的準確度和區分度.

(2)與讀者一起欣賞一個利用“化橢為圓”思想解決效果非常好的練習題：

①求橢圓的方程；

②若直線AB過橢圓的焦點F(0,c)，(c為半焦距)，求直線AB的斜率k的值；

③試問：△AOB的面積是否為定值？

(3)思考：此類問題中這條直線是否與橢圓的參數a,b,c有關?

[1] 劉建中.追求新穎 彰顯理念 體現特色——2008年高考江蘇卷第17題品讀[J].中學數學，2008(12)：33-35.

[2] 羅增儒.心路歷程：認識、反思、拓展——談2007年全國高考數學陜西卷理科第21題[J].中學數學教學參考，2007(9):23-26.