導數與解析幾何完美的交匯
——2012年浙江省數學高考文、理科解析幾何題評析

(溫州市第十五中學 浙江溫州 523011)

導數與解析幾何完美的交匯
——2012年浙江省數學高考文、理科解析幾何題評析

●黃高涌

(溫州市第十五中學 浙江溫州 523011)

1 教學要求與考查要求

解析幾何是高中數學的主干內容，其核心是用代數的方法研究解決幾何問題，體現數形結合的思想方法，此類試題主要考查運算求解能力和推理思維能力．2012年浙江省數學高考文、理科試卷的解析幾何題都是3個，其中理科共計24分,文科共計23分．

2 命題特點和知識類型

2012年浙江省數學高考解析幾何題有3個明顯的特點：

(1)選擇題以考查基本知識和基本技能為主，覆蓋橢圓、雙曲線、拋物線等基本內容.文科第8題是橢圓與雙曲線有共同焦點的問題，理科第8題是直線與雙曲線漸近線交點問題，要求學生掌握圓錐曲線的基本幾何性質．

(2)填空題考查點、直線與圓錐曲線位置關系的應用，文科第17題、理科第16題都是直線與拋物線的最小距離問題，體現了要求學生掌握直線與圓錐曲線的基本位置關系的一些簡單應用．

(3)解答題文科第22題、理科第21題是直線與圓錐曲線位置關系中的面積最值問題，題目清晰簡潔，學生容易理解題意，解題方法常規.然而設置求最值的目標函數卻很復雜，不能用一般方法求，必須轉化為高次函數，利用導數求出最值.要求學生掌握利用導數解決最值問題的一般方法，體現了導數在解決最值問題中的重要性．

3 解析幾何題的主要內容

圖1

(1)求橢圓C的方程；

(2)求△ABP面積取得最大時直線l的方程.

(2012年浙江省數學高考理科試題)

(2)第1階段：

設直線l:y=kx+m,代入橢圓方程C得

3x2+4(kx+m)2=12,

即 (3+4k2)x2+8kmx+4m2-12=0.

(1)

設線段AB的中點坐標為(x0,y0),則

從而

3x2-3mx+m2-3=0,

第2階段：

設f(m) =(m-4)2(12-m2)=

-m4+8m3-4m2-96m+192,

求導得

f′(m)= -4m3+24m2-8m-96=

-4(m-4)(m2-2m-6)=

圖2

(1)求p,t的值；

(2)求△ABP面積的最大值.

(2012年浙江省數學高考文科試題)

(2)第1階段：

設直線l:y=kx+m,代入拋物線方程C:y2=x,得

y=ky2+m,

即

ky2-y+m=0.

設線段AB的中點坐標為(x0,y0),則

由線段AB被直線OM：y=x平分，得

從而

第2階段：

設f(x) =(x+1)2(1-x)=-x3-x2+x+1,求導得

f′(x)=-3x2-2x+1=-(3x-1)(x+1),

分析(1)例1的第(2)小題和例2的第(2)小題，都是在直線與圓錐曲線位置關系中求面積最值問題，解決方法都屬于圓錐曲線的通性通法，題意容易理解，便于入手．

(2)在第1階段的解答中，2個問題都出現較復雜的目標函數:

(3)2012年浙江省數學高考文、理卷的解析幾何題對利用導數求最值中出現較復雜函數提出了一定的要求，這對提升學生用導數解決應用問題的能力有良好的導向作用，需要教師在教學中注重提升學生運用知識解決實際問題的能力．

4 教學建議

(1)重視直線、圓錐曲線的基本知識、基本方法、基本技能.如直線方程的選取、點到直線的距離、直線與圓錐曲線相交弦長公式及直線與圓錐曲線相交的存在時的取值范圍．

(2)重視對解析幾何最值問題目標函數的構造.如何把復雜的目標函數轉化為或換元為一般函數，然后利用導數求出最值，學生往往重視不夠，有必要在教學中加以強化.

(3)重視含參數的函數最值問題,比較熟練掌握導數在解決函數問題中的一般方法.

(4)解析幾何在培養學生的思維能力固然重要，但是如何在繁雜的演算中，理清思路，轉化為一般問題，從而解決實際問題，是學好解析幾何的基礎，也是今后在實際問題解決中必須具備的能力.