接天蓮葉無窮碧 映日荷花別樣紅
——2012年浙江省數(shù)學(xué)高考創(chuàng)新題評(píng)析

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(龍泉市第一中學(xué) 浙江龍泉 323700)

接天蓮葉無窮碧映日荷花別樣紅
——2012年浙江省數(shù)學(xué)高考創(chuàng)新題評(píng)析

●林懷傳

(龍泉市第一中學(xué) 浙江龍泉 323700)

自從2004年浙江省高考數(shù)學(xué)考試說明首次將創(chuàng)新意識(shí)作為高考數(shù)學(xué)考查的七大能力之一走進(jìn)高考試卷以來，伴隨課程改革的腳步，浙江卷中的創(chuàng)新題如縷縷清風(fēng)，拂面而來.它們題意明確、構(gòu)思精巧、內(nèi)涵深刻、解法靈活，構(gòu)成了浙江卷中一道靚麗的風(fēng)景．近8年的命題實(shí)踐，浙江卷對(duì)創(chuàng)新意識(shí)的考查定位為：對(duì)創(chuàng)新意識(shí)的考查是對(duì)高層次理性思維的考查，要?jiǎng)?chuàng)設(shè)新穎的問題情景，構(gòu)造有一定深度和廣度的數(shù)學(xué)問題，注重問題的多樣化，體現(xiàn)思維的發(fā)散性，精心設(shè)計(jì)考查數(shù)學(xué)主體內(nèi)容、體現(xiàn)數(shù)學(xué)素質(zhì)的試題；反映數(shù)、形運(yùn)動(dòng)變化的試題及研究型、探索型、開放型的試題．2012年浙江卷中的創(chuàng)新題更是讓人耳目一新，它們或自然清新、簡(jiǎn)潔明快，或意境高遠(yuǎn)、耐人咀嚼．可謂接天蓮葉無窮碧，映日荷花別樣紅．本文從關(guān)注學(xué)科本質(zhì)，支持高中課改，彰顯理性精神和人文價(jià)值等視角，對(duì)2012年浙江省數(shù)學(xué)高考試卷中的創(chuàng)新題加以評(píng)析．

1 常中見新，展示高考創(chuàng)新題對(duì)數(shù)學(xué)學(xué)科本質(zhì)的關(guān)注

對(duì)支撐高中數(shù)學(xué)學(xué)科的主干內(nèi)容，堅(jiān)持重點(diǎn)考查，并做到?？汲Ｐ?，是高考浙江卷的命題宗旨之一．新意從何而來？分析近年來的浙江省高考試題，不難發(fā)現(xiàn)浙江卷特別強(qiáng)調(diào)用統(tǒng)一的數(shù)學(xué)觀點(diǎn)組織材料，通過巧妙設(shè)問、精心設(shè)置問題，突出創(chuàng)新意識(shí)的考查．精巧的構(gòu)思一方面是為考生從不同角度、運(yùn)用不同思維方法求解問題預(yù)設(shè)了多種解題途徑，提供充分展示能力的空間,另一方面也凝聚命題專家對(duì)數(shù)學(xué)內(nèi)涵的揭示，以及數(shù)學(xué)思維的感悟、數(shù)學(xué)思想方法的體驗(yàn)，也就是對(duì)數(shù)學(xué)本質(zhì)的關(guān)注．

例1設(shè)Sn是公差為d(d≠0)的無窮等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和，則下列命題錯(cuò)誤的是 ( )

A.若d<0，則數(shù)列{Sn}有最大項(xiàng)

B.若數(shù)列{Sn}有最大項(xiàng)，則d<0

C.若數(shù){Sn}是遞增數(shù)列，則對(duì)任意n∈N*，均有Sn>0

D.若對(duì)任意n∈N*，均有Sn>0，則數(shù)列{Sn}是遞增數(shù)列

(2012年浙江省數(shù)學(xué)高考理科試題)

點(diǎn)評(píng)數(shù)列是高中數(shù)學(xué)的重要內(nèi)容．本題抓住數(shù)列是特殊的函數(shù)這一本質(zhì)屬性，站在函數(shù)的角度(單調(diào)性和最值)構(gòu)思4個(gè)選項(xiàng)，樸實(shí)中含新意．人教A版《數(shù)學(xué)》必修4中特別強(qiáng)調(diào)用函數(shù)的圖像進(jìn)行等差數(shù)列與等比數(shù)列相關(guān)性質(zhì)的研究，說明考查的導(dǎo)向與教材的變化相吻合．

教學(xué)啟示數(shù)列是中學(xué)數(shù)學(xué)的主干內(nèi)容之一．新教材把數(shù)列作為反映自然規(guī)律的基本模型來認(rèn)識(shí)，在內(nèi)容編排上有下列3個(gè)特點(diǎn)：(1)增加了數(shù)列的實(shí)際應(yīng)用背景；(2)突出了某些重要的數(shù)學(xué)思想方法的運(yùn)用，如類比思想、歸納思想、數(shù)形結(jié)合思想、算法思想、方程思想以及特殊到一般的思想方法；(3)強(qiáng)調(diào)了基本量思想，但對(duì)涉及5個(gè)基本量之間的繁難的技能訓(xùn)練題目，要求明顯降低．在教學(xué)中，教師要在認(rèn)真分析教材的基礎(chǔ)上，按要求組織教學(xué)，用自己的教學(xué)行為踐行教材的變化．

例2設(shè)a∈R,若x>0時(shí)，均有[(a-1)x-1](x2-ax-1)≥0,則a=______．

(2012年浙江省數(shù)學(xué)高考理科試題)

點(diǎn)評(píng)試題立足于中學(xué)數(shù)學(xué)中主干內(nèi)容——函數(shù)和不等式．以學(xué)生最為常見的含參數(shù)不等式為載體，考查學(xué)生理解能力、推理能力和數(shù)形結(jié)合的思想方法．

圖1

教學(xué)啟示數(shù)形結(jié)合是中學(xué)數(shù)學(xué)的重要思想方法，如何幫助學(xué)生領(lǐng)會(huì)數(shù)形結(jié)合的本質(zhì)并能在新的問題情景中靈活運(yùn)用？首先是要提高學(xué)生恒等變形的能力，恒等變形是只變其形不變其質(zhì)的數(shù)學(xué)推理，目的是為了從“好”的形式中看出數(shù)學(xué)關(guān)系式的本質(zhì)．其次是要提高學(xué)生的轉(zhuǎn)化能力，也就是一方面數(shù)量關(guān)系和幾何圖形(像)的相互轉(zhuǎn)化，另一方面是定性結(jié)果和定量結(jié)果的相互轉(zhuǎn)化.再次是用統(tǒng)一觀點(diǎn)聯(lián)系對(duì)象的能力，特別注意函數(shù)觀點(diǎn)是把不同對(duì)象聯(lián)系起來的好觀點(diǎn)．

2 淡中見雅，體現(xiàn)高考創(chuàng)新題對(duì)深化新課改理念的支持

情境的新穎性是創(chuàng)新型試題的一個(gè)顯著特點(diǎn)．考生應(yīng)對(duì)情境新穎的試題，一般需要具有自主學(xué)習(xí)的能力，即會(huì)搜集、提煉、加工信息，對(duì)閱讀內(nèi)容進(jìn)行概括和理解，看清問題的本質(zhì)，然后通過分析、演算、歸納、猜想、類比或論證等方法解決問題．這種設(shè)計(jì)問題的思路和新課程強(qiáng)調(diào)的改變學(xué)生的學(xué)習(xí)方式,提倡自主學(xué)習(xí)不謀而合．2012年浙江卷的情景設(shè)置淡中見雅．“淡”是指保持問題情境的數(shù)學(xué)味，自然清新，不刻意堆砌，不隨意裝飾．“雅”是指試題呈現(xiàn)簡(jiǎn)潔明快，試題內(nèi)涵意境高遠(yuǎn)．

例3設(shè)a>0,b>0. ( )

A.若2a+2a=2b+3b,則a>b

B.若2a+2a=2b+3b,則a

C.若2a-2a=2b-3b,則a>b

D.若2a-2a=2b-3b,則a

(2012年浙江省數(shù)學(xué)高考試題)

點(diǎn)評(píng)本題情境新穎，結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)單但內(nèi)涵豐富．審題時(shí)需要考生搜集、提煉、加工試題信息，并在概括中理解．解題思路寬、方法多，從不同角度測(cè)試學(xué)生的數(shù)學(xué)能力．本題最讓人稱道之處是簡(jiǎn)潔明快，意境高遠(yuǎn)．

圖2

分析方法1運(yùn)用函數(shù)圖像

設(shè)f(x)=2x+2x和g(x)=2x+3x，畫出其圖像(如圖2)，觀察圖像可知選A.

方法2反證法

設(shè)a≤b，則2a≤2b且2a≤3b，從而2a+2a≤2b+3b得出矛盾，從而選A．

教學(xué)啟示新課程要求在課堂教學(xué)中創(chuàng)設(shè)問題情景，激發(fā)學(xué)生的思維活動(dòng)．本題為我們?nèi)粘＝虒W(xué)中的情景創(chuàng)設(shè)提供了范例．面對(duì)本題，許多考生都有“心欲求而未得，口欲言而不能”的感受，這說明了好的問題和好的情景真正達(dá)到了情景交融的境界．

A.存在某個(gè)位置，使得直線AC與直線BD垂直

B.存在某個(gè)位置，使得直線AB與直線CD垂直

C.存在某個(gè)位置，使得直線AD與直線BC垂直

D.對(duì)任意位置，3對(duì)直線“AC與BD”、“AB與CD”、“AD與BC”均不垂直

(2012年浙江省數(shù)學(xué)高考理科試題)

點(diǎn)評(píng)本題借助圖形運(yùn)動(dòng)考查考生對(duì)立體幾何中的直線和直線的位置關(guān)系的掌握程度，選取角度獨(dú)特，不落窠臼，設(shè)問方式有創(chuàng)新，是整份試卷中唯一一個(gè)確定結(jié)論是否存在的存在型問題．

分析如圖3，△ABD在翻折過程中，點(diǎn)A在平面ABCD內(nèi)的射影的軌跡是線段AA′，當(dāng)點(diǎn)A在平面ABCD內(nèi)射影A0在AA′和CD的交點(diǎn)處時(shí)，AD的射影和BC垂直，因此AB與CD垂直．

圖3

教學(xué)啟示本題的解題過程就是“直觀感知—操作確認(rèn)—思辨論證”.新課程對(duì)立體幾何教學(xué)設(shè)計(jì)的要求是遵循“直觀感知—操作確認(rèn)—思辨論證”的認(rèn)知過程，讓學(xué)生通過自主探索、合作交流，進(jìn)一步認(rèn)識(shí)和掌握空間圖形的性質(zhì),積累數(shù)學(xué)活動(dòng)的經(jīng)驗(yàn)、發(fā)展合情推理能力、發(fā)展空間觀念．其中“直觀感知—操作確認(rèn)—思辨論證”是過程也是目的，更是積累數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)、感悟理性思維的好策略．新課改理念為高考創(chuàng)新題的命制提供了更加肥沃的土壤．

3 俊中見秀，彰顯高考創(chuàng)新題內(nèi)蘊(yùn)的科學(xué)和人文價(jià)值

背景新穎、內(nèi)涵深刻是高考創(chuàng)新題的靈魂．2012年浙江卷中的創(chuàng)新題從學(xué)科的整體知識(shí)結(jié)構(gòu)和思想體系的高度設(shè)計(jì)試題，載體簡(jiǎn)單，題干簡(jiǎn)潔，往往從一個(gè)小的視角出發(fā)進(jìn)行深層次的挖掘，呈現(xiàn)出一個(gè)大的問題，展示出一個(gè)大的觀點(diǎn)，構(gòu)造出一個(gè)大意境，也就是在俊美的外表下蘊(yùn)含科學(xué)和人文價(jià)值的秀氣．

例5已知a>0，b∈R,f(x)=4ax3-2bx-a+b,

(1) 證明：當(dāng)0≤x≤1時(shí),

①函數(shù)f(x)的最大值為|2a-b|+a;

②f(x)+|2a-b|+a≥0.

(2)若-1≤f(x)≤1,對(duì)x∈[0,1]恒成立，求a+b的取值范圍．

(2012年浙江省數(shù)學(xué)高考理科試題)

點(diǎn)評(píng)該題語言簡(jiǎn)潔、準(zhǔn)確，模型具體、簡(jiǎn)明，融思想、能力與素質(zhì)于一體．對(duì)雙參數(shù)的三次函數(shù)f(x)=4ax3-2bx-a+b，粗看意料之外，細(xì)想情理之中．用最簡(jiǎn)單的函數(shù)設(shè)計(jì)最深刻的問題正是為了突出對(duì)數(shù)學(xué)思想方法和人文價(jià)值的考查.

分析第(1)小題，學(xué)生只需注意a>0和0≤x≤1這2個(gè)條件，運(yùn)用開口向上的二次函數(shù)在閉區(qū)間上的最大值只能在端點(diǎn)處取到，就有如下解法

f(x)= 4ax3-2bx-a+b≤

4ax2-2bx-a+b≤

max{f(0),f(1)}=2|2a-b|+a.

第(2)小題除了用標(biāo)準(zhǔn)答案中的線性規(guī)劃解決外，還可以這樣思考：

注意到f(0)=b-a,f(1)=3a-b,從而

a+b=2f(0)+f(1)≤2+1=3.

同時(shí)注意到

2a=f(0)+f(1)>0,

a+b= 2f(0)+f(1)=f(1)+f(0)+f(0)>

f(0)>-1,

因此

-1

教學(xué)啟示對(duì)函數(shù)導(dǎo)數(shù)問題，浙江卷堅(jiān)持在高中數(shù)學(xué)所學(xué)的知識(shí)體系中命題，放棄把高等數(shù)學(xué)中的定理適當(dāng)弱化后植入高考試卷的做法，而是在具體、簡(jiǎn)明的函數(shù)模型中設(shè)計(jì)問題，考查學(xué)生的創(chuàng)新意識(shí)．從本題的解決過程中，不難發(fā)現(xiàn)要提高學(xué)生的創(chuàng)新意識(shí)，首先要提高學(xué)生的下列能力：(1)站在學(xué)科的整體高度從宏觀上審視問題的能力；(2)站在數(shù)學(xué)思想方法的高度對(duì)問題本質(zhì)認(rèn)識(shí)和把握的能力；(3)對(duì)問題提供的信息進(jìn)行分揀、加工、組合并尋找合適的解決方法的能力；(4)善于知識(shí)遷移和運(yùn)用知識(shí)塊、思維塊簡(jiǎn)約思維的能力．

縱觀以上評(píng)析，筆者認(rèn)為教師只有在鉆研教學(xué)內(nèi)容和教學(xué)方法上下功夫，才能培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新意識(shí)和創(chuàng)新精神．特別是加強(qiáng)對(duì)知識(shí)建構(gòu)過程的研究，真正讓學(xué)習(xí)過程成為學(xué)生的探究過程，拓展思維的視角，體驗(yàn)創(chuàng)新活動(dòng).同時(shí)，深化對(duì)學(xué)生思維方式的研究，讓學(xué)生在數(shù)學(xué)的理解中，提升逆向思維能力和發(fā)散思維能力．總之，回歸數(shù)學(xué)課堂教學(xué)本源意義，在知識(shí)的形成、發(fā)展過程中提升學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)和創(chuàng)新意識(shí)．

[1] 浙江省教育考試院.2012年浙江省普通高考考試說明[M].杭州:浙江攝影出版社，2012.

[2] 浙江省高考命題咨詢委員會(huì).2011年浙江省高考命題解析(理科數(shù)學(xué))[M].杭州:浙江攝影出版社，2011.