背景簡潔 內蘊豐富
——2012年浙江省數學高考理科函數導數綜合題賞析

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(杭州市第二中學 浙江杭州 310053)

背景簡潔內蘊豐富
——2012年浙江省數學高考理科函數導數綜合題賞析

●徐存旭

(杭州市第二中學 浙江杭州 310053)

2012年浙江省數學高考理科試題延續前幾年的傳統，繼續以函數導數綜合問題作為壓軸題.在繼承傳統的基礎上，2012年的函數導數壓軸試題又有所變化與創新，其背景簡潔，而又內蘊豐富，是一道有著極好的區分和壓軸功能的試題.

1 試題及其解答

例1已知a>0，b∈R，函數f(x)=4ax3-2bx-a+b．

(1) 證明：當0≤x≤1時，

①函數f(x)的最大值為|2a-b|+a；

②f(x)+|2a-b|+a≥0.

(2)若-1≤f(x)≤1對x∈[0,1]恒成立，求a+b的取值范圍．

(1)證明由題意

①當b≤0時，f′(x)≥0在0≤x≤1上恒成立，此時f(x)在[0,1]單調遞增，其最大值為：

f(1)=4a-2b-a+b=3a-b=|2a-b|﹢a.

當b>0時，

f(x)max= max{f(0),f(1)}=

max{(b-a),(3a-b)}=

綜上所述,函數f(x)在0≤x≤1上的最大值為|2a-b|﹢a.

②令h(x)=f(x)+|2a-b|+a，原題即證

h(x)min≥0,

由題意

當b≤0時，h(x)=f(x)=12ax2-2b≤0在0≤x≤1上恒成立，此時h(x)在[0,1]單調遞增，其最小值為：

h(0)=f(0)+|2a-b|+a=

-a+b+2a-b+a=2a≥0,

即f(x)+|2a-b|﹢a≥0.

當b>0時，

h(1)=f(1)+|2a-b|+a=

3a-b-2a+b+a=2a≥0,

即

f(x)+|2a-b|﹢a≥0.

當2a≤b≤6a時，

當0

即b>0時，f(x)+|2a-b|+a≥0.

綜上所述，f(x)+|2a-b|+a≥0成立.

(2)解由第(1)小題知，當x∈[0,1]時，

-(|2a-b|+a)≤f(x)≤|2a-b|+a，

則-1≤f(x)≤1對x∈[0,1]恒成立等價于|2a-b|+a≤1，即

亦即

圖1

其對應的區域在平面直角坐標系aOb中如圖1的陰影部分所示(其中不包括線段BC).作一組平行直線a+b=t，得

-1

即a+b的取值范圍是(-1,3].

上述解答應用導數，對函數在區間上的最值進行分類討論，其中第(1)題中的第②小題為了去掉絕對值，又對2a-b進行討論，要求較高，解答不夠簡潔.而參考答案很好地解決了這個問題，通過改變討論的順序，將范圍不定的參數b通過不等式的放縮去掉，從而達到了簡化討論的目的.下面筆者給出第②小題的另外2種證明方法.

證法1由于0≤x≤1，則

當b≤2a時，

f(x)+|2a-b|+a=f(x)+3a-b=

4ax3-2bx+2a≥

4ax3-4ax+2a=

2a(2x3-2x+1)；

當b>2a時，

f(x)+ |2a-b|+a=f(x)-a+b=

4ax3-2b(1-x)-2a>

4ax3+4a(1-x)-2a=

2a(2x3-2x+1).

設g(x)=2x3-2x+1(0≤x≤1)，則

故

f(x)+|2a-b|+a≥2a(2x3-2x+1)≥0.

這樣的放縮是神來之筆，其方法和技巧值得學習.基于減少參數的想法，注意到要證的式子中關于字母a,b是齊次的，可以有下面的方法：

證法2要證f(x)+|2a-b|+a≥0，注意到a>0，只需證

只需證

(1)

h(x)=4x3-2tx+t+|2-t|.

下證h(x)≥0,去絕對值討論和導數零點討論與證法1類似(略).

2 考生答題反饋

作為壓軸題，本題的難度系數約為0.1.第(1)題中的第①小題學生還是可以動手的，對要證明的問題進行轉化，以及對函數進行求導運算.很多學生反映第②小題討論的思路不是很清楚，參考答案上的方法若沒有經過相當的訓練，學生是很難想到的.而第(2)題以第(1)題為基礎，難度不是太大，學生可以應用第(1)題中的結論直接作答.

3 試題特點和命題思路探尋

3.1 背景簡潔

試題以三次函數為背景，區別于前幾年的相關試題中含有指數、對數的情形，使得函數問題背景顯得更加的簡潔，富于美感.同時試題表述規范、簡明，充分利用絕對值等數學符號，使得結論精簡，是個作答后可以長留記憶的精美試題.

3.2 內蘊豐富

雖然背景簡潔，入手容易，但要深入解答，還是有一定難度的，這也是浙江省數學高考壓軸題的一貫特色.試題綜合了函數的單調性、最值、導數、絕對值、線性規劃等知識，考查學生應用導數判斷求解函數的單調區間、最值的基本方法，同時有機地將轉化化歸、分類討論、數形結合和函數與方程等數學核心思想融入解答過程之中.

為考查學生應用分類討論的數學思想求解函數最值問題，命題者引入雙參數，巧妙地設置雙參數的位置、系數和運算關系，使得設問簡潔而又富于內涵.對函數f(x)=4ax3-2bx-a+b，注意到f′(x)=12ax2-2b，f″(x)=24ax，a>0,x∈[0,1]，則有f′(x)=24ax≥0，即函數f(x)在區間[0,1]上是下凸的，顯然有

f(x)max=max{f(0),f(1)}，

其中f(0)=-a+b=(-2a+b)+a；

f(1)=3a-b=(2a-b)+a.

結合最大值取得的情形，有f(x)max=|2a-b|+a.對最小值也可以有同樣的結論.細心的讀者還可以從這里讀出2009年浙江省高中數學競賽第19題的痕跡.在參數設置時，注意到，若令f(x)=4ax3-2bx-a+b的一個原函數為

y=ax4-bx2+(b-a)x，

則

其幾何意義為函數f(x)夾在區間[0,1]上的部分與坐標軸所圍成的“面積”為0(x軸上方的面積為正，下方為負)，則函數f(x)必在區間[0,1]上有零點，起到了調控試題難度的作用.當然，從問題變式的角度考慮，這個結論可以單獨設問，即

已知a>0，b∈R，函數f(x)=4ax3-2bx-a+b．證明：函數f(x)在區間[0,1]上必有零點.

讀者不妨一試.為了證明f(x)+|2a-b|+a≥0，需要轉化為求解f(x)或f(x)+|2a-b|+a的最小值，對學生的分析、轉化能力起到很好的考查目的.第(2)題求a+b的取值范圍需要運用線性規劃知識，這是數形結合思想最好的考查載體.而函數單調區間的確立，則充分用到函數導數零點的知識.

整個求解過程中，考生必須綜合運用分析、轉化、運算求解、代數變形、不等式放縮、繪圖識圖等數學能力，任何一個環節的缺失，都可能會功虧一簣,數學能力的考查滲透在求解的各個步驟中.

3.3 命題思路探尋

在確立考查立意的基礎上，命題者試圖以簡單的函數背景(三次函數)、熟知的數學問題(函數在給定區間上的最值范圍、參數范圍等)，綜合考查考生的數學知識、思想方法和能力.正如上面的分析，應該說命題者很好地達到了這個目的.在設問表達時，還很好地體現了梯度.第(1)題中設置證明最大值和證明最小值的范圍2個小題，均為證明，不設求解，減少難度，增加入口.而作為層遞關系的第(2)題，其求解需要依托第(1)題的結論，給思維靈活的考生留下了發揮的空間.

4 教學啟示

高考試題是平時教學和復習備考的指揮棒，透過試題，我們的教學和備考可以在下面幾個方面作出努力.

4.1 夯實基礎，加深對數學知識的理解

如本題雖然綜合，但還是可以分解為一個一個簡單基礎的問題.從這個角度來說，基礎知識的熟練掌握永遠是數學教學和數學學習的基石.熟練掌握基礎知識，就可以形成對數學知識的深入理解，在調用和應用基礎知識解決問題的過程中才會有速度和效率，也會有更多的靈感.

4.2 積累方法，加強對數學思想的滲透

數學問題的求解是講究方法的，數學方法既有常規的通性通法，又有一些特定的巧方妙法.突破壓軸題，是數學考試中的很高要求，沒有方法的積累，更多的時候只能望題興嘆.平時的教學過程中，若能有意識地進行解題方法的提煉，進行數學思想的滲透，常能取到事半功倍的效果.

4.3 精講精練，著意對數學能力的提升

學生面對或熟悉或陌生的問題情境，是否能解決問題最終落實到數學能力.分析、比較、運算和推理能力的訓練等應成為數學學習的常態.設置精當的例題、練習，對學生進行有針對性的能力訓練和提升，是解決綜合問題、壓軸問題不可替代的方法.

一道好的數學試題常常引發我們持久的思考，讓我們有機會加深對數學知識、數學方法和數學思想的理解，引發我們對數學課堂教學、數學備考工作的反思和提升.2012年浙江省數學高考理科壓軸題，正是如此.