對2012年高考填空壓軸試題的評析

●

(蘇州市木瀆第二高級中學 江蘇蘇州 215101)

對2012年高考填空壓軸試題的評析

●丁勇母建軍

(蘇州市木瀆第二高級中學 江蘇蘇州 215101)

回眸2012年全國各地高考數學客觀題，有的試題獨具匠心，交叉滲透，融合自然，設問合理，充分體現了“注重學科的內在聯系和知識的綜合”以及“能力立意”的原則.它們緊密貼近中學教學，結合中學數學在知識、思想方法和能力等方面的要求，貫徹新課程理念.這些試題立意樸實但又不失新穎，選材寓于教材而又高于教材，科學地考查了考生繼續學習所應具備的數學素養和潛能，著重考查了考生對數學本質的理解.寬角度、多視點、有層次地考查數學理性思維，特別是通過解題過程對思維能力進行了深入的考查，具有較高的信度、效度和有效的區分度,有利于高校選拔優秀學生，有利于中學數學教學改革，對中學教學發揮了良好的導向作用，達到了考基礎、考能力、考素質、考潛能的考試目標.下面列舉2012年數學高考中若干填空壓軸試題進行評析，供大家鑒賞.

解已知條件可化為

作出(x,y)所在平面區域(如圖1所示)，求出y=ex的切線的斜率e，設過切點P(x0,y0)的切線為y=ex+m(m≥0)，則

圖1

當(x,y)對應點C時，有

即

得

評注此題設計取材考究，知識交叉滲透，充分體現了注重學科的內在聯系和能力立意的原則.在解題的思維過程中，要不斷實施數學語言的轉換，把題目中最本質的數量關系揭示出來，利用數形結合的思想方法加以解決.

(2012年廣東省數學高考試題)

解由所給定義可得

同理有

mn=4cos2θ.

因為

所以

mn∈(0,2).

又因為

m,n∈Z，

所以

m=n=1.

故

評注求解本題的關鍵是將所給向量運算的定義與已有向量數量積的定義聯系起來，利用新信息(包括概念、符號、公式)，創設新穎的情境，考查學生在具體情境中應用知識的能力，充分體現數學學科在高考中以能力立意的命題指導思想.

(2012年湖南省數學高考試題)

圖2

解在同一直角坐標系中作出l1,l2與函數y=|log2x|的草圖(如圖2所示).

由圖2可知

b=|xD-xB|,

于是

又因為

所以

圖3

(2012年四川省數學高考試題)

解設橢圓右焦點為F1,因為

△FAB的周長=AF+BF+AB≤

AF+BF+(AF1+BF1)=

4a=8,

所以當直線x=m過橢圓右焦點F1時,△FAB的周長最大，此時

評注本題由△FAB的周長問題聯想到橢圓的第一定義，結合圖像即可解決.

例5對于實數a和b，定義運算“﹡”：

設f(x)=(2x-1)﹡(x-1)，且關于x的方程為f(x)=m(m∈R)恰有3個互不相等的實數根x1,x2,x3，則x1x2x3的取值范圍是______.

(2012年福建省數學高考試題)

解由條件知

整理得

不妨設x1

圖4

又由拋物線的對稱性,知x2+x3=1，從而

x2x3=x2(1-x2)=

故

評注根據所給定義將函數轉化為常規形式，根據圖像找出x1,x2,x3的范圍，然后結合函數與不等式的性質可得x1x2x3的取值范圍.

(2012年陜西省數學高考試題)

圖5

分析當x>0時，f(x)=lnx，從而y=f(x)在點(1,0)處的切線為y=x-1.

作出圖像如圖5所示，發現最優解是(0,-1)，故z=x-2y在D上的最大值為2.

評注本題只要準確作出區域D的圖像，運用線性規劃知識即可迅速找到答案.

例7數列{an}滿足an+1+(-1)nan=2n-1，則an的前60項和為______.

(2012年全國數學高考試題)

解由an+1+(-1)nan=2n-1得

an+2= (-1)nan+1+2n+1=

(-1)n[(-1)n-1an+2n-1]+2n+1=

-an+(-1)n(2n-1)+2n+1,

即

an+2+an=(-1)n(2n-1)+2n+1，

同理an+3+an+1=-(-1)n(2n+1)+2n+3，

兩式相加得

an+an+1+an+2+an+3=-2(-1)n+4n+4.

設k為整數，則

a4k+1+a4k+2+a4k+3+a4k+4=

-2(-1)4k+1+4(4k+1)+4=16k+10，

評注由條件的遞推關系很難求出數列的通項，考慮到要求數列的和，因此可以通過尋找連續幾項和的規律來解決問題.探索性問題要求學生結合已有條件，進行觀察、分析、比較、聯想、類比、歸納、猜想和概括，自主探索解題的途徑.它對學生的數學思想、數學意識及綜合運用數學方法的能力提出了較高的要求.

(2012年天津市數學高考試題)

分析由

作出圖像(如圖6所示的實線)，觀察圖像中過(0,-2)的直線中3個特殊位置(如圖6所示的虛線)，可得當0

圖6

例9如圖7，AD與BC是四面體D-ABC中互相垂直的棱，BC=2.若AD=2c，且AB+BD=AC+CD=2a，其中a,c為常數，則四面體D-ABC的體積的最大值是______.

(2012年上海市數學高考試題)

圖7 圖8

解過點A在平面ABC內作AE⊥BC，垂足為點E，聯結DE.由AD⊥BC可知，BC⊥平面ADE，因此

根據幾何體及AB+BD=AC+CD=2a的對稱性可知，當AB=BD=AC=DC=a時，四面體D-ABC的體積最大.在平面AED內過點E做EF⊥DA，垂足為點F.已知EA=ED，從而△ADE為等腰三角形，點F為AD的中點.又因為

AE2=AB2-BE2=a2-1，

所以

從而

即四面體D-ABC體積的最大值為

評注解決此題的關鍵是抓住主要數學特征和圖形特征，通過幾何圖形的對稱性定出幾何體體積最大時的形狀，然后再定量分析，從而求出體積的最大值.

(2012年山東省數學高考試題)

因此xP=2-CB=2-sin2，

yP=1+PB=1-cos2，

評注本題以生活中的旋轉線為載體，由圓的滾動，通過圓心位置的變化，考查學生分析和解決問題的能力.若能夠找準解題的切入點，觀察出圓心角∠PCA=2，則通過解三角形可以得出點P的坐標.

總之，解決立意新穎或比較困難的客觀題時要注意從3個方面入手：

(1)提高數學閱讀能力.仔細閱讀數學材料，理解數學問題所涉及的材料、信息、知識及相互關系，善于揭示問題的實質，便于進行分析和推斷.

(2)要注意跳出傳統推理的思維定勢，學會數學的合情推理判斷.善于用一些非常規的數學方法如構造圖形、舉特例等方法提高解決問題的能力.

(3)要熟練地進行數學圖形、符號、文字3種語言之間的相互轉換，深刻理解數學知識內在的本質屬性.注意觀察、分析題目的結構特征，挖掘題目中的每一條信息，篩選出關鍵或有用的信息，找準解題的切入點.