數學高考中的函數型試題亮點掃描

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(天臺中學 浙江天臺 317200)

數學高考中的函數型試題亮點掃描

●褚人統

(天臺中學 浙江天臺 317200)

函數是高中數學中最重要的概念，并且包含了很多衍生與相關的知識，因此本專題的內容在高考數學中比重最大，試題涵蓋選擇、填空和解答各個題型，包含易、中、難3個等級.本文就2012年數學高考中函數型試題的考查特點進行系統的分析和掃描．

1 有效地考查了學生敏銳的觀察思維和辨別能力

在解決數學問題中，元認知監控能力起著重要的作用．在求解過程中，若能有意識地與題干、選項進行比對，觀察分析并及時調整求解的方法或方向，則可以順利求解．

例1 定義：曲線C上的點到直線l的距離的最小值稱為曲線C到直線l的距離.已知曲線C1：y=x2+a到直線l:y=x的距離等于曲線C2：x2+(y+4)2=2到直線l:y=x的距離，則實數a=______．

(2012年浙江省數學高考理科試題)

方法1函數法

即

方法2不等式恒成立法

由

得

a≥-x2+x+2或a≤-x2+x-2

方法3幾何法

點評該試題作為理科試卷填空題的次壓軸題和文科試卷填空題的壓軸題還是比較合適的.它入口容易，出口開闊，路道多，行程長，不是用“蒙”、“撞”的方法能解決的，實實在在地考查了學生的數學功底，如閱讀、計算和數形結合的應用能力等．

2 有效地考查了學生思維的靈活性和超常的聯系能力

學生思維的靈活性和超常的聯系能力體現在“將基本知識綜合，構造新的問題，利用數形結合思想方法靈活求解，并綜合應用基本知識和技能的能力”．

例2 設a∈R，若x>0時均有[(a-1)x-1]·(x2-ax-1)≥0，則a=______．

(2012年浙江省數學高考理科試題)

分析構造函數f(x)=[(a-1)x-1](x2-ax-1).

若a=1，則f(x)=-x2+x-1顯然不能滿足題意;若a<1，即a-1<0，則f(x)是三次項系數小于0的三次函數，它不可能對于x>0時均有f(x)≥0成立.從而a>1,此時函數可以化為

圖1

它與x軸有3個交點，橫坐標分別為

點評(1)對于每一份試卷，選擇與填空的最后一題也是一份試卷的壓軸試題.當然，這里的壓軸題難度不能超過大題的壓軸題.壓軸題個數一般各為一道，選擇壓軸題的難度系數最好為0.4，填空壓軸題的難度系數最好為0.2．由于大題考查主要的知識板塊，那么選擇、填空是考查一些“邊角”知識．選擇與填空試題的特征應該有所區別，它們的知識特征主要是“邏輯強、思路長、推理雜、算量大、表述纏”，還兼顧考查各種數學修養、感覺、智力、能力等素質，思維特征是“簡、平、快”，實實在在地考查數學的基本功夫．這2個壓軸試題是這份數學高考卷的亮點所在．

(2)近年來，浙江省數學高考對于選擇、填空壓軸題的命題已經形成了自己的風格，即一個代數題和一個幾何題.而這2個壓軸題從考試角度來看，一般情況下是可以用數學直覺思維、直覺能力去解決的．

3 有效地考查了學生分析和解決數形結合問題的能力

中學數學內容可以整合為“數”與“形”這2條線.其中“數”是以函數概念來串聯代數、三角和解析幾何知識，可以把方程視為函數值為0，不等式可以看成2個函數值的大小比較，數列、三角函數則是特殊的一類函數．高考中涉及函數的試題面大、量廣，一旦被編制為解答題就是中等難度試題．新課標中特別強調構造函數模型，利用所構造的2個模型函數圖像之間的關系，利用二者的圖像數形結合地解決問題是課標教材中的一大亮點，高考試題中也體現了這一特點．

例3 設a>0,b>0． ( )

A.若2a+2a=2b+3b，則a>b

B.若2a+2a=2b+3b，則a

C.若2a-2a=2b-3b，則a>b

D.若2a-2a=2b-3b，則a

(2012年浙江省數學高考理科試題)

分析(1)對于選項A,B，可構造2個函數f(x)=2x+2x，g(x)=2x+3x,易發現這2個函數都是增函數，在同一坐標系下(如圖2)，在條件a>0,b>0下，2a+2a=2b+3b表明點A只能在點B的右側，從而有a>b，因此A是正確的．從考試角度來說，就不必對選項C,D進行分析了．其實由圖3可以發現C,D是錯誤的．

圖2 圖3

(2)從考試角度來說，可以用“撞”的方法.對于選項A,B，若a>b，則一定有2a>2b，另2a<3b還有可能成立，從而2a+2a=2b+3b可能成立．

(3)由2a+2a=2b+3b可得

(2a+2a)-(2b+2b)=b>0,

由函數h(x)=2x+2x是增函數容易得a>b.用這樣的思想甄別C,D的正確性就顯得簡單了．

點評本題在浙江高考理科卷選擇題中是第9題，屬于選擇題中倒數第2題，說明有較高的難度，解決它需要一定的數學能力.分析(1)體現了函數構造、畫圖、數形轉換等能力；分析(2)就體現了較強的數學直觀能力，需要扎實的數學基礎，是考試要實現快、準等目的所采用的常用方法(文科試卷選擇題第10題也類似)．

4 有效地考查了學生獲得新知識和運用新知識的能力

如例4所示的題型給人的第一印象是概念新穎，但考查的依然是學生對基本知識、技能的掌握程度，這新與舊之間的橋梁就是化歸思想．學生通過轉化將新穎的問題轉為熟悉的問題，達到解決問題的目的．

例4 函數f(x)在[a,b]上有定義，若對任意x1,x2∈[a,b]，有

則稱f(x)在[a,b]上具有性質P．設f(x)在[1,3]上具有性質P，現給出如下命題：

①f(x)在[1,3]上的圖像是連續不斷的；

③若f(x)在x=2處取得最大值1，則f(x)=1，x∈[1,3]；

④對任意x1,x2,x3,x4∈[1,3]，有

在油茶的種子的采育和貯存上，應當選擇果大皮薄、產量高、出籽率高的優良品種。在油茶樹種的選擇上，要選擇沒有別病蟲侵害過的樹苗，在采摘過要注意保存，然后挑選出優良的種子。

其中真命題的序號是 ( )

A．①② B．①③ C．②④ D．③④

(2012年福建省數學高考理科試題)

分析命題①滿足性質P的函數f(x)不是上凸的(是下凸的或部分是常數)，但不一定連續.

命題③在[1,3]上，由

及

得

f(x)=1.

因此對于任意x1,x2∈[1,3],f(x)=1，命題成立．

知，該命題成立.

(2)考查的知識點是對函數定義的理解，技巧是：說明一個命題不正確只需舉出反例即可，說明一個命題正確要證明對所有的情況都成立.對于命題③，既然不是上凸函數，有最大值存在一定是常數函數．

(3)從嚴格意義上說，本題考查了抽象函數的知識，有點超綱，但作為一份試卷的壓軸題未嘗不可．

5 有效地考查了學生求參量取值范圍和恒成立問題的綜合分析能力

求參量取值范圍和恒成立的問題屬于傳統題型，由來已久，常常出現，且難度通常不低．這類試題通常有3個明顯特征：(1)試題中直接或間接給出一個包含2個字母的等式或不等式(2個字母：一個是自變量，另一個是參變量)；(2)試題中常有“有解”、“無解”、“恒成立”等標志；(3)2個字母中一個范圍已知(這個字母就是自變量)，另一個的范圍待求(這個字母即參變量)．

這類試題有2種較為通用的解決思路：分離變量法與選主元法，而它們最終都要借助求函數值域來解決問題．對于分離變量法，顧名思義，要把2個變量分開到等式或不等式的兩邊，得到f(x)=g(a)或f(x)≥g(a)的形式.由于一個字母的范圍已知，不妨設x范圍已知，則可知f(x)的范圍(即值域)，然后結合題目中的要求就可以求出相應的a的范圍了．對于選主元法，則是將自變量(已知范圍的那個字母，不妨設為x)看作變量，參變量(待求范圍的字母，設為a)看作常數，則可整理出g(x)=f(x,a)=0或g(x)=f(x,a)≥0，然后求出函數g(x)的值域(含有字母a)，與0確定大小關系(解關于a的不等式)即可．

然而對于一些高難度試題(如壓軸題)，可能會有一些另類的解法，很少有人會想到，因此對這類試題不宜花費太多精力去研究，況且這類試題的解法往往也不具備通用性．

例5 設函數fn(x)=xn+bx+c(n∈N+，b,c∈R)

(2)設n=2，若對任意x1,x2∈[-1,1]，有|f2(x1)-f2(x2)|≤4，求b的取值范圍；

(2012年陜西省數學高考理科試題)

(2)當n=2時，f2(x)=x2+bx+c.

對任意x1,x2∈[-1,1]都有|f2(x1)-f2(x2)|≤4等價于f2(x)在[-1，1]上的最大值與最小值之差M≤4,據此分類討論如下：

M=|f2(1)-f2(-1)|=2|b|>4，

與題設矛盾.

恒成立.

恒成立.

綜上可知，-2≤b≤2．

于是有fn(xn)= 0=fn+1(xn+1)=

即fn+1(x)的零點xn+1在(xn,1)內，故xn

2012年的數學高考試題中，就函數試題而言，文、理科有一定的差異.函數試題所占比重較大，考查范圍涉及到函數的方方面面，難度覆蓋面也很廣．高考對函數知識的要求是很高的，考查函數單一性質的簡單試題不多，大都是函數性質之間的綜合考查，如定積分與分段函數結合、圖像與解不等式結合、周期性與單調性(奇偶性)相結合等等.較難題的比例較大，其中綜合考查導數應用的試題最多，而最難的往往是函數與不等式的結合，其中還涉及參變量，解答過程中少不了分類討論的思想．