基于MATLAB的秩虧自由網平差研究

周 蘊

(鄭州市規劃勘測設計研究院，鄭州 450052)

基于MATLAB的秩虧自由網平差研究

周 蘊

(鄭州市規劃勘測設計研究院，鄭州 450052)

針對傳統經典平差固定基準存在的缺陷，研究基于MATLAB的秩虧自由網平差算法，在分析秩虧自由網平差函數模型和隨機模型的基礎上，運用MTLAB進行秩虧自由網平差，結果表明克服傳統經典平差的不足，對變形監測數據進行更嚴密的平差，準確地給出所有觀測點的誤差，對指導變形分析有重要的應用價值。

MATLAB；秩；自由網；平差

MATLAB是由美國MathWorks公司推出的用于數值計算和圖形處理的科學計算系統環境。MATLAB的英文全稱是Matrix Laboratory，可直譯為矩陣實驗室。測量數據的處理特別是測量平差主要應用矩陣運算，而MATLAB又特別易于做矩陣運算，因此研究開發基于MATLAB的秩虧自由網平差具有極好的應用價值。

1.秩虧自由網平差數學模型

1.1秩虧自由網平差概述

經典平差中，都是以已知的起算數據為基礎，將控制網固定在已知數據上。如水準網必須至少已知網中某一點的高程，平面網至少要已知一點的坐標、一條邊的邊長和一條邊的方位角。當網中沒有必要的起算數據時，我們稱其為自由網，網中沒有起算數據時的平差方法，即自由網平差。

函數模型為：

V=AX-l

(1)

隨機模型為：

D=σ02Q=σ02P-1

(2)

在經典平差中，A為列滿秩矩陣，而在自由網平差中，R(A)=t-d，d為秩虧數，在最小二乘原則下，求得法方程為：

NX=ATPl

(3)

R(N)=R(A)=t-d。由于N是奇異的，故法方程是相容方程，它可以有無數解。在經典平差里，滿足誤差方程的V有無數組，選擇其中VTPV=min這組。可以運用相似的原理附加一個最小范數條件

XTX=min

(4)

從而得到法方程的唯一解。

X=N+ATPl

(5)

(5)式中，N+為N的偽逆，這就是基于廣義逆矩陣原理的直接平差方法(即秩虧自由網平差)。

1.2 邊角網秩虧自由網平差數學模型

1.2.1 觀測邊長誤差方程

圖1 邊長觀測示意圖

(6)

按泰勒公式展開，得

(7)

式中

令

(8)

可得測邊的誤差方程為

(9)

(9)式中右邊前4項之和是由坐標改正數引起的邊長改正數。(9)式就是測邊坐標平差誤差方程的一般形式，因在自由網中兩端都是待定點，所以系數均不為0。

1.2.2觀測方向誤差方程

圖2 方向觀測示意圖

(10)

由近似坐標引起的近似坐標方位角的改正數為δαjk，即

(11)

將方位角改正數表達為坐標改正數可以利用

(12)

將(12)、(11)及

代入(10)式，即得jk方向的誤差方程：

(13)

(13)式中常數項

1.2.3 邊角網平差隨機模型

確定邊、方向兩類觀測的隨機模型，主要是為了給定兩類觀測值的權比問題。邊角網中各邊長和各方向觀測相互之間都是獨立的，因此隨機模型D=σ02Q=σ02P-1中的權陣是對角陣。設網中有n1個角度觀測β1,β2,β3…,βn和n2個邊長觀測S1，S2，…,Sn,n1+n2=n,則權陣為

P=diag(pβ1,…,pβn1,ps1,…,psn2)

(14)

定權公式為：

(15)

式中σβ1=σβ2=…=σβ。定權時一般令

(16)

即以方向觀測中誤差為邊角網平差中的單位權觀測值中誤差，由此可得：

(17)

2.基于MATLAB的自由網平差

2.1 控制點的自動獲取

為減少用戶不干預的情況下進行平差計算，本文采用從原始觀測文件獲取控制點的方法。具體算法為：在邊角網中，把所有點視為測站點或照準點，所以只需對邊長和角度觀測文件進行遍歷并把點號存入相應數組中即可。

2.2近似坐標的計算

考慮到變形監測的邊角網大多為邊角同測網，在計算近似坐標時采用的是極坐標法，基本思路：若存在已知方位角，首先判斷該方位角的起點是否是已知點A、終點是否是所求的待定點P，如果是，搜索邊長AP即可按極坐標公式計算坐標；若沒有已知方位角或其終點不是P，則搜索與P有方向觀測的已知點A，再由A搜索另一個已知點B，且A到B有方向觀測值，于是可求出AP的方位角，在搜索AP的邊長觀測值，由極坐標公式即可計算P點的坐標。

2.3平差計算和精度評定

在邊角網的誤差方程的線性化的過程中運用的是泰勒級數進行展開的，為保證平差結果的正確性，理論上說近似值應很接近坐標的真實值，這樣引起的改正數誤差才足夠小。本文采用的是迭代趨近，直至坐標改正值小于0.1mm，這就保證了平差坐標的可靠性，為后續的變形分析提供可靠的依據。

3.秩虧自由網平差結果及分析

采用的數據為pad2002邊角網算例(原網形如圖 3)，進行自由網平差。平差結果見表1，表 2和表 3，驗后平面單位權中誤差=0.67s，迭代次數為3。

圖3 采用算例邊角網網形圖

測站點照準點邊長觀測值(m)改正數(mm)邊長平差值(m)132300.061.342300.06134143090.3531.83090.3548253643.234-9.313643.22469232115.9194.062115.92306244363.611-6.54363.6045352169.0733.522169.07652342620.9091.022620.91002453922.86-1.973922.85803

比較圖 3和圖 4不難看出，采用重心基準進行的秩虧自由網平差算法，有效克服了傳統經典平差固定基準的缺陷，準確給出了所有觀測點(含固定基準下已知點1，2)的誤差并形象繪制了誤差橢圓。為變形網的分析和變形監測數據的后處理提供了可靠的數據和準確快捷的圖形分析依據。

4.結語

本文采用MATLAB開發的自由網平差程序克服了傳統經典平差的不足，對變形監測數據進行了更嚴密的平差，準確的給出了所有觀測點的誤差。對指導變形分析和工程應用有著重要的實際意義和應用價值。

表2 方向平差結果

表3 坐標平差結果

圖4 邊角網網形圖及誤差橢圓圖(誤差橢圓比例為100)

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2012-01-14

周蘊(1979—)，男，湖南攸縣人，鄭州市規劃勘測設計研究院工程師，主要從事測繪工程技術研究。

P228.4；TP319.9

A

1008-3715(2012)02-0119-03

(責任編輯呂志遠)